Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные главы математики. Учебно-методическое пособие
.pdf
71
1. Начертить граф состояний для своего варианта, указав на нем переходные
вероятности в числовом виде.
2. Сформировать числовую стохастическую матрицу P переходных вероятностей в соответствии с заданной структурой и значениями переходных вероятностей.
3. Сделать проверку.
4. Вычислить предельные вероятности состояний с помощью определителей,
проведя соответствующую подготовку.
5. Вычислить предельные вероятности состояний путем обращения матриц,
проведя соответствующую подготовку.
6. Сравнить предельные вероятности, полученные в п. 4 и 5.
7. Записать ответ.
Табл. 9.1. Выбор номера варианта структуры марковской цепи
№ н/ж
Номера
варианта
структуры
№ н/ж
Номера
варианта
структуры
№ н/ж
Номера
варианта
структуры
1 1 11 5 21 3 2 2 12 6 22 4 3 3 13 1 23 5 4 4 14 2 24 6 5 5 15 3 25 1 6 6 16 4 26 2 7 1 17 5 27 3 8 2 18 6 28 4 9 3 19 1 29 5 10
4
20 2 30
6
Табл. 9.2. Варианты структуры цепи Маркова с тремя состояниями
№
варианта
p1
p2
p3
q1
q2
q3
№
варианта
p1
p2
p3
q1
q2
q3
1
+ + + 0 + + 4
0 + + + + + 2
+ + + + 0 + 5
+ 0 + + + + 3
+ + + + + 0 6
+ + 0 + +
+
72
Лабораторная работа 10. ПРОЦЕСС МАРКОВА (первая задача)
Цель работы: вычисление предельных вероятностей состояний процесса Маркова.
Аудиторное задание по лабораторной работе 10
Дан марковский процесс с тремя состояниями. Числовые значения интенсивностей переходов присваиваются в аудитории. Граф состояний имеет вид:
λ
s1
λ
s3
λ
s2
Провести вычисления по приведённому плану.
Отчет по лабораторной работе 10. ПРОЦЕСС МАРКОВА
(первая задача)
Дан марковский процесс с тремя состояниями. Основой для всех вариантов
является приведенный граф состояний. Использована следующая символика
для обозначения интенсивностей переходов: λ12 = λ1, λ
23
= λ2, λ
31
= λ3, λ
13
= μ1,
λ
21
= μ2, λ
32
= μ3.
λ3
s1
μ2 μ1
λ1
s3
λ2
μ3
s2
Возможные варианты такого процесса отличаются тем, что некоторые ин-
тенсивности переходов равны нулю. Каждый студент выбирает свой вариант
структуры процесса по табл. 10.1 в соответствии со своим номером в журнале.
В таблице 10.2 приведены 9 вариантов построения такого процесса: если интенсивность перехода обозначена знаком +, то соответствующий переход имеется, если же знаком 0, то соответствующий непосредственный переход между
73
состояниями отсутствует. Каждый вариант характеризуется «своим» графом
состояний.
Значения интенсивностей переходов студент выбирает из таблиц 10.3 – 10.7
для своей группы в соответствии со своим номером в журнале. Выбранные значения λ и μ равны ненулевым значениям интенсивностей переходов:
λ = λ1= λ2 = λ3; μ = μ1= μ2 = μ3.
План выполнения аудиторного задания и отчета по лабораторной работе
1. Начертить граф состояний, указав на нем интенсивности переходов в
числовом виде.
2. Сформировать числовую матрицу Λ интенсивности переходов в
соответствии с заданной структурой и значениями интенсивности переходов.
3. Сделать проверку.
4. Вычислить предельные вероятности состояний с помощью определителей,
проведя соответствующую подготовку.
5. Вычислить предельные вероятности состояний путем обращения матриц,
проведя соответствующую подготовку.
6. Сравнить предельные вероятности, полученные в п. 4 и 5.
7. Записать ответ.
Формулы для вычисления предельных вероятностей состояний процесса
Маркова приведены в сводках формул. Операции выполняются в числовом виде.
Табл. 10.1. Выбор номера варианта структуры марковского процесса
№ н/ж
Номер
варианта
структуры
№ н/ж
Номер
варианта
структуры
№ н/ж
Номер
варианта
структуры
1 4 11 7 21 8 2 5 12 8 22 7 3 6 13 5 23 8 4 1 14 6 24 9 5 2 15 4 25 6 7 8 17 3 27 5 8 9 18 1 28 3 9 7 19 9 29 1 10
9
20 7 30
2
74
Табл. 10.2. Варианты структуры марковского процесса с тремя состояниями
№
варианта
λ1
λ2
λ3
μ1
μ2
μ3
№
варианта
λ1
λ2
λ3
μ1
μ2
μ3
1
+ + + 0 0 + 6
+ 0 0 + + + 2
+ + + 0 + 0 7
+ + 0 0 + + 3
+ + + + 0 0 8
0 + + + 0 + 4
0 0 + + + + 9
+ 0 + + + 0 5
0 + 0 + + +
Табл. 10.3. Значения интенсивностей переходов λ и μ (для группы 1)
№
н/ж
λ
μ
№
н/ж
λ
μ
№
н/ж
λ
μ
1
0,1
0,2
11
1,1
2,1
21
2,1
4,2
2
0,2
0,3
12
1,2
2,2
22
2,2
4,3
3
0,3
0,4
13
1,3
2,3
23
2,3
4,4
4
0,4
0,5
14
1,4
2,4
24
2,4
4,5
5
0,5
0,8
15
1,5
2,5
25
2,5
4,6
6
0,6
0,9
16
1,6
2,6
26
2,6
4,7
7
0,7
1,0
17
1,7
2,7
27
2,7
4,8
8
0,8
1,1
18
1,8
2,8
28
2,8
4,9
9
0,9
1,2
19
1,9
2,9
29
2,9
5,2
10
1,0
2,0
20
2,0
4,1
30
3,0
5,1
Табл. 10.4. Значения интенсивностей переходов λ и μ (для группы 2)
№
н/ж
λ μ №
н/ж
λ μ №
н/ж
λ
μ
1
0,2
0,4
11
1,2
2,3
21
2,2
4,4
2
0,3
0,5
12
1,3
2,4
22
2,3
4,5
3
0,4
0,6
13
1,4
2,5
23
2,4
4,6
4
0,5
0,7
14
1,5
2,6
24
2,5
4,7
5
0,6
0,9
15
1,6
2,7
25
2,6
4,8
6
0,7
1,0
16
1,7
2,8
26
2,7
4,9
7
0,8
1,1
17
1,8
2,9
27
2,8
5,0
8
0,9
1,2
18
1,9
3,0
28
2,9
5,1
9
1,0
2,1
19
2,0
4,2
29
3,0
5,2
10
1,1
2,2
20
2,1
4,3
30
3,1
5,3
75
Табл. 10.5. Значения интенсивностей переходов λ и μ (для группы 3)
№
н/ж
λ μ №
н/ж
λ μ №
н/ж
λ
μ
1
0,3
0,6
11
1,3
2,5
21
2,3
4,6
2
0,4
0,7
12
1,4
2,6
22
2,4
4,7
3
0,5
0,8
13
1,5
2,7
23
2,5
4,8
4
0,6
0,9
14
1,6
2,8
24
2,6
4,9
5
0,7
1,0
15
1,7
2,9
25
2,7
5,0
6
0,8
1,2
16
1,8
3,0
26
2,8
5,1
7
0,9
1,3
17
1,9
3,1
27
2,9
5,2
8
1,0
2,2
18
2,0
4,3
28
3,0
5,3
9
1,1
2,3
19
2,1
4,4
29
3,1
5,4
10
1,2
2,4
20
2,2
4,5
30
3,2
5,5
Табл. 10.6. Значения интенсивностей переходов λ и μ (для группы 4)
№
н/ж
λ μ №
н/ж
λ μ №
н/ж
λ
μ
1
0,4
0,8
11
1,4
2,7
21
2,4
4,8
2
0,5
0,9
12
1,5
2,8
22
2,5
4,9
3
0,6
1,0
13
1,6
2,9
23
2,6
5,0
4
0,7
1,1
14
1,7
3,0
24
2,7
5,1
5
0,8
1,2
15
1,8
3,1
25
2,8
5,2
6
0,9
1,3
16
1,9
3,2
26
2,9
5,3
7
1,0
2,3
17
2,0
4,4
27
3,0
5,4
8
1,1
2,4
18
2,1
4,5
28
3,1
5,5
9
1,2
2,5
19
2,2
4,6
29
3,2
5,6
10
1,3
2,6
20
2,3
4,7
30
3,3
5,7
Табл. 10.7. Значения интенсивностей переходов λ и μ (для группы 5)
№
н/ж
λ μ №
н/ж
λ μ №
н/ж
λ
μ
1
2,6
4,9
11
3,0
5,4
21
2,9
5,0
2
2,7
5,0
12
3,1
5,5
22
3,0
5,1
3
2,8
5,1
13
3,2
5,6
23
2,4
4,6
4
2,9
5,2
14
3,3
5,7
24
2,5
4,7
5
3,0
5,3
15
2,3
4,4
25
2,6
4,8
6
3,1
5,4
16
2,4
4,5
26
2,7
4,9
7
3,2
5,5
17
2,5
4,6
27
2,8
5,0
8
2,7
5,1
18
2,6
4,7
28
2,9
5,1
9
2,8
5,2
19
2,7
4,8
29
3,0
5,2
10
2,9
5,3
20
2,8
4,9
30
3,1
5,3
76
Лабораторная работа 11. ПРОЦЕСС МАРКОВА (вторая задача)
Цель работы: вычисление предельных вероятностей состояний процесса Маркова.
Аудиторное задание 11
Дан процесс Маркова с тремя состояниями. Числовые значения интенсивностей переходов присваиваются в аудитории.
λ
s1
μ
λ
s2
λ
s3
Выполняются операции по приведённому плану.
Отчет по лабораторной работе 11. ПРОЦЕСС МАРКОВА (вторая задача)
Дан процесс Маркова с тремя состояниями.
λ3
s1
μ2 μ1
λ1
s3
λ2
μ3
s2
Возможны несколько вариантов структуры. Каждый студент выбирает свой
вариант структуры процесса в соответствии со своим номером в журнале
(№ н/ж) из таблицы 11.1. Варианты структуры приведены в табл. 11.2. Число-
вые значения переходных вероятностей студент выбирает из таблиц 10.3, 10.4,
10.5, 10.6, 10.7 для своей группы в соответствии со своим номером в журнале.
Выбранные значения λ и μ равны ненулевым значениям интенсивностей пере-
ходов: λ = λ1= λ2 = = λ3; μ = μ1= μ2 = μ3.
План выполнения аудиторного задания и отчета по лабораторной работе
1. Начертить граф состояний, указав на нем интенсивности переходов в
числовом виде.
77
2. Сформировать числовую матрицу Λ интенсивности переходов в
соответствии с заданной структурой и значениями интенсивности переходов.
3. Сделать проверку.
4. Вычислить предельные вероятности состояний с помощью определителей,
проведя соответствующую подготовку.
5. Вычислить предельные вероятности состояний путем обращения матриц,
проведя соответствующую подготовку.
6. Сравнить предельные вероятности, полученные в п. 4 и 5.
7. Записать ответ.
Табл. 11.1. Выбор номера варианта структуры марковского процесса
№
н/ж
Номер
варианта
структуры
№
н/ж
Номер
варианта
структуры
№
н/ж
Номер
варианта
структуры
1 1 11 5 21 3 2 2 12 6 22 4 3 3 13 1 23 5 4 4 14 2 24 6 5 5 15 3 25 1 6 6 16 4 26 2 7 1 17 5 27 3 8 2 18 6 28 4 9 3 19 1 29 5 10
4
20 2 30
6
Табл. 11.2. Варианты структуры марковского процесса с тремя состояниями
№
варианта
λ1
λ2
λ3
μ1
μ2
μ3
№
варианта
λ1
λ2
λ3
μ1
μ2
μ3
1
+ + + 0 + + 4
0 + + + + + 2
+ + + + 0 + 5
+ 0 + + + + 3
+ + + + + 0 6
+ + 0 + +
+
78
Лабораторная работа 12. МОДЕЛЬ РЕЗЕРВИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ
Цель работы: вычисление коэффициента готовности и коэффициента неготовности резервированной системы.
Аудиторное задание 12
Дана резервированная система из двух элементов: один основной и один резервный. Граф состояний:
w0
λ0
μ1
w1
λ1
μ2
w2
Интенсивности переходов между состояниями выбираются в аудитории в
зависимости от того, в каком режиме находится резервный элемент (в горячем
или холодном) и от числа восстанавливающих органов (один или два).
Числовые значения интенсивности отказов и интенсивности восстановления
одного элемента присваиваются в аудитории.
Отчет по лабораторной работе
12. МОДЕЛЬ РЕЗЕРВИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ
Дана резервированная система из трех элементов. Граф состояний представлен в общем виде. Индекс в обозначении состояния равен числу отказавших
элементов в этом состоянии:
w0
λ0
μ1
w1
λ1
μ2
w2
λ2
μ3
w3
Студент выбирает свой вариант структуры резервированной системы из
таблицы 12.1 в соответствии с номером в журнале. Структуры резервированной
системы из трех элементов различаются: 1) разным числом основных элементов
(m = 1 или m = 2); 2) разным режимом нагруженности резервных элементов (горячий или холодный); 3) разным числом восстанавливающих органов (1, 2 или
3).
В таблице 12.2 приведено разбиение множества состояний W на два подмножества в зависимости от числа основных элементов: на подмножество U
79
работоспособных состояний и на подмножество V неработоспособных состояний. Интенсивности переходов между состояниями λ0, λ1, λ2 в зависимости от
нагруженности резервных элементов имеют разную кратность по отношению к
интенсивности отказов одного элемента (табл. 12.3). И наконец, интенсивности
восстановления системы μ1, μ2, μ
3
зависят от числа восстанавливающих орга-
нов, что приведено в табл. 12.4.
Значения интенсивности отказов одного элемента λ и интенсивности восстановления одного элемента μ выбираются из таблиц для своей группы 12.5,
12.6, 12.7, 12.8, 12.9 в соответствии со своим номером в журнале.
Эти сведения следует привести в исходных данных. Далее следует решение
по приведенному плану. Каждая операция сопровождается кратким комментарием.
План выполнения аудиторного задания и отчета по лабораторной работе
Часть 1. Формирование исходных данных
1.1. Выбрать вариант структуры резервированной системы из трех элементов в
соответствии с номером в журнале (табл. 12.1).
1.2. Установить интенсивности переходов между состояниями λ0, λ1, λ2.
1.3. Установить интенсивности восстановления системы μ1, μ2, μ3.
1.4. Выбрать значения интенсивности отказов λ и интенсивности
восстановления μ одного элемента для своей группы в соответствии с
номером в журнале.
1.5. Составить граф состояний, указав на нем интенсивности переходов
между состояниями в числовом виде и разбиение множества состояний на
подмножество U работоспособных состояний и подмножество V
неработоспособных состояний.
Часть 2. Вычисление предельных вероятностей состояний и
соответствующих показателей надежности
2.1. Сформировать числовую матрицу интенсивностей.
2.2. Сделать проверку.
2.3. Вычислить предельные вероятности состояний с помощью определителей,
проведя соответствующую подготовку.
2.4. Вычислить предельные вероятности состояний путем обращения матриц,
проведя соответствующую подготовку.
2.5. Сравнить полученные предельные вероятности.
2.6. Вычислить коэффициент готовности и коэффициент неготовности:
Кг = U, Кн = V.
2.7. Вычислить К
гст
и К
нст
для одиночного объекта.
80
2.8. Записать ответ и сделать выводы:
Кг
Кн
одиночный объект
резервированная система
Табл. 12.1. Выбор варианта структуры резервированной системы
из трех элементов
№
н/ж
Число основных
элементов m
Нагруженность
резервных элементов
Число восстанавливающих
органов
1, 13
m = 1
горячий
1
2, 14
m = 2
горячий
2
3, 15
m = 1
холодный
3
4, 16
m = 2
холодный
1
5, 17
m = 1
горячий
2
6, 18
m = 2
горячий
3
7, 19
m = 1
холодный
1
8, 20
m = 2
холодный
2
9, 21
m = 1
горячий
3
10, 22
m = 2
горячий
1
11, 23
m = 1
холодный
2
12, 24
m = 2
холодный
3
Табл. 12.2. Варианты с разным числом основных элементов:
Число основных элементов
Подмножество U
работоспособных
состояний
Подмножество V
неработоспособных
состояний
m = 1 (два резервных элемента)
w0, w1w2
w3
m = 2 (один резервный элемент)
w0, w1
w2, w3
m = 3 (резерва нет)
w0
w1, w2, w3
Табл. 12.3. Варианты, связанные с нагруженностью резервных элементов:
Нагруженность резервных элементов
λ0
λ1
λ2
Все резервные элементы в горячем режиме
m = 1, все резервные элементы в холодном режиме
m = 2, все резервные элементы в холодном режиме
m = 3 (резерва нет)
3λ
λ
2λ
3λ
2λ
λ
2λ
2λ
λ
λ
λ
Примечание. Принято, что все работоспособные основные элементы находятся
в горячем режиме независимо от состояния системы.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]