Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные главы математики. Учебно-методическое пособие
.pdf
101
Резервирование: Способ обеспечения надежности объекта за счет использования дополнительных средств и (или) возможностей, избыточных по отношению
к минимально необходимым для выполнения требуемых функции.
Резервный элемент: Элемент, предназначенный для выполнения функции основного элемента в случае отказа последнего.
Скрытый отказ: Отказ, не обнаруживаемый визуально или штатными методами и средствами контроля и диагностирования, но выявляемый при проведении
технического обслуживания или специальными методами диагностики.
Состояние нефункционирования: Состояние невыполнения изделием ни одной из требуемых функций.
Состояние функционирования: Состояние выполнения изделием требуемой
функции.
Среднее время безотказной работы: Математическое ожидание времени безотказной работы объекта (системы).
Среднее время восстановления: Математическое ожидание времени восстановления работоспособного состояния объекта после отказа.
Стационарный коэффициент готовности: Предел мгновенного коэффициента готовности при стремлении рассматриваемого момента времени к бесконечности.
Стационарный коэффициент неготовности: Предел мгновенного коэффициента неготовности при стремлении рассматриваемого момента времени к бесконечности.
Структурная схема надёжности: Логическое или графическое представление
объекта, отображающее, каким образом безотказность его блоков и их сочетаний влияет на безотказность объекта.
Техническое обслуживание: Комплекс организационных мероприятий и технических операций, направленных на поддержание работоспособности объекта.
Техническое состояние: Состояние объекта, характеризуемое совокупностью
установленных в документации параметров, описывающих его способность
выполнять требуемые функции.
Функционирование объекта (системы): Использование объекта (системы) по
назначению.
Эксплуатация объекта: Процесс, образуемый последовательностью фаз его
существования, к которым относятся функционирование, контроль технического состояния, восстановление, техническое обслуживание.
Явный отказ: Отказ, обнаруживаемый различными методами и средствами
контроля и диагностирования при его возникновении в процессе применения
объекта по назначению или при подготовке объекта к применению по назначению.
102
СВОДКИ ФОРМУЛ
Табл. 1. Сведения, необходимые для выполнения операций
на эргодическом множестве состояний, которое описывается
однородной цепью Маркова в дискретном времени
или однородным процессом Маркова в непрерывном времени
№
Формулы, операции,
обозначения
Для цепи
Маркова
Для процесса
Маркова
1
Исходные матрица переходных вероятностей
P и матрица интенсивностей переходов
P = pij ;
= ij
2
Проверка правильности сформированных
исходных матриц (необходимое условие)
det(E – P) = 0
det Λ = 0
3
Обозначение определителя матрицы
det Λ или
4
Единичная матрица соответствующего порядка
E
5 Вычисление предельных
вероятностей состояний на
основе определителей
m
k
k
j
j
PE
PE
1
)det(
)det(
π
m
k
k
j
j
1
det
det
π
6 Вычисление предельных
вероятностей состояний на
основе обращения матриц
ePEp
jj
j
1
)(1
1
π
e
j
j
j
1
λ1
1
π
7
Число состояний системы или
порядок исходной матрицы
m
8
Матрица, полученная из исходной матрицы P
или удалением из нее jй строки и jго столбца
Pj
j
9
j-я строка матрицы P или без диагонального
элемента
j
p
j
10
Столбец, все элементы которого равны 1.
e
11
Разбиение эргодического множества
состояний на два подмножества
W = {U ; V}
12
Предельные вероятности подмножеств
состояний U и V
πU =
Us
i
i
π
; πV =
Vs
j
j
π
103
Табл. 2. Ряд Фурье в тригонометрической форме
для периодической функции f(x) с периодом T = 2l
T
dttf
l
A
0
)(
1
)0(
T
dtt
l
k
tf
l
kA
0
)
π
cos()(
1
)(
T
dtt
l
k
tf
l
kB
0
)
π
sin()(
1
)(
)
π
sin()()
π
cos()(),( x
l
k
kBx
l
k
kAkxg
n
k
kxg
A
nxf
1
),(
2
)0(
),(
1
),(
2
)0(
)(
k
kxg
A
xf
Табл. 3. Ряд Фурье в тригонометрической форме для четного продолжения
заданной функции f(x) на интервал [‒ T, 0]
T
dttf
l
A
0
)(
1
)0(
T
dtt
l
k
tf
l
kA
0
)
2
π
cos()(
1
)(
0)( kB
)
2
π
cos()(),( x
l
k
kAkxg
n
k
kxg
A
nxf
1
),(
2
)0(
),(
1
),(
2
)0(
)(
k
kxg
A
xf
Табл. 4. Ряд Фурье в тригонометрической форме для нечетного продолжения
заданной функции f(x) на интервал [‒ T, 0]
0)()0( kAA
T
dtt
l
k
tf
l
kB
0
)
2
π
sin()(
1
)(
)
2
π
sin()(),( x
l
k
kBkxg
n
k
kxgnxf
1
),(),(
1
),()(
k
kxgxf
В таблицах 2, 3, 4 обозначено:
f(x) ‒ функция, заданная на интервале [0, T] и разложение заданной функции, ее
четного и нечетного продолжения в бесконечный ряд Фурье;
A(0), A(k), B(k) ‒ коэффициенты Фурье;
g(x,k) ‒ k-я гармоника;
f(x,n) ‒ представление заданной функции, ее четного и нечетного продолжения
частичной суммой ряда Фурье;
T ‒ период заданной функции f(x);
l ‒ полупериод заданной функции f(x), l = T/2;
n ‒ число гармоник в частичной сумме ряда Фурье.
104
РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Приведенные обозначения рекомендуется использовать в системе MathCAD
для лабораторных работ № 8‒15.
ek ‒ столбец с размерами kх1, все элементы которого равны 1;
Еk ‒ единичная матрица k-го порядка;
Кг ‒ коэффициент готовности;
Кн ‒ коэффициент неготовности;
p, q ‒ вероятность события, элемент матрицы переходных вероятностей;
pk ‒ k-ая строка матрицы P с удаленным диагональным элементом pkk;
P ‒ матрица переходных вероятностей;
pij ‒ элемент матрицы Р;
Pk ‒ матрица переходных вероятностей с удаленной k–й строкой и k –м столб-
цом;
πi, пиi ‒ предельная вероятность i-го состояния;
πU ‒ предельная вероятность подмножества состояний;
λ, μ ‒ интенсивность события, элемент матрицы интенсивностей;
λk ‒ k-ая строка матрицы Λ с удаленным диагональным элементом λkk;
Λ ‒ матрица интенсивностей;
λij ‒ элемент матрицы Λ;
Λk ‒ матрица интенсивностей с удаленной k-й строкой и k-м столбцом;
Δ, det A или А ‒ обозначения определителя.
105
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
Раздел 1. Система MathCAD
1. Основные особенности системы MathCAD
2. Интерфейс системы MathCAD
3. Представление чисел. Точность вычислений в системе MathCAD
4. Блоки в системе MathCAD
5. Курсоры в системе MathCAD
6. Основные операторы в системе MathCAD
7. Алгебраические операции в системе MathCAD. Иерархия операторов
8. Операции математического анализа в системе MathCAD. Операторы
функций
9. Операции с матрицами в системе MathCAD
10. Решение уравнений в системе MathCAD
11. Построение графиков в системе MathCAD
12. Моделирование ряда Фурье в системе MathCAD
Раздел 2. Процессы и модели в системе MathCAD
1. Понятие дискретного случайного процесса в дискретном времени и одно-
родной цепи Маркова. Граф состояний.
2. Классификация состояний однородной цепи Маркова.
3. Матрица переходных вероятностей однородной цепи Маркова. Вероятно-
сти состояний. Предельные вероятности состояний.
4. Понятие дискретного случайного процесса в непрерывном времени и од-
нородного процесса Маркова. Граф состояний.
5. Классификация состояний однородного процесса Маркова.
6. Матрица интенсивностей переходов однородного процесса Маркова. Ве-
роятности состояний. Предельные вероятности состояний.
7. Модель резервированной системы из однотипных элементов
8. Дублированная система. Состояния дублированной системы.
9. Явные и скрытые отказы оборудования. Контроль технического состоя-
ния.
106
ЛИТЕРАТУРА
1. Викторова В.С., Степанянц А.С. Модели и методы расчета надежности
технических систем. ‒ М.: Ленанд, 2016. ‒ 256 с.
2. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в
теории надежности. Основные характеристики надежности и их статистический
анализ. ‒ М.: Либроком, 2013. ‒ 584 с.
3. ГОСТ 27.002-2015. Надежность в технике. Основные понятия. Термины и
определения.
4. ГОСТ 18322-2016. Система технического обслуживания и ремонта
техники. Термины и определения.
5. ГОСТ Р 53480-2009. Надежность в технике. Термины и определения.
6. Зеленцов Б.П., Максимов В.П., Шувалов В.П. Модель функционирования
линии связи в условиях недостоверного контроля технического состояния //
Вестник СибГУТИ. – 2015. - № 3. – С. 35–43.
7. Зеленцов Б.П. Математические модели на основе процесса размножения и
гибели объектов // Соросовский образовательный журнал. – 2001. – № 6. – С.
92–97.
8. Зеленцов Б.П. Матричные методы моделирования однородных марков-
ских процессов. – Palmarium Academic Publishing, 2017. – 133 с.
9. Зеленцов Б.П. Матричные модели функционирования оборудования си-
стем связи // Вестник СибГУТИ. – 2015, № 4. – С. 62–73.
10. Зеленцов Б.П. Матричные модели функционирования систем связи. Уч.
пособие. – Новосибирск: СибГУТИ, 2016. – 101 с.
11. Зеленцов Б.П., Мелентьев О.Г., Шерстнева О.Г. Моделирование функ-
ционирования телекоммутационных систем марковскими процессами: Уч. пособие / СибГУТИ. – Новосибирск, 2008. – 131 с.
12. Зеленцов Б.П. Метод относительных частот моделирования вероятност-
ных систем испытаний. // Вестник СибГУТИ.– 2017, № 2. – С. 51–63.
13. Зеленцов Б.П. Модели функционирования оборудования систем связи.
Учебное пособие. – 2014. – 78 с.
14. Зеленцов Б.П. Определение показателей надежности электронного оборудования по данным эксплуатационных испытаний. // Вестник СибГУТИ.–
2018, № 4. – С. 3–11.
15. Зеленцов Б.П. Специальные главы математики: Практикум / СибГУТИ.
– Новосибирск, 2019. – 58 с.
107
16. Зеленцов Б.П., Трофимов А.С. Исследование способа задания перио-
дичности проверок на надежность объекта. // Вестник СибГУТИ.– 2019, № 1. –
С. 62–69.
17. Зеленцов Б.П. Циклическое функционирование систем длительного использования // Вестник СибГУТИ. – 2017, № 4. – С. 3–14.
18. Зеленцов Б.П. Частотный метод моделирования вероятностных систем
длительного использования // Вестник СибГУТИ. – 2016, № 4. – С. 25–38.
19. Ищук А.А., Оболонин И.А. Проектирование радиотехнических
устройств в среде Mathcad: Учебное пособие/СибГУТИ – Новосибирск, 2008. –
214 с.
20. Каштанов В.А., Медведев А.И. Теория надежности сложных систем: Уч.
пособие. ‒ М.: Физматлит, 2010. ‒ 608 с.
21. Кирьянов Д.В. Mathcad 15. – БХВ-Петербург, 2012. 432 с.
22. Макаров Е. Инженерные расчеты в Mathcad15. – СПб: Питер, 2011. ‒
400 с.
23. Острейковский В.А. Теория надежности. Учебник. ‒ М.: Высшая школа,
2003. ‒ 463 с.
24. Охорзин В.А. Прикладная математика в системе Mathcad. – СПб: Лань,
2009. – 352 с.
25. Очков В.Ф. Mathcad для студентов и инженеров: русская версия. – СПб:
БХВ-Петербург, 2009. – 512 с.
26. Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad: математический практикум для эко-
номистов и инженеров: Учебное пособие. – М.: Финансы и статистика, 1999. 656 с.; 2003.
27. Половко А.М., Гуров С.М. Основы теории надежности: Уч. пособие. ‒
БХВ-СПБ, 2008. ‒ 702 с.
28. Стрельников В.П., Федухин А.В. Оценка и прогнозирование надежности
электронных элементов и систем. ‒ К.: Логос, 2002. ‒ 486 с.
29. Черкесов Г.Н. Надежность аппаратно-программных комплексов: Уч. по-
собие. ‒ СПБ: Питер, 2005. ‒ 478 с.
30. Электронный ресурс по всем разделам.
31. User’s Guide. Mathcad. 2007 Parametric Technology Corporation, 170 p.
108
Учебное издание
Зеленцов Борис Павлович
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ
Учебно-методическое пособие
Корректор И.Л. Гончарова
Подписано в печать 10.12.2020, заказ № 90
п. л. 6,8, 108 стр., электронная версия – 2,0 Мб
Отдел рекламы и PR СибГУТИ
630102, г. Новосибирск, ул. Кирова, 86, офис 105
тел. (383) 269-83-56
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]