Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные главы математики множества, графы, комбинаторика. Учебное пособие
.pdf
Роль пустого множества аналогична роли числа нуль. Это поня-
тие можно использовать для определения заведомо несуществующей
совокупности элементов (например, множество зеленых слонов, действительных корней уравнения х2 + 1 =0).
Более существенным мотивом введения пустого множества является то, что заранее не всегда известно (или неизвестно вовсе), существуют ли элементы, определяющие какое-то множество. Например,
множество выигрышей в следующем тираже лотереи на купленные
билеты может оказаться пустым. Никто еще не знает, является ли
пустым или нет множество всех решений в целых числах уравнения
х3 + +у3 + z3 = 30. Без понятия пустого множества во всех подобных
случаях, говоря о каком-нибудь множестве, приходилось бы добавлять
оговорку, «если оно существует».
Пустое множество как бы резервирует множество как математический объект, когда наперед неизвестно число содержащихся в нем
элементов.
Выполнить упражнения 1.2
Классы множеств. Ранее нам встречались множества, элементами
которых были также множества (см. пример 3 в разделе «Пустое множество»). Примером может служить и множество всех возможных
подмножеств данного множества. В таких случаях, чтобы избежать
выражений типа «множество множеств», обычно говорят класс множеств, или иногда семейство множеств. Слова «класс
» и «семейство»
следует воспринимать как синонимы слова «множество». Все определения, относящиеся к множествам, точно так же применяются к классам и семействам. Для описания классов множеств используют рукописные прописные буквы, такие как А, В, и т. д.
Пример
Множество A = {{1, 2, 3}, {9, 10}, {3, 4}} представляет собой класс
множеств. Каждый из его элементов
есть множество. Будет ли множе-
ство элементом этого класса? Ответ. Нет.
(Полезно обратить внимание, что хотя А, тем не менее А
(см. раздел «Пустое множество»).)
Диаграмма Венна. Простой и очень полезный способ изображения
множеств – это рисунки, известные как диаграммы Венна (по имени
английского философа
Джона Венна, 1834–1883).
11
Конечное множество может быть представлено как совокупность
P
x
5
А
точек, отмеченных на бумаге и окруженных подходящей фигурой типа
круга, квадрата или треугольника. Расположение точек внутри фигуры
несущественно. Обычно не указывают все точки внутри фигур, так как
наибольшую информацию о соотношениях между множествами дает
расположение границ. В случае бесконечного множества может быть
нарисована только
граница фигуры; часть плоскости внутри ее будет
изображением множества.
Примеры
1. Включение
Рассмотрим множества P ={a, b, c, d, e, f} и
b
a
d
c
Q
e
Q = {c, f}. Множество P изобразим шестью
точками внутри треугольника, а Q – двумя
точками внутри круга. То, что множества Q и
f
P связаны соотношением Q P,
будем иллюстрировать следующим образом (рис. 1.1):
точки c, f используются только один раз, круг
Рис. 1.1
содержит только эти две точки и лежит внутри
треугольника.
2. Непересекаемость
Два множества не пересекаются, если они не имеют общих элементов. Это наглядно изображается диаграммой, на которой соответствующие множествам фигуры не перекрываются.
Например, если S
= {x, 1, 2} и T = {3, y, 4, 5}, то с помощью круга
для S и квадрата для Т получаем диаграмму, изображенную на рис. 1.2.
3. Пересекающиеся множества
Рассмотрим множества А = {1, 2, 3, 4} и В = {3, 4, 5, 6}. Изображая А квадратом, а В – кругом, получим две частично перекрывающиеся фигуры (рис. 1.3). Общая часть этих фигур будет содержать точки
3, 4, принадлежащие множествам А и В одновременно.
S
1
2
3
T
4
y
1
3
4
2
В
5
6
Рис. 1.2
Рис. 1.3
12
4. Соотношения между тремя множествами
АВС
Рассмотрим множества А = {1, 2, 3,
4, 5}, В = {1, 2} и С = {2, x, y}. Изобра-
зив А квадратом, В – треугольником, С –
кругом, с помощью диаграммы Венна
можно отразить различные соотношения
между ними (рис. 1.4).
3
4
5
2
1
х
y
5. Соотношения между несколькими
множествами. Ясно, как можно распро-
Рис. 1.4
странить применение диаграмм для иллюстрации соотношений между
несколькими (более чем тремя) множествами. Часто границы фигур обозначают разными цветами или затеняют различные части диаграммы штриховкой в разных направлениях.
6. Число элементов множества. Элементы конечного множества
можно сосчитать. Число N элементов множества Х будет обозначаться
N(X).
Так, имеем множества А = {1, 2, 3, 4, 5 }, В = {1, 2} и С = {2, x, y}
и
получаем N(А) = 5, N(В) = 2, N(С) = 3.
Иногда, когда это не приводит к двусмысленности, этими числами
помечаются фигуры (круг, квадрат, треугольник и т. д.) на диаграмме.
Выполнить упражнения 1.3
1.2. Операции над множествами. Основные законы
Универсальное множество. Обычно в приложениях теории мно-
жеств ограничиваются рассмотрением элементов одного типа. Например, в геометрии интересуются множеством точек, но не занимаются
множествами бананов или людей. Множество всех объектов, относящихся к отдельной прикладной задаче, называется универсальным множеством, или областью исследования. (В теории вероятностей и статистике оно называется
множеством исходов, или выборочным про-
странством.)
Универсальное множество будем обозначать символом S или U.
Примеры
1. В эксперименте с бросанием кости областью исследования будет
множество S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Оно представляет собой совокупность
возможных исходов и универсально для этого эксперимента.
13
2. Рассматривая всевозможные футбольные команды, мы в каче-
стве универсального множества должны принять множество всех футболистов; из этого множества мы как угодно можем выбирать подмножества.
3. В геометрии на плоскости (планиметрии) универсальное множе-
ство представляет собой множество всех точек плоскости.
Дополнение множества. Рассматривая универсальное множество S
и его
подмножество А, мы можем найти элементы из S, которые не
принадлежат множеству А.
Совокупность элементов, принадлежащих универсальному множе-
ству S, но не принадлежащих подмножеству А, называется дополнением множества А. Мы обозначим его через А.
Таким образом,
А = { х: х S, x А}.
Заметим, что А, А –
непересекающиеся множества и оба представ-
ляют собой подмножества множества S.
Пример
Пусть S – множество, составленное из первых семи букв англий-
ского алфавита, т. е. S = {a, b, c, d, e, f, g}. Тогда, если А = {a, b, c, d},
то дополнением А будет множество А= {e, f, g}.
С помощью
диаграммы Венна можно представить область иссле-
дования рассмотренного примера пря-
e
f
g
S
A
а b
c d
моугольником, включающим в себя все
элементы и подмножества (рис. 1.5).
Замечание. Из определения дополнения множества следует, что дополнение
дополнения множества А есть множе-
Рис. 1.5
ство А, т. е. (А) = А.
Выполнить упражнения 1.4
Операции над множествами. Рассмотрим понятия суммы, разно-
и произведения, столь фундаментальных в обычной алгебре.
сти
Можно взять любые два числа а и b и образовать из них новые
числа посредством операций суммирования, вычитания и умножения:
a + b, a – b, a · b
14
есть три числа, которые, вообще говоря, отличны от а и b. Знаки (+),(–)
и (·) символизируют три бинарные операции для комбинирования чи-
сел и алгебраических выражений. (Замечание: слово бинарный относится к комбинации двух чисел при выполнении некоторой операции.)
Множества также могут быть скомбинированы различными спосо-
бами. Имеются три основные бинарные
операции над множествами, а
именно операции объединения (дизъюнкция, сумма), разности и пересечения (конъюнкция, произведение). Операции над множествами бу-
дем обозначать так:
(объединение), – или \ (разность), или ∩ (пересечение).
Таким образом, если А и В есть два множества из одной и той же
области исследования, то А В,
А – В, А В (или А ∩ В) обозначают
результаты операций объединения, разности и пересечения над множествами А и В соответственно.
Определим эти три операции.
1. Объединение (А В).
Пример
Рассмотрим загадку-шутку: два отца и два сына, а всего трое – как такое
может быть? По-видимому, вы знаете ответ: это мальчик, его отец и его дед.
Но даже если это известно, остается выяснить, а в чем состоит парадоксальность загадки?
Парадокс заключается в том, что речь здесь идет совсем не
че загадка не имела бы решения: два плюс два никак не равно трем). Суть дела относится к теории множеств. Два множества фигурируют здесь: множество отцов (отец и дед мальчика) и множество сыновей (мальчик и его отец,
доводящийся сыном деду). Разгадать загадку – значит, составить из них
тье множество, которое насчитывало бы три элемента. Определяющий признак этого третьего множества в том, что состоит оно из всех тех и только тех
элементов, которые принадлежат либо первому,
либо второму множеству, т. е. хотя бы одному из
них – множеству отцов или множеству сыновей.
Когда новое множество строится из исходных
такому правилу, то оно называется объединением
исходных множеств. Итак, множество, состоящее
из мальчика, его отца и его деда, есть объединение
множества отцов и множества сыновей (рис. 1.6).
Отец мальчика принадлежит обоим. Но в их объединение он входит только
один раз, иначе это противоречило бы понятию множества: ни один элемент не
может содержаться в нем несколько раз. Так и объясняется парадокс, которым
озадачивает шутка про двух отцов и сыновей.
15
по
Дед отец мальчик
Отцы
о числах (ина-
тре-
Сыновья
Рис. 1.6
Объединением двух множеств А и В называется множество всех
А
7
элементов, принадлежащих или множеству А, или множеству В
(или обоим сразу).
Таким образом, А В = { х: х А или х В }.
Примеры
(1) А = {стол, стул, солдат}; В = {яхта, стол, книга, кошка}.
Объединением множеств А и В будет
множество А В = {стол,
стул, солдат, яхта, книга, кошка}. (Заметим, что слово стол записыва-
ется только однажды, хотя он встречается как в А, так и в В.)
S
1
В
3
2
5
4
6
(2) А = {1, 2, 3, 4}, В = {3, 4, 5, 6}.
Объединением множеств будет мно-
жество А В = {1, 2, 3, 4, 5, 6} здесь 3, 4
записываются только один раз. Диаграмма Венна, иллюстрирующая пример (2),
Рис. 1.
изображена
на рис.1.7.
Перечислим следствия из определения объединения множеств:
1) А А = А; 2) А = А;
3) А S = S; 4) А А = S;
5) А В = В А.
Выполнить упражнения 1.5
2. Разность (А – В) или (А \ В).
Пример
Рассерженный малыш, адресуясь к коллегам по песочнице,
заявляет: «Отдайте мне мои игрушки – я с вами больше не играю». Назовем
вещи своими теоретико-множественными именами. Речь здесь идет о
двух множествах: множестве всех игрушек в песочнице и множестве
игрушек, которые принадлежат обидевшемуся малышу. Очевидно, он
вынес на улицу не все свое игрушечное хозяйство – часть осталась дома. Говоря
«мои игрушки», он подразумевает пересечение первого
множества (все игрушки в песочнице) и второго (его игрушки в целом). Есть свое имя и для множества всех остальных игрушек в песочнице. Это разность первого и второго множеств.
Разностью двух множеств А и В будет множество всех таких
элементов множества А,
каждый из которых не принадлежит
множеству В.
16
Таким образом, А – В = {х: х А, х В}. Эта запись читается так:
f
A
А минус В.
Примеры
(1) Пусть А = {a, b, c, d}, В = {c, d, e, f}.
Тогда А – В = {a, b } (рис. 1.8).
(2) Пусть А = {х: 3 ≤ х ≤ 6},
b
d
c
а
В = {х: 0 ≤ х ≤ 4}.
Тогда А
– В = {х: 4 < х ≤ 6} (рис. 1.9).
В
Рис. 1.8
А
0
–1 1 2 3 4
5
7
6
Рис. 1.9
А –В
Замечание. Из определения разности следует:
(1) А – А = , (2) S – A = А.
Выполнить упражнения 1.6
3. Пересечение (А В или А ∩ В).
B
e
Пересечением двух множеств А и В будет множество всех эле-
ментов, принадлежащих и множеству А и множеству В.
Таким образом,
A
u
i
a
Рис. 1.10
o
e
B
t
Примеры
А В = {e, o} (рис. 1.10).
А В = {х: х А и х В}.
(1) Если А = {a, e, i, o, u}, В = {
e, t, o}, то
(2) Пусть А = {х: 0 < х ≤ 5}, В = { х: –1 < х < 2}.
Тогда А В = {х: 0 < х < 2} (рис. 1.11).
17
А
В А В
–1 0 1 2 3 4 5 6 7
Рис. 1.11
Y
1
В
1/2, 1/2
(3) На плоскости заданы два
множества (рис. 1.12): А – единичный квадрат с центром в точке (0,0),
В – единичный квадрат с центром в
точке (1/2, 1/2). Тогда множество
А В есть квадрат со стороной 1/2,
как показано на диаграмме Венна
Х
1
(рис. 1.12).
– 1
0
Замечание. Из определения пе-
А
– 1
ресечения следует:
1) А А = А
; 2) А S = А;
3) А = ; 4) А А = ;
5) А В = В А.
Рис. 1.12
Выполнить упражнения 1.7
Отношения. Элементы множества могут находиться в некоторых
отношениях между собой или с элементами других множеств. В самом
общем смысле отношение означает какую-либо связь между предметами или понятиями. Отношения между парами объектов называют
бинарными (двуместными). Выше уже были рассмотрены два таких
отношения − принадлежность (а A) и включение A В. Первое из
них определяет связь между множеством и его элементами, а второе −
между двумя множествами. Примерами бинарных отношений являются равенство (=), неравенства (< или ), а также такие выражения, как
«быть братом», «делиться (на какое-то число)», «входить в состав (чего-либо)» и т. п.
Для любого бинарного отношения можно записать соответствующее ему соотношение (для отношения неравенства соотношением будет х < у, для отношения «быть братом» соотношение запишется как
«x брат y»). В общем виде соотношение можно записать как хRу, где
18
R − отношение, устанавливающее связь между элементом х из множества X (х X) и элементом y из множества Y (y Y). Ясно, что отношение полностью определяется множеством всех пар элементов (х, у), для
которых оно имеет место. Поэтому любое бинарное отношение R можно рассматривать как множество упорядоченных пар (х, у).
Если R A×A, то говорят, что бинарное отношение определено на
множестве А.
Среди всевозможных отношений, которыми можно связать элементы того или иного множества, могут быть и такие, которые охватывают не два, а больше элементов. Скажем, три – их называют тернарными. Это, например, отношение между родителями и ребенком.
Бинарные отношения проще тернарных и прочих. Ими и занимаются больше. Их, как правило, и имеют в виду, употребляя термин
«отношение».
Функции как отношения. Функция f, ставящая каждому числу х
(аргументу) в соответствие определенное число (значение функции)
у = f(x), также является бинарным отношением.
Обобщая это понятие, можно считать функцией такое бинарное отношение f, которое каждому элементу х из множества X ставит в соответствие один и только один элемент из множества Y, т. е. xfy. При
этом считают, что элементами множеств X и Y могут быть объекты
любой природы, а не только числа.
Функцией в таком общем понимании будет, например:
соответствие между деталями какого-либо механизма и их мас-
сой (каждой детали соответствует ее масса);
между человеком и его фамилией и т. п.
В то же время такие отношения, как неравенство (<) или «быть
братом», функциями не являются, так как для каждого числа можно
указать бесконечные множества превышающих его чисел, а человек
может иметь несколько братьев или совсем их не иметь.
Обобщение понятия функции явилось одним из отправных моментов нового важного раздела современной математики – функционального анализа. Это понятие имеет огромное прикладное значение, так
как позволяет рассматривать функциональные отношения между объектами любой природы.
Основные законы алгебры множеств. Приведем сводку основ-
ных свойств операций над множествами (законы алгебры множеств);
S – обозначает универсальное множество; А, В, С – любые подмножества множества S.
19
1. Идемпотентные законы
А А = А А А = А
2. Законы тождества
А = А А =
А S = S А S = А
3. Законы дополнения
А А = S А А =
(А) = А
S = и = S
4. Законы коммутативности
А В = В А А В = В А
5. Законы ассоциативности
(А В) С = А (В С) (А В) С = А (В С)
6. Законы дистрибутивности
(В С) = (А В) (А С) А (В С) = (А В) (А С)
А
7. Законы де Моргана
(А В) = А В (А В) = А В
Приведенные законы могут быть доказаны в общем случае
с помощью метода сравнения элементов. Здесь покажем на шестом законе
их справедливость.
Пример
Универсальное множество
S = {a, b, c, d, e, f, g}.
Его подмножества:
А = {a, b, c, d}, В = {c, d, e, f}, С = {b, c, f, g}.
Закон дистрибутивности для операции объединения:
А (В С
) = (А В) (А С).
Это равенство непосредственно проверяется в результате последо-
вательного формирования множеств, стоящих в левой и правой частях:
левая часть равенства правая часть равенства
А В С А (В С) А В А С ( А В) (А
С)
{c, f} {a, b, c, d, f, g}
{a, b, c, d} {a, b, c, d, f } {a, b, c, d, е, f } {a, b, c, d, f}
лев. ч. = прав. ч.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]