Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные главы математики. Учебно-методическое пособие
.pdf
31
го марковского процесса называется вероятность нахождения в этом состоянии
при t , то есть в далеком будущем. Предельная вероятность имеет тот же
смысл, что и для цепи Маркова: j есть средняя доля времени нахождения в состоянии sj при t .
Синонимы: финальная вероятность, стационарная вероятность, равновесная
вероятность.
Теорема о существовании и единственности предельных вероятностей.
Для эргодического однородного марковского процесса предельные вероятности
существуют и не зависят от начального состояния, то есть
j =
)(lim tp
ij
t
.
Теорема приведена без доказательства. Существование предельных вероятностей, не зависящих от начального состояния, строго доказано в специальной
литературе.
Смысл теоремы: далекое будущее эргодического процесса не зависит от
начального состояния.
Замечание. Иногда эргодический марковский процесс определяют через существование предельных вероятностей: марковский процесс называется эргодическим, если для всех состояний
)(lim tp
ij
t
= j,
j
j
= 1.
Поскольку предельные вероятности эргодического марковского процесса j не
зависят от начального состояния, то они не зависят и от начального распределения:
)(lim tp
t
,
где = 1 2 3 … – предельное распределение вероятностей. Действительно, если p(t) = p(0)P(t), то
p
(0)
)(lim tP
t
= p(0) = ,
где – матрица, каждая строка которой является предельным распределением .
Теорема о связи предельных вероятностей и интенсивностей перехода. Для
эргодического однородного марковского процесса выполняется условие:
= o,
где o – нулевая строка.
Доказательство. Система дифференциальных уравнений Колмогорова в
матричном виде:
p
(t) = p(t). При t вероятности pj(t) стремятся к пре-
дельным, поэтому
)(lim tp
t
и
)(lim tp
t
= o, откуда = o.
32
Теорема доказана.
Смысл теоремы. Матричное уравнение = o представляет собой одно-
родную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных j. Число неизвестных равно числу уравнений системы.
Система уравнений является неопределенной, имеет бесконечно много ре-
шений, так как на систему наложена одна зависимость: сумма элементов любой
строки матрицы равна нулю. Поэтому ранг матрицы на единицу меньше
числа неизвестных. Добавив независимое условие нормированности 1 + 2 +
3 + … = 1, получим определенную систему, имеющую единственное решение.
Такую систему можно решить, например, методом Гаусса или Крамера.
Приведем без вывода две формулы для вычисления предельных вероятностей эргодического марковского процесса.
Первая формула основана на вычислении определителей:
m
k
k
j
m
k
k
j
j
11
det
det
π
,
где j матрица, полученная из исходной матрицы вычеркиванием j-й
строки и j-го столбца; j = det j – определитель матрицы j.
По этой формуле предельные вероятности можно вычислить только после
вычисления всех определителей и нахождения их суммы.
Вторая формула основана на обращении матриц:
e
j
j
j
1
λ1
1
π
,
где j матрица, определенная в первой формуле;
j
j-я строка матрицы
без элемента jj;
e
столбец, все элементы которого равны 1.
По этой формуле вычисление каждой предельной вероятности j связано с
вычислением обратной матрицы, порядок которой на единицу меньше порядка
исходной матрицы.
Замечания. 1. Размеры перемножаемых матриц во второй формуле согласо-
ваны.
2. На практике можно использовать комбинацию этих двух формул.
Вероятности pij(t) и предельные вероятности j описывают разные режимы
эргодического марковского процесса: переходный (нестационарный) режим
и установившийся (стационарный) режим. В переходном режиме вероятно-
сти состояний зависят от времени, ввиду чего характеристики системы в этом
33
режиме также зависят от времени. А в установившемся режиме, то есть при достаточно долгом протекании процесса, вероятности состояний перестают зависеть от времени, ввиду чего характеристики системы также перестают зависеть
от времени.
Таким образом, для эргодического марковского процесса можно рассматривать как переходный, так и установившийся режимы.
Замечание. Переходный и установившийся режимы имеют место также и
для однородной цепи Маркова.
Вывод. Матрица интенсивностей эргодического однородного марковского
процесса достаточна для нахождения предельных вероятностей.
Вопросы для самоконтроля и проверки знаний
1. К какому типу процессов относится
а) цепь Маркова?
б) процесс Маркова?
2. Какими исходными характеристикам и (параметрами) задают
а) цепь Маркова?
б) процесс Маркова?
3. Как определяется однородность
а) цепи Маркова?
б) процесса Маркова?
4. В чем заключается смысл отсутствия последействия цепи Маркова и
процесса Маркова?
5. Как представляют графически
а) цепь Маркова?
б) процесс Маркова?
6. Как определяются достижимые, сообщающиеся, несущественные и
поглощающие состояния?
7. Как определяется эргодическое множество состояний?
8. Какими свойствами обладает
а) стохастическая матрица однородной цепи Маркова?
б) матрица интенсивностей однородного процесса Маркова?
9. Как определяются вероятности состояний
а) цепи Маркова на произвольном шаге?
б) процесса Маркова в произвольный момент времени?
10. Как определяются предельные вероятности состояний
а) эргодической цепи Маркова?
б) эргодического процесса Маркова?
34
Раздел 3. МОДЕЛИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ОБОРУДОВАНИЯ
СИСТЕМ СВЯЗИ
3.1. РЕЗЕРВИРОВАНИЕ ОБОРУДОВАНИЯ КАК СРЕДСТВО
ОБЕСПЕЧЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ
Понятие процесса размножения и гибели
Процесс размножения и гибели – это случайный процесс со счетным (ко-
нечным или бесконечным) множеством состояний, протекающий в дискретном
или непрерывном времени. Процесс состоит в том, что в случайные моменты
времени система переходит из одного состояния в другое, при этом переходы
происходят тогда, когда наступают события, называемые рождением некоторого объекта или гибелью этого объекта.
Примеры. 1. Обслуживание абонентов телефонной станцией. Объектом яв-
ляется вызов абонента. Появление вызова – это рождение объекта, а завершение
обслуживания – это гибель объекта.
2. В техническом устройстве в случайные моменты времени появляются отказы. После появления (рождения) отказа происходит его поиск и устранение
(ремонт, замена), в результате чего отказ гибнет. Как рождение, так и гибель
отказа происходят в случайные моменты времени.
Граф состояний позволяет формально описать процесс размножения и гибели. Рассмотрим этот процесс в непрерывном времени. Будем полагать, что в
каждый момент времени может произойти рождение или гибель только одного
объекта (процесс является ординарным). Число объектов в системе может быть
конечным или бесконечным.
Процесс (или схема) размножения и гибели описывается графом с числом
состояний n + 1, где n – наибольшее возможное число объектов в системе.
w0
λ0
μ1
w1
λ1
μ2
w2
λ2
μ3
…
…
λ
n–1
μn
wn
Из каждого состояния wi, i =1, 2, … , n – 1, возможны переходы только в со-
седние состояния w
i–1
или w
i+1
. Переход wi → w
i+1
(i = 0, 1, 2, …, n – 1) означает
рождение объекта, а переход wi → w
i–1
(i = 1, 2, …, n) – его гибель. Таким обра-
зом, индекс i в обозначении wi показывает число объектов, находящихся в системе.
Термин «схема размножения и гибели» заимствован из биологических задач, где состояние популяции определяется числом живых объектов.
35
Мы ограничимся только стационарным режимом и только предельными ве-
роятностями, которые будем вычислять с помощью определителей:
πj =
n
0k
i
j
n
0k
i
j
det
det
,
где Λj = det Λj – определитель матрицы Λj; Λj – матрица, полученная из матрицы интенсивностей вычеркиванием j-й строки и j-го столбца; в знаменателе
находится сумма определителей по всем состояниям.
Представление резервированной системы процессом размножения
и гибели
Будем рассматривать резервированную систему, состоящую из n однотип-
ных элементов. Каждый элемент может отказать в некоторый случайный момент, а затем этот отказ также в случайный момент времени устраняется. Таким
образом, объектом является отказ одного элемента. Рождением объекта являет-
ся появление отказа, а гибелью – устранение отказа. В состоянии wi находится i
отказавших элементов (или i отказов).
Множество состояний разбивается на два подмножества:
1) U – подмножество работоспособных состояний;
2) V – подмножество неработоспособных состояний.
Коэффициенты готовности и простоя вычисляются по формулам:
К
г
=
Uw
j
j
π
; Кп =
Vw
j
j
π
.
Очевидно, что Кг + Кп =1.
Если число отказавших элементов равно i, то число работоспособных элементов равно n – i. В каждой резервированной системе, описываемой схемой
размножения и гибели, установлено число основных элементов и число резервных элементов. Число основных элементов – это наименьшее число работоспособных элементов, при которых система работоспособна. Обозначим число
основных элементов через m. Тогда число резервных элементов равно n – m.
Чем больше число отказавших элементов i, тем меньше число работоспособных элементов. Пусть число работоспособных элементов равно k. Тогда
i + k = n. Наименьшее число работоспособных элементов, при которых система
работоспособна, равно m, то есть k = m. Тогда наибольшее число отказавших
элементов, при которых система работоспособна, равно n – m. Таким образом,
U = {w0, w1, …, w
n–m
}; V = { w
n–m+1
, …, wn }.
36
«Гибелью отказа» будем называть восстановление работоспособности отка-
завшего элемента. Восстановление работоспособности производится восстанавливающим органом, при этом полагается, что восстанавливающий орган
может одновременно устранять отказ только одного элемента. В резервированной системе могут быть один или несколько восстанавливающих органов. Если
число отказавших элементов превышает число восстанавливающих органов, то
отказавшие элементы «стоят в очереди» на восстановление.
Работоспособные резервные элементы могут находиться в нагруженном или
ненагруженном режиме. Если резервный элемент находится в нагруженном режиме, то он может отказать с номинальной интенсивностью, а в ненагруженном
отказать не может. Отказавший элемент второй раз отказать не может. Отказ
элемента обнаруживается в момент его возникновения и элемент переводится в
режим восстановления или «стоит в очереди на восстановление».
Интенсивность отказа одного элемента будем обозначать через λ, а интенсивность восстановления – через μ.
Возможны разные варианты построения резервированной системы, состоящей из n элементов. Эти варианты различаются:
1) разным числом основных элементов (m) и соответственно разным числом
резервных элементов (n – m);
2) разным режимом работы резервных элементов, который может быть
нагруженным или ненагруженным;
3) разным числом восстанавливающих органов.
Если число восстанавливающих органов равно r, то одновременно могут
восстанавливаться 1, 2, …, r отказавших элементов. Если же число отказавших
элементов превысит r, то восстанавливаться могут только r элементов. Таким
образом, число одновременно восстанавливаемых отказавших элементов не
может быть больше числа r.
В дальнейшем для обозначения нагруженного режима будем использовать
термин «горячий» режим, а для ненагруженного режима – «холодный» режим.
Целесообразность использования этих терминов продиктована удобством обозначения состояний (Г или Х).
Пример. Пусть число элементов системы n = 4. Подмножества работоспособных и неработоспособных состояний при разном числе основных элементов
m:
m = 1: U = {w0, w1, w2, w3}; V = {w4};
m = 2: U = {w0, w1, w2}; V = { w3, w4};
m = 3: U = {w0, w1}; V = { w2, w3, w4};
m = 4: U = {w0}; V = {w1, w2, w3,w4}.
37
Варианты построения системы из трех элементов
Граф состояний представлен в общем виде:
w0
λ0
μ1
w1
λ1
μ2
w2
λ2
μ3
w3
Рассмотрим варианты построения системы из трех элементов, различающихся разным числом основных элементов, разным режимом нагруженности
резервных элементов и разным числом восстанавливающих органов.
Варианты с разным числом основных элементов:
Число основных элементов
U
V
m = 1 (два резервных элемента)
w0, w1w2
w3
m = 2 (один резервный элемент)
w0, w1
w2, w3
m = 3 (резерва нет)
w0
w1, w2, w3
В таблице обозначено: U − подмножество работоспособных состояний,
V − подмножество неработоспособных состояний.
Варианты, связанные с нагруженностью резервных элементов:
Нагруженность резервных элементов
λ0
λ1
λ2
Все резервные элементы в горячем режиме
m = 1, все резервные элементы в холодном режиме
m = 2, все резервные элементы в холодном режиме
m = 3 (резерва нет)
3λ
λ
2λ
3λ
2λ
λ
2λ
2λ
λ
λ
λ
λ
Примечание. Принято, что все работоспособные основные элементы находятся
в горячем режиме независимо от состояния системы.
Варианты, связанные с разным числом восстанавливающих органов:
Число восстанавливающих органов
μ1
μ2
μ3
Один восстанавливающий орган
Два восстанавливающих органа
Три восстанавливающих органа
μ
μ
μ
μ
2μ
2μ
μ
2μ
3μ
Аналогичные варианты могут иметь место для системы их четырех и более
элементов.
38
3.2. ДУБЛИРОВАНИЕ ОБОРУДОВАНИЯ
Описание дублированной системы
Дублированная система состоит из двух элементов (устройств), обозначае-
мых Э1 и Э2. Элементы полностью дублируют выполняемые функции.
Система работоспособна, если работоспособен хотя бы один элемент, и си-
стема отказывает, если отказывают оба элемента.
Элемент Э1 является основным, а элемент Э2 – резервным. Если оба элемен-
та работоспособны, то функционирует основной элемент Э1, а элемент Э2 находится в резерве. Если отказывает основной элемент, то сразу же начинает
функционировать работоспособный резервный элемент.
Отказы основного и резервного элементов обнаруживаются при их возникновении.
Система является восстанавливаемой, то есть после наступления отказа элемента производится его восстановление.
На последующих рисунках индекс при состоянии или характеристике указывает элемент: для основного элемента используется индекс 1, а для резервного – индекс 2.
Отличие рассматриваемой системы от резервированной системы в предыдущем разделе заключается в том, что основной и резервный элементы имеют
разные характеристики безотказности и ремонтопригодности: интенсивности
отказов и восстановления основного элемента обозначены через λ1 и μ1, а резервного элемента – соответственно через λ2 и μ 2.
Разные интенсивности отказов элементов обусловлены разной конструкцией
элементов, они могут быть продуктом разных фирм, произведены в разное время. Разные интенсивности восстановления обусловлены разной трудоемкостью
устранения отказов, например, в элементе Э1 отказ устраняется путем замены
отказавшего блока, а в элементе Э2 – путем ремонта.
Особенности, связанные с безотказностью дублированной системы:
1) если оба элемента работоспособны, то функционирует основной элемент, а
резервный не функционирует;
2) если работоспособен только один элемент, то он и выполняет функции
(функционирует).
Варианты дублированной системы, связанные с нагруженностью резервного
элемента:
1) если резервный элемент находится в горячем режиме, то он может отказать с
интенсивностью λ2;
39
2) если резервный элемент находится в холодном режиме, то его отказ является
невозможным.
Варианты дублированной системы, связанные с восстановлением:
1) имеется один восстанавливающий орган (случай ограниченного восстановления);
2) имеются два восстанавливающих органа (случай неограниченного восстановления).
При отказе обоих элементов ситуации с восстановлением может быть следующей:
1) если восстановление неограниченное, то оба элемента восстанавливаются
одновременно;
2) если восстановление ограниченное, то приоритет в восстановлении имеет
основной элемент, то есть при отказе двух элементов сначала восстанавливается основной элемент, а затем – резервный.
Примечание. Возможен другой порядок восстановления: сначала завершается начатое восстановление, а затем восстановление другого элемента, то есть
начатое восстановление не прерывается.
Далее рассмотрены четыре варианта построения дублированной системы
отличающиеся разной нагруженностью резервного элемента и разными возможностями восстановления. При рассмотрении каждого варианта сначала
приводится граф состояний, а затем пояснения и комментарии к нему.
Для обозначения состояний системы используется следующая символика:
Ф – функционирование работоспособного элемента;
Н – неработоспособное состояние элемента;
Г – горячий режим элемента;
Х – холодный режим элемента;
В – восстановление элемента.
Состояние дублированной системы обознается такой комбинацией букв и
индексов, чтобы эта комбинация полностью характеризовала состояние системы. Возможны следующие состояния системы:
Ф1Х2 – основной элемент функционирует, а резервный находится в холодном
режиме;
Ф1Г2 – основной элемент функционирует, а резервный находится в горячем режиме;
Ф1В2 – основной элемент функционирует, а резервный восстанавливается;
В1Ф2 – резервный элемент функционирует, а основной восстанавливается;
В1Н2 – основной элемент восстанавливается, а резервный находится в нерабо-
тоспособном состоянии (стоит в очереди на восстановление);
40
В1В2 – оба отказавших элемента восстанавливаются (в случае неограниченного
восстановления).
Варианты структуры дублированной системы
Вариант 1. Граф состояний дублированной системы при ненагруженном ре-
зерве и ограниченном восстановлении:
1. Ф1Х2
μ2
3. Ф1В2
μ1
λ1
μ1
λ1
2. В1Ф2
λ2
4. В1Н2
Если оба элемента работоспособны, то элемент Э1 функционирует, а элемент Э2 находится в холодном режиме (состояние 1). Поэтому в состоянии 1
может отказать только элемент Э1 (переход с состояние 2). В состоянии 2
функционирует резервный элемент Э2, а основной элемент Э1 восстанавливает-
ся. Функционирующий резервный элемент может отказать с интенсивностью
λ2, что вызывает переход в состояние 4, в котором продолжается восстановле-
ние основного элемента, а неработоспособный резервный элемент «стоит в
очереди на восстановление». После завершения восстановления основного элемента происходит переход в состояние 3, где восстановление переключается на
резервный элемент (В2), а функционирующий основной может опять отказать с
интенсивностью λ1, что вызывает переход в состояние 4, в котором в соответ-
ствии с приоритетом восстанавливается основной элемент, а резервный «стоит
в очереди».
Вариант 2. Граф состояний дублированной системы при нагруженном ре-
зерве и ограниченном восстановлении.
В состоянии 1 резервный элемент находится в горячем режиме, поэтому от-
казать могут оба элемента, что вызывает переход в состояния 2 или 3. В состоянии 2 восстанавливается основной элемент с интенсивностью μ1, в состоянии 3
– резервный элемент с интенсивностью μ2. В состояние 4 с двумя отказавшими
элементами можно попасть из состояния 2 или из состояния 3. Приоритет в
восстановлении всегда имеет основной элемент, поэтому из состояния 4 возмо-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]