Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные главы математики. Учебное пособие для самостоятельной работы студентов направления подготовки 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника
.pdf
51
)()(
000
xxy
)()(
111
xxy
],[);(:);(:
1201
baxxyxy
)(xyy
1
2
;)(;)(
1100
yxyyxy
)(0xy
0)
'
(
y
F
dx
d
y
F
;)(;)(
1100
yxyyxy
0J
),,(
21
ccxyy
)(1x
)(0x
0
x
1
x
достигает экстремума при условиях
,
.
Эту задачу можно сформулировать также следующим образом.
Пусть на плоскости заданы гладкие кривые
.
Требуется найти такую гладкую кривую
соединяет какую-либо точку кривой
с какой-либо точкой кривой
которая
и доставляет экстремум функционалу.
Рис. 1
Рассмотренная ранее задача, когда граничные условия были
зафиксированы:
является частным случаем
задачи с подвижными границами.
Поэтому искомая кривая
должна быть экстремалью,
то есть должна удовлетворять уравнению Эйлера:
Однако, в задаче с подвижными границами одно из условий
или оба эти условия отсутствуют. Поэтому
для определения произвольных постоянных, возникающих при
решении задачи, необходимы некоторые условия. Условия для
нахождения произвольных постоянных в задаче с подвижными
границами называют условиями трансверсальности.
Найдем эти условия, взяв за основу необходимое условие
существования экстремума функционала :
При этом будем считать, что кривая
является
экстремалью.
52
00
)( yxy
)(1x
)(xy
)(0xy
),(
11
yxA
),(
1111
yyxxB
dxyyyyxF
dxyyxFyyyyxFdxyyxF
dxyyyyxFdxyyyyxF
dxyyxFdxyyyyxFJ
xx
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
xx
x
)'',,(
))',,()'',,(()',,(
)'',,()'',,(
)',,()'',,(
11
1
1
0
1
0
11
1
1
0
1
0
11
0
).1,0(;)'',,(
1
11
11
1
xFdxyyyyxF
xx
xx
x
1
1
1
11
xFxF
xxx
Рассмотрим случай, когда одна из граничных точек закреплена
, а другая может перемещаться вдоль кривой
Пусть
– кривая, близкая к искомой
.
Запишем приращение функционала при переходе от
точке
:
.
к
(1)
Рис. 2
Второй интеграл в этой сумме оценим по теореме о среднем
Приближенно можно считать
. (2)
53
)',,( yyxF
', yy
dxy
y
F
ydx
y
F
dxy
y
F
y
y
F
dxyyxFyyyyxF
x
x
x
x
x
x
x
x
1
0
1
0
1
0
1
0
'
'
)'
'
())',,()'',,((
';
'
ydv
y
F
u
.))
'
((
''
)
'
(
'
1
0
01
1
0
1
1
0
0
ydx
y
F
xd
d
y
F
y
y
F
y
y
F
dxy
y
F
xd
d
x
x
y
y
F
ydx
y
F
x
x
xxxx
x
x
x
x
0
xx
00
)( yxy
0
0
xy
0)
'
(
y
F
dx
d
y
F
.
'
1
1
1
xxxx
y
y
F
xFJ
,)('
11
1
1
xxyyy
xx
1
1
1
1
1
1
11
11
1
1
11
1
1
1
'
)
'
)('(
)('
''
))('.(
'
1
1
y
y
F
x
y
F
xyF
xxy
y
F
y
y
F
xF
xxyy
y
F
xFJ
xxxxxx
xxxxxx
xxxx
В первом интеграле этой суммы заменим приращение
по переменным
дифференциалом (или представим
по формуле Тейлора для функции двух переменных с точностью до
линейных слагаемых):
<Вычисляя интеграл по частям
>=
С учетом того, что точка
закреплена
, а искомая кривая удовлетворяет уравнению Эйлера :
получаем для вариации фукнционала выражение
(3)
С учетом того, что
и
.
54
0
'
)
'
'(
11
11
y
y
F
x
y
F
yF
xxxx
)(11xy
1111
)(' xxy
0)('
'
)
'
'(
1111
11
xx
y
F
x
y
F
yF
xxxx
0)}('
'
)
'
'{(
111
11
xx
y
F
y
F
yF
xxxx
0}
'
)')('{
1
1
xx
y
F
yxF
)(0x
0}
'
)')('{
0
0
xx
y
F
yxF
),(
11
yx
1
yy
01y
0)
'
'(
1
xx
y
F
yF
1
xx
0
'
1
xx
y
F
Таким образом, необходимые условия существования
экстремума функционала записываются в виде:
. (4)
При условии перемещения правой граничной точки по кривой
получаем для вариации функции
Поэтому условия (4) имеют вид:
Полученное условие и называют условием трансверсальности.
Если левая граничная точка также перемещается по кривой
, то добавляется аналогичное условие
Частные случаи условий трансверсальности
.
(5)
(5a)
1. Если одна из граничных точек, например, правая
мещается по горизонтальной прямой
то
пере-
и усло-
вие трансверсальности записываем как
(6)
2. Если задана абсцисса одного из концов, а граничное условие
отсутствует, то это означает, что граничная точка может пе-
ремещаться по вертикальной прямой, например,
. Тогда
вместо условия трансверсальности записывают условие
(7)
55
2
xy
.5 xy
1
0
2
)'(1][
x
x
dxyyJ
2
000
)( xx
.5)(
111
xx
2
)'(1)',,( yyyxF
0)
'
(
y
F
dx
d
y
F
'y
)'(yFF
0
y
F
;0''
'
)'(
)
'
)'(
(
2
2
y
y
yF
y
yF
dx
d
0'' y
21
CxCy
110
)(')(' cxyxy
).(),,(
00210
xccxy
).(),,(
11211
xccxy
2
0201
xCxC
5
1211
xCxC
0
)'(1
'
)'2()'(1
0
2
2
xx
y
y
yxy
Примеры решения задач
Задача 1.
Найти кривую минимальной длины, соединяющую пара-
болу
от
и прямую
Решение
Функционалом в данном случае является длина дуги
Пусть левая граничная точка перемещается по параболе
а правая по прямой
,
.
Функция
Шаг 1. Составляем и решаем уравнение Эйлера:
.
Имеет место частный случай, когда функция F зависит только
:
Тогда
Общее решение такого уравнения имеет вид
.
Заметим, что
(8)
Шаг 2. С учетом того, что искомая кривая и линии, по кото-
рым перемещаются граничные точки, должны пересекаться, полу-
чаем условие:
В данной задаче
,
:
Шаг 3. Записываем условия трансверсальности
0
)'(1
'
)'1()'(1
1
2
2
xx
y
y
yy
0
1
)2(1
2
1
1
10
2
1
c
c
cxc
0
1
)1(1
2
1
1
1
2
1
c
c
cc
21
,cc
.5
0
1
)1(1
0
1
)2(1
1211
2
0201
2
1
1
10
2
1
2
1
1
10
2
1
xCxC
xCxC
c
c
cc
c
c
cxc
.5
0)1(1
0)2(1
1211
2
0201
101
2
1
101
2
1
xCxC
xCxC
ccc
cxcc
.
2
1
;012
00
xx
0
x
21
,cc
12
2
`1
4
1
cc
11c
4
3
2
c
.
8
23
1
x
С учетом условия (8):
56
Шаг 4. Для определения
решаем систему уравнений
Вычитая из первого уравнения системы второе, получаем
Подставляя
лучаем соотношение между
в третье уравнение системы, по-
.
.
Подстановка этого соотношения в первое уравнение системы
дает
чаем
. Тогда
. Из четвертого уравнения системы полу-
57
.
4
3
xy
.2
8
19
)
2
1
8
23
(22)1(1
8/23
2/1
8/23
2/1
2
xdxS
0)1(
))'(()]([
1
0
2
y
dxyyxyJ
0
'
0
x
y
F
0)
'
(
y
F
dx
d
y
F
0)'2(1 y
dx
d
;
1
2
1
' cxy
;
;0''21 y
.
4
1
21
2
cxcxy
2
1
'' y
;
0)0(' y
;.00
2
1
1
c
.0
1
c
0)1( y
.
4
1
2
c
).1(
4
1
2
xy
Уравнение искомой кривой:
Расстояние между параболой и прямой:
Задача 2.
Найти экстремум функционала
Поскольку отсутствует граничное условие для левой гранич-
ной точки, то принято считать, что левый конец движется по верти-
кальной линии. В этом случае граничное условие имеет вид:
:
Решая уравнение Эйлера, находим уравнение экстремали:
.
С учетом условий трансверсальности:
;
С учетом граничного условия
получаем
Искомая кривая
0
22
0)()0(,))(cos4()( yydxyyxyyI
)(sin xCxy
0)(,)1(,)(2()(
1
22
eyeydxyxyyI
e
x
x
e
y ln
1
0
2
0)1()0(,)12)(()( yydxxyyyyyI
xxy
3
8/15)2(ln,0)0(,)3)(()(
22
2ln
0
2
yydxeyyyI
x
xx
eey
3
)(xyy
)0,0(
0
M
)1,1(
1
M
xv
11
2
xy
)0,0(
0
M
),(
111
yxM
)0,0(
0
M
),(
111
yxM
)cos1(
2
)sin(
2
t
C
y
tt
C
x
Варианты (в скобках ответы)
Найти экстремали функционала, удовлетворяющие задан-
ным граничным условиям.
58
1)
Ответ:
2)
Ответ:
3)
Ответ:
4)
Ответ:
1. Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой
, соединяющей точки
и
со скоростью
. Найдите кривую, двигаясь по которой материальная точка
попадет из одной точки в другую за наименьшее время.
Ответ:
2. Задача о брахистохроне. Найдите плоскую кривую, соединяю-
щую точки
и
, при скатывании вдоль которой
под действием силы тяжести материальная точка перемещается
из
Ответ:
в
за наименьшее время.
59
11
2
00
2
)(,2)(,)(1)(
1
0
xxyxxydxyyI
x
x
8
11
,
2
1
,
4
11
10
xxxy
0)0(,))(()(
2/1
0
2
ydxyyyI
)1(
4
1
xxy
2
1
1
0
2
1
)(,0)0(,)(1)(
1
x
xyydxyyI
x
6
1
2,
2
x
x
y
Найти экстремали в задачах с подвижными границами
1)
Ответ
2)
Ответ
3)
Ответ:
РГР 10. Задача на принцип максимума Л. С. Понтрягина
Литература
1. Гюнтер Н. М. Курс вариационного исчисления [электронный
ресурс]. – СПб. : Лань, 2009. – 320 с.
2. Понтрягин Л. С. Принцип максимума в оптимальном управле-
нии – М. : Наука, 1989. – 60 с.
Содержание работы
Получить представление о решении задач управления с исполь-
зованием принципа максимума Л. С. Понтрягина
Теоретическое введение
Принцип наименьшего действия в механике
Наиболее общей формой закона движения в механике является
принцип наименьшего действия. Согласно этому принципу механическая система полностью задается координатами и скоростями
(импульсами) элементов системы при помощи функции Лагранжа
60
поткин
),,( EEtxxLL
11
)( xtx
22
)( xtx
2
1
),,())((
t
t
dttxxLtxS
)(tx
0
x
L
dt
d
x
L
пот
2
2
)(Exm
L
x
pxm
x
L
p
x
L
dt
d
x
L
x
L
x
dt
d
x
x
L
x
x
L
dt
d
x
x
L
x
x
L
dt
dL
0Lxp
dt
d
Lpx
),( pxH
),(),( xxLpxpxH
.dpxdxpxpddxpxpddpxxd
x
L
dx
x
L
xpddpxdH
, которая является разностью между кине-
тической и потенциальной энергиями системы. Движение между
двумя точками
зом, чтобы функционал действия
и
всегда происходит таким обра-
принимал
наименьшее возможное значение. Другими словами траектория
движения
должна быть экстремалью и удовлетворять уравне-
нию Эйлера, которое в механике называют уравнением Лагранжа:
.
Используя выражение для кинетической энергии, представля-
ем функцию Лагранжа в виде
изводная по
совпадает с импульсом системы
уравнения Лагранжа следует, что
. Тогда частная про-
. А из
. Пусть функция
Лагранжа явно не зависит от времени. Тогда полную производную
по времени записываем следующим образом:
.
Из последнего уравнения следует, что при движении по экс-
тремали сохраняется постоянной величина (
). Эта величина
является полной энергией системы и ее называют гамильтонианом
системы
.
Запишем выражение для полного дифференциала этой функ-
ции:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]