Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные главы математики. Учебное пособие для самостоятельной работы студентов направления подготовки 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника
.pdf
11
nxan
),(ˆzX
z
0
)(
ˆ
n
n
z
nx
zX
nx
n
Menx
ez
.
eR
)(ˆzX
0, n Anx
n
.)(
ˆ
00
n
n
n
n
n
z
A
z
AzX
z
q
.
1
)(
ˆ
z
Az
z
A
zX
z
3. Казунина Г. А. Специальные главы математики: учеб. пособие
для самостоятельной работы студентов [электронный ресурс] /
КузГТУ. – Кемерово, 2012.
Содержание работы
Методом Z-преобразований найти решение указанных раз-
ностных уравнений и систем уравнений
Теоретическое введение
Z-преобразованием для числовой (действительной или ком-
плексной) бесконечной последовательности
функцию комплексной переменной
которая определяется как
называют
разложение в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки
:
Если функция
творяет условию
является решетчатой функцией и удовле-
, то ряд Лорана сходится в области
, то есть вне круга с центром в начале координат и радиусом
Функция
является в этой области аналитической
функцией.
Пример 1. Найти Z-преобразование функции
Разложение функции в ряд Лорана имеет вид:
.
Так как данный ряд является геометрической прогрессией со
знаменателем
и первым членом прогрессии, равным A, то
сумма ряда равна
Область сходимости ряда:
.
12
.);(
ˆ
z
Az
A zXnX
n
.1nx
.
1
1
1
11
)(
ˆ
0
z
z
z
z
zX
n
n
11
z
.1z
z
N
k
n
kk
zzXresnx
1
1
)(
ˆ
.
)3)(2(
1
)(
ˆ
zz
zX
nx
n
k
n
kk
zzXresnx
1
1
)(
ˆ
)(ˆzX
2z
3z
3
1
2
1
)2)(3()2)(3(
z
n
z
n
zz
z
res
zz
z
resnx
.32
23
11
3
1
2
1
nn
z
n
z
n
z
z
z
z
В дальнейшем будем обозначать соответствие между решетча-
той функцией и ее Z-преобразованием следующим образом:
Пример 2. Найти Z-преобразование для функции
Раз-
ложение функции в ряд Лорана имеет вид:
Область сходимости ряда определяется соотношением:
или
Полную таблицу преобразований найдете в указанной
выше литературе.
Восстановить решетчатую функцию-оригинал (общий член
последовательности) можно используя общую формулу для коэффициентов ряда Лорана в окрестностях
:
.
Сумма вычетов берется по всем особым точкам, лежащим в
конечной части плоскости.
Пример 3. Восстановить решетчатую функцию
Функцию
восстановим по формуле для коэффициентов
ряда Лорана:
С учетом того, что данная функция
сы в точках
и
, получаем:
.
имеет простые полю-
13
)(
~
)(
~
zYzXnynx
)0)(
~
(1 xzXznx
)10)(
~
(2 xzxzXzznx
)210)(
~
(3
22
xzxxzzXzznx
0, n nx
)(ˆzX
.0,0
,0,1n n
n
1
.,0
,,1
ln
ln
ln
l
z
1
n
a
azz
1
1z
z
n
2
)1( z
z
n
na
2
)( azaz
an
e
)(
a
ezz
an
e
)(
a
ez
z
anT
e
)(
aT
ezz
nsin
1cos2
sin
2
zz
z
ncos
1cos2
)cos(
2
zz
zz
Некоторые свойства преобразований:
1.
2.
3.
4.
,
,
,
.
Z-изображение основных решетчатых функций
14
nsh
1ch2
sh
2
zz
z
nch
1ch2
)ch(
2
zz
zz
ne
an
sin
aa
a
ezez
ze
22
cos2
sin
ne
an
cos
aa
a
ezez
zez
22
2
cos2
cos
an
ne
2
)(
a
a
ez
ze
na
n
cos
221
1
cos21
cos1
zaza
za
na
n
sin
221
1
cos21
sin
zaza
za
51,40
0122
xx
nxnxnx
n
z
zz
4
)1(
34
2
2
12,010
213233
xxx
nxnxnxnx
n
)1(2
)1)(2(
2
nzz
z
n
010
3
cos21522
xx
nnxnxnx
)
3
)1(
cos22(
6
1 n
n
Варианты
1)
Ответ:
2)
Ответ:
3)
.
.
Ответ:
15
000
231
322]1[
yx
nynxny
nynxnx
n
n
)132(
6
1
)2231(
3
1
122
12
nnnn
ny
nx
),()( ttX
)(),...,(),(
21
txtxtx
n
)(),...,(),(
00201
txtxtx
n
4.
Ответ:
.
РГР 3, 4. Преобразование стационарных случайных функций
линейными системами. Определение характеристик случайного
процесса по опытным данным
Литература
1. Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных
функций [электронный ресурс]. – СПб : Лань, 2011.
2. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. – М. : Высшая школа,
1999.
3. Казунина Г. А. Специальные главы математики: учеб. пособие
для самостоятельной работы студентов [электронный ресурс] /
КузГТУ. – Кемерово, 2012.
Содержание работы
Освоение способов описания случайных процессов.
Теоретическое введение
Понятие случайной функции (процесса) является обобщением
понятия случайной величины:
, где
– элемен-
тарное событие (случайный аргумент); t – не случайный аргумент
(время). Реализацией случайного процесса называется конкретный
вид, который принимает функция со случайным исходом. Ряд проведенных опытов дают совокупность реализаций
, которые отличаются друг от друга в силу слу-
чайных причин. Совокупность реализаций случайной величины, соответствующая определенному моменту времени, превращается в
обычную случайную величину, которую называют сечением случайной величины:
.
Главными характеристиками случайной величины являются
математическое ожидание, дисперсия, автоковариационная функция, автокорреляционная функция. Случайная величина называется
16
;; constDconstM
XX
)(
X
K
)(S
)(
X
K
)(
X
S
deKS
i
XX
)(
1
)(
dK
X
X
0
2
)(
2
)(max
2
)(
)(max
1
2
X
X
X
X
S
dS
S
dSKD
XXXX
)(
2
1
)0(
2
)exp()(
2
T
K
XX
)exp()(
2
2
2
T
K
XX
)(
)(
22
2
a
K
X
X
0
2
cos)(
XX
K
constbconstA
b
Ab
S
X
,,
)(
)(
22
стационарной, если выполняются условия
а ковариационная функция
тервала между сечениями. Спектральная плотность
зависит только от временного ин-
вводится
как Фурье-преобразование соответствующей ковариационной
функции (теоремы Винера-Хинчина).
Варианты
1. По заданной ковариационной функции стационарного случайно-
го процесса
A) спектральную плотность
найти:
:
B) время корреляции (эффективную длительность автокорреля-
ционной функции)
,
C) эффективную ширину спектра
:
D) среднюю мощность случайного процесса (дисперсию)
1)
3)
, 2)
, 4)
.
,
2. По заданной спектральной плотности стационарного случайного
процесса
найдите:
17
deSK
i
XX
)(
2
1
)(
dSKD
XXXX
)(
2
1
)0(
2
)(
Y
K
)(
Y
S
2
2
XX
Dx
22
YY
Dy
)()()()()()(
2
XXY
SiHiHSiHS
deSK
i
YY
)(
2
1
)(
)(3)()(2 txtyty
)()()( txtyty
)(2)()(5)( txtxtyty
)()()( txtxty
)()()( txtyty
A) автоковариационную функцию
B) дисперсию (среднюю мощность случайного процесса)
C) эффективную ширину спектра.
3. На вход линейной динамической системы подается случайный
сигнал, заданный спектральной плотностью или автоковариационной функцией. Найдите характеристики сигнала на выходе си-
стемы:
,
, среднюю мощность случайного процесса.
Сравните дисперсии (средние мощности) на входе и выходе системы:
и
, сравните эффективную
ширину спектра и эффективное время корреляции на входе и выходе системы. При решении задачи используйте связь между
спектральной плотностью на входе и выходе системы:
Варианты (выбрать одно уравнение и один вид входного сиг-
нала по указанию преподавателя)
Дифференциальные уравнения линейных систем:
1)
2)
3)
4)
5)
Возможные входные сигналы:
A) белый шум,
B) низкочастотный белый шум
18
0
0
2
,)(
X
X
S
0
,0)(
X
S
0),exp()(
2
XMK
XX
0
2
cos)(
XX
K
)(
)(
2
1
tx
tx
X
dt
tdx
dt
tdx
dt
dX
X
)(
)(
2
1
и
,
C) сигнал с автоковариационной функцией
,
D) сигнал с автоковариационной функцией
РГР 5. Фазовый портрет на плоскости. Понятие качественной
эквивалентности линейных дифференциальных уравнений
Литература
1. Алексеев Д. В. Дифференциальные уравнения с элементами
теории устойчивости: учеб. пособие [электронный ресурс] /
Д. В. Алексеев, Г. А. Казунина, Н. В. Трушникова; КузГТУ. –
Кемерово, 2010.
.
2. Казунина Г. А. Специальные главы математики: учеб. пособие
для самостоятельной работы студентов [электронный ресурс] /
КузГТУ. – Кемерово, 2012.
Содержание работы
Построение фазовых портретов автономных дифференциаль-
ных уравнений первого и второго порядка. Усвоение понятия каче-
ственной эквивалентности дифференциальных уравнений.
Теоретическое введение
Системы дифференциальных уравнений c постоянными коэф-
фициентами удобно анализировать и записывать в матричной фор-
ме, вводя обозначения:
матрица столбец неизвестных,
матрица столбец производных,
2221
1211
aa
aa
A
)(
)(
2
1
2221
1211
2
1
tx
tx
aa
aa
dt
dx
dt
dx
AX
dt
dX
0
2
2
2
2
x
dt
xd
1
2
2
1
x
dt
dx
x
dt
dx
01
10
A
Cxx
2
2
2
1
11
12
10
01
J
1
1
,
1
1
21
ee
11
11
T
Система дифференциальных уравнений переписывается сле-
дующим образом:
Пример 1. Линейное дифференциальное уравнение второго
порядка
19
матрица коэффициентов системы.
эквивалентно системе линейных уравнений
с матрицей коэффициентов
. Фазовыми траекториями
этой системы является семейство гипербол
системы имеет собственные значения
приведена к более простой матрице
ственных векторов
. При этом матрица перехода
и
. Матрица
и может быть
в базисе из соб-
. В новой системе координат исходная система уравне-
ний принимает более простой вид
20
2
1
2
1
x
dt
dx
x
dt
dx
JX
dt
dX
Cxx
21
4
Cxx
22
1
2
2
x
1
x
2
x
1
x
1
e
2
e
T
ˆ
Cxx
2
2
2
1
Cxx
21
.
Исключив параметр t, получаем, что уравнение фазовых траек-
торий имеет вид:
этих гипербол повернуты на угол
бол
.
. Это также гиперболы. Но оси симметрии
относительно осей гипер-
Заметим, что характер фазового портрета в окрестности точки
(0; 0) (характер особой точки) сохраняется и является «седлом».
Две системы дифференциальных уравнений первого порядка
называются качественно эквивалентными, если существует не-
прерывное взаимно однозначное преобразование, которое переводит фазовый портрет одной системы в фазовый портрет другой,
так что сохраняется ориентация траектории (тип фазового
портрета).
Сохранение фазового портрета «седло» при переходе к новой
системе координат.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]