Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные главы математики. Учебно-методическое пособие
.pdf
51
17.
yx
yx
66
expand →
yx
x
6
‒
yx
y
6
Разложение на множители
Используется оператор factor.
18. a2·b + a·b2 + 2·a·b·c + b2·c + a2·c + a·c2 + b·c2 factor → (b + c)·(a + c)·(a + b)
19. x2 ‒ 2·x + 3·x ‒ 2 factor → (x + 2)·(x ‒ 1)
Упрощение выражений
Используется оператор simplify.
20. x·(z + 1)2 ‒ 2·z·(x + z) simplify → x + x·z2 ‒ 2·z2
21.
4
16
2
4
x
x
simplify → x2 ‒ 4
22.
1
1x3
x9x9
1
1x3
2
1
2
simplify → 3·x
23.
b)cos(π
b
a
sin
ba
2
3
simplify →
cos(b)
b
a
sin
ba
2
3
24. cos(x)4 ‒ 6·cos(x)2·sin(x)2 + sin(x)4 simplify → cos(4·x)
25. 4·cos(x)3·sin(x) ‒ 4·cos(x)·sin(x)3 + cos(4·x) simplify → cos(4·x) + sin(4·x)
52
Лабораторная работа 2. ФУНКЦИИ
Цель работы: освоение операций вычисления значений функции и вычисления
пределов.
Вычисление значения функции в точке
1. Разные варианты:
а) f(x) :=
1
1
x
x
f(4) = 0.6 б) x := 4
1
1
x
x
= 0.6
в) x := 4 f(x) :=
1
1
x
x
f(x) = 0.6
2. cos(0.5) = 0.878 3. f(x) :=
x
4
x
f(1.5) = 0.188
4. f(x) :=
sin(x)1
cos(x)
f(1.5) = 0.035 5. f(x) :=
1x
1x
f(5) = 1.5
6. f(x) := xx f(2.5) = 9.882 7. f(x) :=
x/2
ex
f(3) = 7.763
8. f(x) :=
x2x2
ee
f(1) = 2.743 9. f(x) :=
5x4x
9
2
f(0.2) = 4.371
10. f(x) :=
3
2
2)(x
x)(5
f(2.2) = 0.106 11. f(x) :=
3
2
x4
x
f(0.8) = 0.343
12. f(x) :=
3xx
4x
ln
2
f(0.2) = 2.015+3.142i
Вычисление значения функции в нескольких точках
13. f(x) := x2 ‒ 3·x ‒ 2 f(0) = ‒ 2 f(0.8) = ‒ 3.76 f(10) = 68
14. f(t) := 2
t·sin(3·t‒1)
‒ atan
t
1
f(0) = ‒ 0.09 f(1) = 1.093 f(2) = ‒ 0.199
15. g := 9.8 d(t) := 1600 ‒
2
t
2
g
d(1) = 1.595x103 d(2.5) = 1.569x10
3
d(3) = 1.556x103 d(3.5) = 1.54x10
3
d(10) = 1.11x10
3
Функция трех переменных
16. g(a,y,φ) := a·sin(y+φ) g(1,0,π) = 0 g(10,2,π) = ‒ 9.093
53
Разные функции при заданных аргументах
17. a := 1 x := 3
а) asin(a) = 1.571 atan(x) = 1.249 б) a·sin(a) = 0.841 a·tan(x) = ‒ 0.143
в) x
2+a
‒ x
2·a
‒3 = 15
Вычисление значения функции с заданным шагом
Символ m..n вводится с вкладки Матрицы
18. f(x) :=
1x
1x
2
x := 0,1..10
или
x := 0..10
f x( )
1
1
0.6
0.4
0.294
0.231
0.189
0.16
0.138
0.122
0.109
x := 0,2..10
f x( )
1
0.6
0.294
0.189
0.138
0.109
Вычисление пределов
Операторы вводятся с вкладки Calculus.
19.
386.1)2ln(2
(x)ln
22
lim
x
1x
20.
1
1x
xxx
lim
x
21.
x
1
e
0x
lim
22.
0elim
x
1
0x
23.
1
x
sinx
lim
0x
24.
25.0
4
1
x))ln(cos(4
x))ln(cos(2
lim
πx
25.
141.0)3sin()sin(lim
3x
x
54
Лабораторная работа 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Цель работы: освоение операций дифференцирования, вычисления значения
производной в точке, вычисление неопределенного и определенного интегралов.
Операторы вводятся с вкладки Calculus.
Найти производную
1. Разные варианты:
а)
dx
d
x4 → 4·x3 б) f(x):= x
4
dx
d
f(x) → 4·x3 в) y:= x
4
y′:=
dx
d
y → 4·x3
2. y:=
1x1x
dx
d
y →
1x1
‒
2
)1x(
1x
simplify →
2
)1x(
2
3. y:=
x
4
x
dx
d
y →
xx
4
ln(4)x
4
1
simplify →
x
4
ln(2)x21
4.
dx
d
sin(x)1
cos(x)
→ ‒
1sin(x)
sin(x)
1)(sin(x)
cos(x)
2
2
simplify → ‒
1sin(x)1
5. y:=
1x
1x
dx
d
y →
2
1)(x
1x
1x
1
simplify →
2
1)(x
2
6.
dx
d
xx → x·x
x‒1
+ xx·ln(x) simplify → xx·(ln(x) + 1)
7.
dx
d
2
x
ex
→
x2
ex)(1
2
x
8. a:=3
2
a
xk
sin
dx
d
→
k
9
xk
cos
9
1
9.
dx
d
[( x + 1)·e
x + 2
] → e
x + 2
+ e
x + 2
·(x + 1) simplify → e
x + 2
·(x + 2)
10.
dz
d
[
atan(z)z
]→
atan(z)
+
1z
z
2
Вычислить значение производной функции в заданной точке
11. f(x) := x
x
x := 0.8
f(x)
dx
d
= 0.65
12. f(x) :=
x2x2
ee
x := 1
f(x)
dx
d
= 2.794
13. f(x) :=
x
x
x
x := 2
f(x)
dx
d
= 107.11
14. x := 0.2 f(x) :=
x
1
1)(x
f(x)
dx
d
= 0.974
15. x := 0.2 f(x) := 2·x2 + 1
f(x)
dx
d
= 0.8
55
Найти неопределенный интеграл и проверить дифференцированием
16.
x := x
)dxln(x
→
1)x)(ln(x
Проверка:
][
dx
d
1)x)(ln(x
→ ln(x)
17.
dxx
3
→
4
x
4
18.
dx
x
1x
→
3
2
x
2
x
2
3
simplify →
3
3)(x x2
19.
dx
x)cos(1
1
→
2
x
tan
20.
dx sin(x)e
x
→
2
cos(x))(sin(x)e
x
21.
)dx sin(x) 2x)(cos(5
→
5
1
sin(5·x) + 2·x + cos(x)
Вычислить определенный интеграл
22.
dx
1x2
1
2
1
→
2
)3ln(
= 0.549 23.
π
0
sin(x)dx
= 2 24.
dx
x
x
1
sin
π
2
π
1
2
= 1
25.
4
π
0
2
dxsin(x)
→
4
1
8
π
= 0.143 26.
1
0
x
dxex
= 1 27.
9
2
3
dx1x
→
4
45
= 11.25
28.
2
π
0
3
dxcos(x)
→
3
2
= 0.667 29.
dx
x9x
1
16
0
= 12 30.
1e
0
1)dxln(x
= 1
31.
2
π
0
dx
cos(x)1
1
= 1 32.
1
0
x
sin(x)dxe
= 0.909 33.
3
0
2
3
2
dx
)x(1
1
= 0.866
34.
4
0
22
dxx16x
= 50.266 35.
1
0
2
sin(x)dxx)3(x
= ‒ 0.68
36.
1
1
x3
dxex)3(4
= 40.171 37.
π
0
sin(x))dxln(
= ‒ 2.178
38. f(x) := 2·x +1 a := 1 b := 5
b
a
f(x)dx
= 28
56
Лабораторная работа 4. МАТРИЦЫ
Цель работы: освоение основных операций с матрицами, вычисление определителей в числовом и аналитическом виде.
Операторы вводятся с вкладки Vector and Matrix (Вектор и матрица).
Ввод единичной матрицы: E3:= identity(3) E3=
100
010
001
Линейные операции, умножение матриц
1. A :=
410
112
B :=
223
012
A + 2·B =
056
132
A ‒ B =
613
104
2·A + 4·B =
01012
264
2. A :=
45
23
B :=
52
43
A·B ‒ B·A =
2424
2424
3. A:=
db
ca
B:=
dc
ba
Два варианта для произведения:
A·B →
22
22
dbcdab
cdabca
db
ca
·
dc
ba
→
22
22
dbcdab
cdabca
4.
352
143
231
·
231
521
652
=
792
0103
551
5.
433
322
211
100
·
11
22
11
·
1
4
=
35
25
15
5
6. A :=
2113
3514
3205
B :=
4
7
2
6
A·B =
17
69
56
Транспонирование матрицы
7.
T
2221
1211
aa
aa
→
2212
2111
21
aa
aa
A:=
43
21
А·AT=
2511
115
АT·A=
2011
1410
8.
T
654
321
=
63
52
41
T
zyx
→
z
y
x
T
3
2
1
=
321
57
9. A:=
43
21
А·AT =
2511
115
АT·A =
2014
1410
10. A :=
4321
А·AT=
30
АT·A=
161284
12963
8642
4321
11. A :=
2 1 1
0 1 3
B :=
1 2
2 1
3 0
(A·B)T =
15
77
BT·AT=
15
77
Вычисление определителя
12.
2221
1211
aa
aa
→ a11· a11 – a12· a21
13. А :=
25
41
Два варианта: |A| = 18
25
41
= 18
14.
aa
a 1
→ 2·a 15.
baba
baba
→ 4·a·b
16. A :=
)αcos()αsin(
)αsin()αcos(
|A| →
2
)αcos(
+
2
)αsin(
α := 5 |A| = 1
17.
812
278
543
= 0 18.
302
020
201
= – 2 19.
0226
5372
4110
2134
= 132
20.
4335
3727
9498
6237
= 150 21.
4415
4553
4111
1134
= ‒ 168
22.
5744
2003
8002
4311
= 100 23.
103541
27772
21161153
1310732
54321
= 52
58
24. A :=
3413
dcba
2324
1432
25.B :=
45d4
23c2
34b4
12a5
|A| → 8·a +15·b + 12·c ‒ 19·d |B| → 2·a ‒ 8·b + c + 5·d
26. x := 3 a := 4
x987
e4xx4
x3cos(x)sin(x)
xa
= 452.574
Обращение матриц
27. A:=
2221
1211
aa
aa
Два варианта:
A‒1→
a21 a12 a22 a11a21 a12 a22 a11
a21 a12 a22 a11
12
a21 a12 a22 a11
22
1121
aa
aa
1
2221
1211
aa
aa
→
a21 a12 a22 a11a21 a12 a22 a11
a21 a12 a22 a11
12
a21 a12 a22 a11
22
1121
aa
aa
28. A :=
)cos()sin(
)sin()cos(
A‒1 simplify →
)cos()sin(
)sin()cos(
29. C :=
43
21
Вычислить C
‒1
и сделать проверку: C·C‒1, C‒1·C, (C‒1)‒1.
30. A :=
021
070
251
Вычислить A‒1 и сделать проверку: A·A‒1, A‒1·A, (A‒1)‒1.
Расширение матриц
Используются операторы augment и stack
31. A :=
5432
4321
3210
E :=
100
010
001
B :=
0020
0001
59
D := augment(A,E) =
1005432
0104321
0013210
F := stack(A,B) =
0020
0001
5432
4321
3210
Лабораторная работа 5. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Цель работы: освоение методов решения алгебраических уравнений и систем
линейных уравнений.
Используются операторы solve и Given‒Find
Алгебраические уравнения:
1. Варианты: а) x2 ‒ 4 solve →
2
2
б) x2 ‒ 4 ═ 0 solve →
2
2
в) x2 ‒ 4 solve, x →
2
2
г) Given x2 ‒ 4 = 0 Find(x)=
2
2
2. x2 ‒ a solve, x →
a
a
или
x2 ‒ a ═ 0 solve, x →
a
a
3. 3·x2 + 4·x ‒ 3 ═ 0 solve, x →
2/1
2/1
13
3
1
3
2
13
3
1
3
2
=
869.1
535.0
4. x3+3·x2 ‒ 2 ═ 0 x3+3·x2 ‒ 2 solve, x →
13
13
1
=
732.2
732.0
1
5.
3
2
3
2
)3()2( xx
solve, x →
2
5
= 2.5 (получается не у всех)
6. x2 ‒ 4·x + 5 solve →
i2
i2
или
Given x2 ‒ 4·x + 5 ═ 0 Find(x) →
i2i2
Уравнения в форме определителей
7.
141
x
xx
solve →
4
1
60
8.
134
122
311
x
‒ 21 solve → ‒ 2 или
134
122
311
x
‒ 21
x
solve
→ ‒ 2
9.
94
32
111
2
x
x
→ x2 ‒ 5x + 6 solve →
3
2
или
94
32
111
2
x
x
solve →
3
2
Системы линейных уравнений
Используется оператор lsolve (можно набрать на клавиатуре).
Рассматриваются системы определенные, число уравнений равно числу неизвестных.
10.
3
523
732
zyx
zyx
zyx
A :=
111
231
321
b :=
3
5
7
Варианты:
а) u := lsolve (A, b) =
2
0
1
б) w := A‒1·b =
2
0
1
в) Given
x + 2·y + 3·z ═ 7
x –3·y + 2·z ═ 5
x + y + z ═ 3
Find(x,y,z) →
2
0
1
Замечание. Систему уравнений можно также решать по формулам Крамера.
11. A :=
143
210
321
b :=
14
8
14
x := lsolve (A, b) =
3
2
1
12. x := 10 y := 1 z := 1 (начальные приближения)
Given
3·x + 8·y – 9·z ═ 12
5·x – 9·y + 2·z ═ 34
8·x – 6·y + 5·z ═ 98
otvet :=Find(x,y,z) =
964.5
913.3
457.11
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]