Список литературы

1.Бицадзе А. В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного / А. В. Бицадзе. Москва : Наука, 1969. 240 с.

2.Евграфов М. А. Аналитические функции / М. А. Евграфов. Москва : Наука, 1968. 472 с.

3.Сборник задач по теории аналитических функций / М. А. Евграфов, Ю. В. Сидоров, М. В. Федорук, М. И. Шабунин,

Ê.А. Бежанов. Москва : Наука, 1969. 388 с.

4.Пантелеев А. В. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах: учебное пособие / А. В. Пантелеев, А. С. Якимова. Москва : Высш. шк., 2001. 445 с.

5.Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного / И. И. Привалов. Москва : Физматгиз, 1960. 444 с.

6.Лаврентьев М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. Москва : Наука, 1973. 736 с.

7.Лунгу К. Н. Сборник задач по высшей математике. 2 курс /

Ê.Н. Лунгу и др. Москва : Айрис-пресс, 2006. 592 с.

8.Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике / Д. Т. Письменный. Москва : Айрис-пресс, 2006.

9.Буров А. Н. Практикум по спецглавам математики: учебное пособие / А. Н. Буров, Н. Г. Вахрушева, С. В. Клишина Новосибирск: Èçä-âî ÍÃÒÓ, 2001. 102 ñ.

10.Воробь¼в Н. Н. Теория рядов / Н. Н. Воробь¼в. Москва : Наука, 1970. 204 с.

35

Приложение 1

Комплексные числа, операции над комплексными числами

Запись числа z в виде z = x + iy называют алгебраической

формой комплексного числа.

Запись числа z в виде z = |z|(cos φ + i sin φ) называется

тригонометрической формой.

Запись числа z в виде z = |z|eiφ èëè z = |z|ei arg z называют

показательной (или экспоненциальной ) формой комплексного

не определ¼н при x = 0, y = 0.

Сравнение: a + bi = c + di означает, что a = c и b = d

(два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

Сложение: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

Вычитание: (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i.

Умножение:

(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac − bd) + (bc + ad)i.

36

Операции >, <, ≥, ≤ на множестве комплексных чисел не определены.

Формула Муавра для возведения комплексных чисел в натуральную степень:

zn = |z|n(cos nφ + i sin nφ).

Корень n-ой степени из комплексного числа

Элементарные функции комплексного переменного

cos iz = ch z, ch iz = cos(−z) = cos z;

sh z = −i sin iz, sh iz = i sin z, sin iz = ish z.

37

Множество значений логарифма

Ln z = ln |z| + i(arg z + 2kπ), k Z.

При k = 0 главное значение

ln z = ln |z| + i arg z, −π < arg z < π.

Обратные тригонометрические и гиперболические функции

w = za = ea Ln z.

Учитывая z = r eiφ, Ln = ln r + i(φ + 2kπ), получим

za = ea ln r−β(φ+2kπ)ei(α(φ+2kπ)+β ln r), k Z.

Дифференцирование функций комплексного переменного

Для того, чтобы функция f(z) = f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) была дифференцируемой в точке z = x + iy D, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

38

1)вещественнозначные функции u(x, y) и v(x, y) должны быть дифференцируемы в точке z;

2)в этой точке должны выполняться равенства:

называемые условиями Коши Римана.

Производная дифференцируемой функции может быть записана по одной из формул:

Нахождения аналитической функции по заданной е¼ действительной или мнимой части

Правило 1

1.Найти частные производные до второго порядка заданной функции двух переменных: u(x, y) или v(x, y). Проверить,

если требуется, что заданная функция гармоническая, т. е. в некоторой области D выполняется равенство ∆u = 0 или

∆v = 0.

2. Найти по заданной гармонической функции сопряж¼нную с ней функцию, используя формулы:

(x,yZ )

v(x, y) = −∂u∂ydx + ∂u∂xdy + C.

(x0,y0)

Если выбрать кривую в виде ломаной со звеньями, параллельными осям, то

39

Èëè

(x,y)

3.Записать функцию f(z) = u + iv.

4.Если задано дополнительное условие значение функции f(z) в некоторой точке, то следует использовать его для отыскания C.

Правило 2

Если заданы начальные условия, функция восстанавливается однозначно.

1. Äàíî: u = u(x, y), f(z0) = C0. Тогда

2. Äàíî: v = v(x, y), f(z0) = C0. Тогда

Интегрирование функций комплексного переменного

Криволинейный интеграл от функции f(z) по кривой l

Z Z Z

f(z)dz = udx − vdy + i vdx + udy.

l l l

40

4.|dz| = lAB длина дуги AB.

если функция ограничена по модулю на кривой

|f(z)| ≤ M, z l.

R

6.dz = zB − zA.

l

Пусть интеграл от непрерывной функции в некоторой области не зависит от вида кривой, соединяющей две точки этой области. Зафиксируем начальную точку, обозначив z0, конечная точка

переменная, обозначим е¼ z. Тогда значение интеграла будет за-

R

висеть только от точки z, т. е. f(z)dz определяет некоторую

l

функцию в указанной области:

Zz

f(ξ)dξ = F (z).

z0

Функция F (z) интеграл с переменным верхним пределом .

F (z) имеет производную в любой точке е¼ определения и, следовательно, является аналитической. При этом

F ′(z) = f(z).

Производная интеграла с переменным верхним пределом равна значению подынтегральной функции при верхнем переделе.

41

Функция F (z), для которой выполняется равенство

Zz

f(ξ)dξ = F (z),

z0

называется первообразной для функции f(z) в односвязной области, а совокупность (множество) первообразных Φ(z) = F (z) + c, где c = const, неопредел¼нным интегралом от функции f(z).

Теорема Ньютона Лейбница. Если f(z) аналитическая в односвязной области, F (z) е¼ первообразная, т. е. F ′(z) = f(z),

C ориентированная кривая с начальной точкой z1 и конечной точкой z2, то выполняется равенство

ZZz2

f(z)dz = f(z)dz = F (z2) − F (z1),

C z1

т. е. интеграл не зависит от пути, соединяющего точки z1 è z2, а зависит только от функции и конечных точек.

называется интегралом типа Коши.

Дифференцируя это равенство по переменной z получаем:

42

Вычисление интегралов

Z

Первый способ. Вычисление интегралов f(z)dz от непрерывной

l

функции пут¼м сведения к криволинейным интегралам от функ-

ции действительных переменных с помощью формулы

Z Z Z

f(z)dz = udx − vdy + i vdx + udy.

l l l

1.Найти Re f(z) = u, Im f(z) = v.

2.Записать подынтегральное выражение

f(z)dz = (u + iv)(dx + idy) = udx − vdy + i(udy + vdx).

правилам вычисления криволинейных интегралов второго рода.

Z

Второй способ. Вычисление интегралов f(z)dz от непрерыв-

l

ной функции пут¼м сведения к определ¼нному интегралу в случае параметрического задания пути интегрирования.

Если кривая l задана параметрически: z = z(t), α ≤ t ≤ β или

1.Записать параметрическое уравнение кривой z = z(t) и из него определить пределы интегрирования: t = α соответствует начальной точке пути интегрирования, t = β конечной.

2. Найти дифференциал комплекснозначной функции z(t): dz = z′(t)dt.

43

3. Подставить z(t) в подынтегральное выражение, преобразо-

4.Вычислить полученный определ¼нный интеграл от комплекснозначной функции действительной переменной.

Третий способ. Вычисление интегралов от аналитических функций в односвязных областях применение формулы Ньютона Лейбница.

1.Найти первообразную F (z), используя свойства интегралов,

табличные интегралы и методы, известные из действительного анализа.

2.Применить формулу Ньютона Лейбница:

ZZz2

f(z)dz = f(z)dz = F (z2) − F (z1).

C z1

Замечание

1.В случае многосвязной области проводятся разрезы так, чтобы можно было получить однозначную функцию F (z).

2.При интегрировании однозначных ветвей многозначных функций ветвь выделяется заданием значения функции в некоторой точке кривой интегрирования. Если кривая замкнутая, то начальной точкой пути интегрирования считается та точ- ка, в которой задано значение подынтегральной функции. Значение интеграла может зависеть от выбора точки.

1. Аналитическая функция в любой точке аналитичности может быть записана в виде интеграла

44

2.Аналитическая функция имеет производные любого порядка, для которых справедлива формула ( обобщ¼нная инте-

гральная формула Коши )

Вычисление интегралов по замкнутому контуру от функций

C

2.В области D расположен один простой нуль z = a много- члена ψ(z). Тогда записываем подынтегральную функцию

3. В области D расположен один кратный нуль z = a много-

45

ãäå C1 è C2 границы непересекающихся окрестностей точек z1 = a, z2 = b. Каждый из полученных интегралов вычисляем в соответствии с п. 2 и 3. Очевидно, можно рассматривать случаи большего числа нулей ψ(z) в области D.

Функциональные ряды в комплексной области Основные табличные разложения (Маклорена):

46

k=0

(1 + z)α = 1 + αz + α(α − 1)z2 + . . .

2!

+ α(α − 1) · · · (α − n + 1)zn + . . . , (|z| < 1) (биномиальный ряд); n!

Функция f(z) аналитическая в кольце, представляется в этом кольце сходящимся рядом по целым степеням, т. е. имеет место

равенство

∞

где γ произвольный контур, принадлежащий кольцу и охватывающий точку z0, в частности γ окружность |z − z0| = ρ, r < ρ < R.

47

Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке

Обход контура положительный, т. е. область, им ограниченная и принадлежащая окрестности z0, при обходе расположена слева: для z0 C обход против часовой стрелки, для z0 = ∞

по часовой. Обозначают вычет res f(z):

z0

I

res f(z) = 1 f(z)dz, γ O(z0) \ z0; 0 < |z − z0| < R;

z0 2πi

γ

I

res f(z) = 1 f(z)dz, γ O(∞) \ ∞; R < |z| < ∞.

∞ 2πi

γ

В силу того, что в окрестности особой точки функция разлагается в ряд Лорана, при использовании формулы для коэффициентов ряда Лорана справедливо следующее заключение.

Теорема 1 (теорема о вычислении вычета). Вычет функции в изолированной особой точке равен коэффициенту c−1 ïðè

первой отрицательной степени в разложении функции в ряд

1

Лорана в окрестности этой точки, т. е. при z − z0 äëÿ z0 C, и этому коэффициенту, взятому с противоположным знаком,

äëÿ z0 = ∞:

res f(z) = c−1, z0 C;

z0

res f(z) = −c−1, z0 ∞.

∞

При этом в зависимости от характера особой точки z0 верны следующие утверждения:

1)вычет в устранимой особой точке равен нулю;

2)для простого полюса (Π(1))

res f(z) = lim (f(z)(z − z0));

z0 z→z0

48

3) для полюса порядка n (Π(n), n > 1)

4) если функция f(z) в окрестности точки z = z0 предста-

âèìà â âèäå f(z) = φ(z), прич¼м φ(z) и ψ(z) аналитиче-

ψ(z)

ские функции, такие что φ(z0 ̸= 0), ψ(z0) = 0, ψ′(z0) ̸= 0 (z0 простой полюс), то

5)для существенно особой точки вычет находится из разложения Лорана в окрестности точки z0:

res f(z) = c−1, z0 C;

z0

res f(z) = −c−1, z0 ∞.

∞

С помощью вычетов можно записать в другой форме основную теорему Коши для сложного контура.

Теорема 2 (теорема Коши о вычетах). Если функция f(z)

где C граница области D.

Теорема 3 (обобщ¼нная теорема о вычетах). Сумма выче- тов функции f(z) во всех е¼ особых точках, включая бесконечно

удал¼нную точку, равна нулю:

n

X

res f(z) + res f(z) = 0,

zk ∞

k=1

где C граница области D.

49

дробно-рациональная функция; Pn(x), Qm(x) многочлены степени n и m.

Pn(x)

Теорема 4. Пусть R(x) = Qm(x) удовлетворяет условиям:

1)m −n ≥ 2, т. е. степень знаменателя больше степени числителя, по крайней мере, на два;

2)Qm(x) ̸= 0 для x действительных, т. е. R(z) не имеет особых точек на действительной оси.

Тогда справедливы равенства:

ãäå zk, k = 1, 2, . . . , p все особые точки функции R(z), расположенные выше оси Ox (Im zk > 0) для первой формулы и ниже оси Ox (Im zk < 0) во втором случае.

Замечание

Если R(x) ч¼тная функция, то можно, используя эти фор-

50

−∞

вычетов

1.Проверить условия применения формул: m − n ≥ 2, т. е.

степень знаменателя больше степени числителя, по крайней мере, на два; Qm(x) ̸= 0 для x действительных, т. е. R(z) не имеет особых точек на действительной оси.

2.Найти особые точки подынтегральной функции R(z).

3.Вычислить вычеты в особых точках функции R(z), расположенных

a) выше оси Ox, если применяется формула

51

Теорема 5. Пусть функция R(x) рациональная функция, не имеющая особых точек на действительной оси (т. е. Q(x) ̸= 0 для x R), для которой z = ∞ нуль порядка не ниже первого (т. е. m − n ≥ 1). Тогда справедливы формулы:

1) ïðè λ > 0

∞ p

2) ïðè λ < 0

∞ p

3) ïðè λ > 0

1.Проверить условия для функции R(x), сформулированные в теореме 5: R(x) рациональная функция, не имеет особых

точек на действительной оси (т. е. Q(x) ̸= 0 для x R), для которой z = ∞ нуль порядка не ниже первого (т. е. m − n ≥ 1).

52

2.Вычислить вычеты функции R(z)eiλz во всех е¼ особых точках:

a) лежащих выше оси Ox в случае λ > 0; b) лежащих ниже оси Ox в случае λ < 0.

3. Записать результат по формуле

в результате, полученном в п. 3, отделить действительную и мнимую части и записать результаты соответственно по формулам:

53

Операционное исчисление

Оригинал комплекснозначная функция f(t) действительного аргумента t, которая удовлетворяет следующим условиям:

1)f(t) = 0, t < 0;

2)f(t) локально интегрируема, т. е. на любом конечном про-

на любом конечном отрезке [a, b] f(t) удовлетворяет условиям Дирихле: a) ограничена; b) либо непрерывна, либо имеет конечное число разрывов 1-го рода; c) имеет конечное число экстремумов);

3) f(t) имеет ограниченный рост, т. е. возрастает не быстрее по-

казательной функции: существуют такие постоянные M > 0 и σv≥ 0, что

|f(t)| < M eσvt, t > 0.

Изображение функции f(t) функция F (p) комплексного переменного p, определяемая равенством

σv−i∞

54

Свойства преобразования Лапласа

1.Линейность. Если f1(t), . . . , fn(t) оригиналы,

F1(p), . . . , Fn(p) соответствующие им изображения, то для лю-

XX

k=1 k=1

Справедливо и обратное утверждение: если F1(p), . . . , Fn(p) изображения, то

L−1 [c1F1(p) + . . . + cnFn(p)] = c1f1(t) + . . . + cnfn(t).

2. Подобие (теорема подобия). Для любого a > 0 из

F (p) = L [f(t)] следует

L [f(at)] = 1F p , Re p > aσv,

a a

0

3. Смещение (теорема смещения). При любом комплексном a из F (p) = L [f(t)] следует

L eatf(t) = F (p − a), Re(p − a) > σv,

0

т. е. умножение оригинала на eat соответствует смещению изображения на a.

55

4. Запаздывание (теорема запаздывания). Для любого τ > 0 из F (p) = L [f(t)] следует

L [f(t − τ)] = e−pτF (p), Re p > σv,

0

где f(t − τ) = f(t − τ) · η(t − τ), т. е. запаздывание оригинала на τ > 0 соответствует умножению изображения на e−pτ.

5. Дифференцирование оригинала. Если f(t), f′(t), . . . , f(n)(t)

являются оригиналами и F (p) f(t), то

f′(t) pF (p) − f(+0),

f′′(t) p2F (p) − pf(+0) − f′(+0),

.

f(n)(t) pnF (p) − pn−1f(+0) − . . . − f(n−1)(+0),

ãäå f(k)(+0) = lim f(k)(t), k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.

t→+0

6. Интегрирование оригинала. Если f(t) является оригиналом и F (p) f(t), то

Zt

f(τ)dτ F (p), Re p > σv,

p

0

0

т. е. интегрирование оригинала соответствует делению изображения на p.

7. Дифференцирование изображения. Если функция f(t)

является оригиналом и F (p) f(t), то

F (n)(p) (−1)ntnf(t), tnf(t) (−1)nF (n)(p).