Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные главы математики. Учебное пособие для самостоятельной работы студентов направления подготовки 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника
.pdf
41
1Vd
kk
VllVlV ,,...,,,,
2210
0
V
k
V
k
VV
0
0
V
k
V
0
V
k
V
EV,G
GZ
kk
VllVlVM ,,...,,,,
2210
k М
V
1
V
3
V4 V
0
V
2
V
4
V3 V
1
V
0
V
2
она принадлежит одному ребру, то есть
.
Маршрутом в графе называется чередующаяся последователь-
ность вершин и ребер, в которой любые два соседних элемента инцидентны:
цепи. Если начало и конец маршрута совпадают (
. Вершины
и
называются концами
), то маршрут
замкнут, в противном случае – открыт.
Цепью называется маршрут, в котором все ребра различны.
Простой цепью называется маршрут, в котором все вершины (и
ребра) различны.
Цепь, соединяющая вершины
и
, обозначается (
,
).
Циклом называется замкнутый маршрут, являющийся цепью.
Простым циклом называется цикл, в котором все вершины,
кроме первой и последней, попарно различны.
Число циклов в графе
обозначается
. Граф без цик-
лов называется ациклическим.
Длиной маршрута называется количество ребер в нем (с
вторениями). Если маршрут
маршрута M равна k , обозначается
.
,
то длина
Две вершины графа называются связными, если существует соединяющая их простая цепь. В противном случае две
вершины называют несвязными.
Граф называется связным, если каждые две вершины
его связные. Граф называется несвязным, если хотя бы две его
вершины несвязные. На рис. 2. изображены связный и несвязный графы.
по-
Рис. 2. Связный и несвязный графы
42
V
1
V0 V2 V
3
Ориентированные графы
Ребро l графа G называется ориентированным, если одну
вершину считают началом, а другую – концом, на рисунке его
изображают стрелкой между вершинами. Г раф называется ори-
ентированным графом или орграфом, ес л и все ребра у него
ориентированы (рис. 3).
Рис. 3. Ориентированный граф
Одна и та же вершина ориентированного графа может служить началом для одних ребер и концом для других. По этой
причине различают две степени вершины: степень выхода и степень входа.
Степенью выхода орграфа называется число выходящих из
вершины ребер. Степенью входа вершины орграфа называется
число входящих в вершину ребер. В орграфах в зависимости от
сочетания степеней входа и выхода для данной вершины рассматриваются три случая.
Изолированной вершиной называется вершина, у которой и
степень входа, и степень выхода равна 0. Источником называется
вершина, степень выхода которой положительна, а степень входа равна 0. Стоком называется вершина, степень входа которой
положительна, а степень выхода равна 0. Петлей называется ребро,
у которого начальная и конечная вершины совпадают. Петля
обычно считается неориентированной.
Путем в ориентированном графе называется последовательность ориентированных ребер, то есть для орграфов цепь называется путем. Простым путем в орграфе называется путь, в котором
ни одна вершина не содержится более одного раза. Ориентиро-
ванным циклом или контуром в ориентированном графе называется замкнутый путь. Длиной пути называется число ребер в
этом пути.
43
V
2
V
1
V2 V1 V
1
V
3
V
2
е1 е
2
е
3
Полным ориентированным графом называется граф, каждая
пара вершин которого соединена в точности одним ориентированным ребром.
Если с каждого ребра полного ориентированного графа снять
направление, то образуется полный граф с неориентированными
ребрами (неориентированный полный граф).
Всякий полный ориентированный граф с n вершинами имеет
простой ориентированный путь, проходящий через все вершины
графа.
Мультиграфом называется граф, в котором пара вершин со-
единяется несколькими различными ребрами (рис. 4).
Рис. 4. Неориентированный и ориентированный мультиграф
Способы задания графов, матрицы смежности и инцидентности
Существуют три эквивалентных способа задания графов:
аналитический, геометрический и матричный.
1. Графический способ.
Вершины изображают точками на плоскости, а ребра – линиями, соединяющими соответствующие точки (рис. 5). Для изображе-
ния ориентированного графа используется линия со стрелкой, ука-
зывающей направление от начала к концу дуги.
Рис. 5. Способы задания графа
2. Аналитический способ
Граф задают перечислением элементов множества вершин и
множества ребер.
44
},,{
321
VVVV
},,{
321
eeeE
n
VVV ,...,,
21
m
lll ,...,,
21
nnnn
n
n
aaa
aaa
ааа
...
............
...
...
21
22221
11211
1
ij
а
0
ij
а
1
ii
а
pаij
инцидентныневершинаиреброесли0,
;вершинеинцидентнореброесли,1
ij
ij
ij
Vl
Vl
а
инцидентныневершиниреброесли0
;вершинувзаходитреброесли,1
;вершиныизвыходитреброесли,1
ij
ij
ij
ij
Vl,
Vl
Vl
а
Для графа, изображенного на рис. 5., эти множества включают:
и
, где e1=(V1, V2), e2=(V1, V3),
e3=(V1, V3).
3. Матричный способ
Ориентированный граф имеет вершины:
.
а) Матрица смежности вершин – это квадратная матрица, в
которой число строк и столбцов равно числу вершин n:
Элементы этой матрицы определяются следующим образом.
Элемент
, если вершины Vi и Vj соединены между собой одним
ребром.
и ребра:
Элемент
Элемент
Элемент
, если вершины Vi и Vj не соединены между собой.
, если при вершине V
имеется петля.
i
, если вершины Vi и Vj соединены между собой р ре-
брами.
б) Матрица инцидентности – это прямоугольная матрица раз-
мером mn, число строк которой m равно числу вершин, а число
столбцов n – числу ребер ориентированного графа.
Для неориентированного графа элементы этой матрицы опреде-
ляются следующим образом:
Для ориентированного графа элементы принимают значения:
45
2
V
5
V
5n
5554535251
4544434241
3534333231
2524232221
1514131211
5
4
3
2
1
54321
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
ааааа
V
V
V
V
V
V V VVV
0
11
a
112a
113a
0
14
a
0
15
a
V1 V4 V5 V2 V3 1
2 3 4 5 6
7
Пример выполнения задания (вариант 10)
Граф G задан диаграммой. Для него:
1) составить матрицу смежности;
2) составить матрицу инцидентности;
3) указать степени вершин графа;
4) составить маршруты длины, равной 5;
5) составить цепь и простую цепь, соединяющие вершины
и
;
6) построить простой цикл, содержащий вершину V4.
Решение
1) Составим матрицу смежности вершин. Она является квадрат-
ной матрицей, в которой число строк и столбцов равно числу
вершин n, в данном случае
. Составим матрицу из пяти строк и
пяти столбцов, запишем ее элементы в общем виде:
Заполняем первую строку:
, так как при вершине V1 нет петли;
, так как вершины V1 и V2 соединены одним ребром;
, так как вершины V1 и V3 соединены одним ребром;
, так как между вершинами V1 и V4 нет ребра;
, так как между вершинами V1 и V5 нет ребра.
46
21
a
23
a
25
a
31
a
32
a
34
a
35
a
43
a
45
a
52
a
53
a
54
a
01110
10100
11011
10101
00110
5
4
3
2
1
54321
V
V
V
V
V
V V VV V
5m
7n
57565554535251
47464544434241
37363534333231
27262524232221
17161514131211
5
4
3
2
1
54321
ааааааа
ааааааа
ааааааа
ааааааа
ааааааа
V
V
V
V
V
7 6
Аналогично заполняем 2-ю строку. Смотрим, с какими вершинами соединена вершина V2. Она соединена с вершинами V1, V3, V5
одним ребром. Поэтому элементы
,
,
равны 1, остальные
равны 0.
Заполняем третью строку. Смотрим, с какими вершинами соеди-
нена вершина V3. Она соединена с вершинами V1, V2, V4 , V5 одним
ребром. Поэтому элементы
,
,
,
равны 1, остальные
равны 0.
Заполняем 4-ю строку. Вершина V4. соединена с вершинами V3 и
V5 . Поэтому элементы
и
равны 1, остальные равны 0.
Заполняем 5-ю строку. Вершина V5. соединена с вершинами V2,
V3 и V4. Поэтому элементы
,
,
равны 1, остальные равны 0.
Запишем матрицу смежности, в которую подставим полученные
значения элементов:
2) Составим матрицу инцидентности. В данном случае матрица
инцидентности – это прямоугольная матрица, число строк которой
равно числу вершин, то есть
бер, то есть
. Запишем ее элементы в общем виде:
, а число столбцов равно числу ре-
Так как граф неориентированный, то элементы матрицы будут
принимать значения или 1, или 0.
47
111a
112a
121a
125a
126a
132a
133a
136a
137a
1011000
0001100
1100110
0110001
0000011
7 6 5 4 3 2 1
5
4
3
2
1
V
V
V
V
V
1
V
2
1
Vd
2
V
3
2
Vd
4
3
Vd
2
4
Vd
35Vd
3625544331
,,,,,,,,,, VlVlVlVlVlVМ2
2
V
5
V
52112321
,,,,,,,, VlVlVlVlVМ56
522
,Vl,VМ5
Заполняем первую строку. Выделяем вершину V
, и смотрим,
1
каким ребрам она принадлежит (инцидентна). Вершина V1 инци-
дентна ребрам 1 и 2, поэтому
,
, остальные элементы
строки равны 0.
Заполняем вторую строку. Выделяем вершину V
, и смотрим,
2
каким ребрам она инцидентна. Вершина V2 инцидентна ребрам
1, 5, 6, поэтому
,
,
, остальные элементы строки
равны 0.
Заполняем третью строку. Вершина V3 инцидентна ребрам
2, 3, 6, 7, поэтому
,
,
,
, остальные эле-
менты строки равны 0.
Аналогично заполняем остальные строки.
Запишем матрицу инцидентности, подставляя найденные значе-
ния элементов.
3) Степенью вершин графа называется сумма инцидентных ей
ребер.
Из вершины
цидентны три ребра,
,
выходит два ребра,
. Для остальных вершин:
.
. Вершине
ин-
4) Маршрутом в графе называется чередующаяся последователь-
ность вершин и ребер, в которой любые два соседних элемента инцидентны. Длина маршрута равна количеству ребер в нем (с повторени-
ями) Составим маршрут длины, равной 5:
.
5) Составим цепь и простую цепь, соединяющие вершины
и
,
. В цепи все ребра различны:
простой цепи все вершины (и ребра) различны:
. В
.
48
4
V
4
V
433625543
,,,,,, Vl,VlVlVl,VМ4
V
1
V
7
V
3
V4 V
5
V6 V2 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V1 V3 V4 V5 V6 V
7
V
2
V1 V
3
V
4
V5 V
6
V7 V
2
V
1
V
2
V
3
V4 V
5
V
6
V
7
V
1
V3 V
4
V
5
V6 V7 V
2
6) Построим простой цикл, содержащий вершину
через
и ребер:
. Проложим
замкнутый маршрут, в котором нет повторяющихся вершин
.
Варианты
1) 2)
3) 4)
5) 6)
49
V1 V
7
V
3
V4 V5 V
6
V2 V
1
V
3
V4 V
5
V6 V
7
V
2
V
1
V
7
V
3
V
4
V5 V
6
V
2
V
1
V4 V5 V2 V
3
7) 8)
9) 10)
РГР 9. Вариационные задачи с закрепленными
и подвижными границами
Литература
1. Казунина Г. А. Специальные главы математики: учеб. пособие
для самостоятельной работы студентов [электронный ресурс] /
КузГТУ. – Кемерово, 2012.
Содержание работы
Освоение классических методов решения вариационных задач
Теоретическое введение
1. Задачи с закрепленными границами
Простейшей вариационной задачей называют задачу нахожде-
ния экстремума функционала:
50
dxxyxyxFxyJ
b
a
))(),(,())((
)(xy
ba,
BbyAay )(,)(
)(xy
ba,
0)
'
(
y
F
dx
d
y
F
),( yxF
y
0),( yxF
)(yF
)(' xy
0
2
2
y
y
F
21
CxCy
),( yxF
1
),(
C
y
yxF
),( yyF
x
1
),(
),( C
y
yyF
yyyF
)(xy
ba,
1010
],,[, xxbaxx
dxxyxyxFxyJ
b
a
))(),(,())((
на множестве непрерывно дифференцируемых функций
, за-
данных на отрезке
и удовлетворяющих условиям
.
Функция, которая доставляет экстремум функционалу, называ-
ется экстремалью. Если функция
ренцируема на
и является экстремалью, то она необходимо
удовлетворяет уравнению Эйлера:
В некоторых случаях решение уравнения Эйлера упрощается
по сравнению с общим случаем:
1. Функция
сит от
:
в выражении для функционала явно не зави-
(это уравнение не является дифференци-
альным).
дважды непрерывно диффе-
.
2. Функция
зависит только от
решением этого уравнения являются прямые линии
.
3. Функция
4. Функция явно
не зависит от y:
не зависит от
.
2. Задачи с подвижными границами
Простейшая задача вариационного исчисления с подвижными
границами состоит в определении функции
отрезку
и точек
для которых функционал
:
. Общим
.
, принадлежащей
:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]