Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современные методы оптимизации сложных систем. Оптимизация технических систем в условиях неопределенности. Учебно-методическое пособие
.pdf
Шаг 1. Идентифицировать все потенциальные множества актив-
,
gdz ujASk
1,..., .
A
kn
()
d
() max , (1,2,..., ).
A
[,]
z
gdz
gdz
jJ
gdz
jJ
, ,
gdz u jASk
ных ограничений AS(k) (k-номер множества), состоящие из n
ограничений.
Шаг 2. Решить задачу
*
kk
() ()
ν= ν
max θ
θ
()
T∈
(2.17)
где
k
()
(θ)min,
ν=
,,θ ,
() ()
j
u
,
zu
≤∈
(2.18)
+ 1
z
для всех
=
Шаг 3. Определить
S
χ
1
*
k
χ
du K n
==
1
∈
kK
()
S
Задача (2.17) является двухуровневой задачей, в которой на верхнем уровне проводится оптимизация по переменной θ и на нижнем
уровне проводится оптимизация по переменным
. Гроссман и
u
Флоудас свели эту задачу к одноуровневой. Будем предполагать, что
функции
()
j
удовлетворяют условию:
,,θ
Условие 2.
) Функции
а
()
j
,,θ
, (
∈ ) строго квазивыпуклы по перемен-
ной z;
б) Функции
()
j
,,θ
, (
∈ ) совместно квазивогнуты по пере-
менным z и θ.
В соответствие с теоремой 2 и условием 2а локальный минимум задачи (2.18) совпадает с глобальным минимумом. Так как число (n
+ 1)
z
поисковых переменных в задаче (2.18) равно числу ограничений, то
решение этой задачи сводится к решению системы (n
ных уравнений с (n
+1) неизвестными z и u
z
,,θ
() ()
j
zR uR
∈∈
=∈
n
z
1
,.
(2.19)
+ 1) нелиней-
z
81
Если рассматривать переменные z, u и θ независимыми, то задача
, .
gdz u jASk
hd u
A
J
,)
A
uu J
() max (θ,)
A
duJ
(,,θ)
L
j
),
sugdz jJ
1,
0,
), ,
sugdz jJ
0, ,
sjJ
0, 0, .
sjJ
преобразуется к виду
(2.17)
k
()
max ,
uu
=
Tuz
θ ,,
∈
,,θ
() ()
j
=∈
2.4. Метод смешанного дискретно-непрерывного,
нелинейного программирования
В
соответствии с теоремой 2 число активных ограничений в зада-
че (2.1) должно быть равно (n
множество J множеством J
дача (2.1) сводится к системе (2.19) (n
вестными. Пусть
Ясно, что
′
u
′
есть решение системы (2.19), тогда
u
зависит от θ и
+ 1). Если мы заменим в этой задаче
z
из (nz + 1) активных ограничений, то за-
A
+ 1) уравнений с (nz+1) неиз-
z
(,θ)
=
′′
=
. Таким образом,
(θ
. По-
′
этому функция гибкости может быть представлена в виде
.
=
χ
1
′
θ,
J
A
. (2.20)
Функция Лагранжа для задачи (2.1) имеет вид
где
ugdzu
=+ −
– множители Лагранжа. Используя условия Куна-Таккера [15]
λ
∑
jJ
∈
λ
()
jj
и вводя вспомогательные переменные
,
=− ∈
jj
(,,θ
све-
дем решение задачи (2.1) к решению следующей системы равенств и
неравенств:
=− ∈
jj
∑
jJ∈
λ=
j
∑
jJ
∈
(,,θ
λ
=∈
jj
λ
≥≥ ∈
jj
(2.21)
λ
=
j
g
∂
j
(2.22)
z
∂
(2.23)
(2.24)
(2.25)
82
Уравнения (2.21) и (2.22) получены как условия первого порядка
[0,1], ,
yjJ
0, ,
(1 ) 0, ,
s
J
1
0
1.
()
jA
yjJ
(,, )
uz J
[,]
uz
,).
j
d
χ
() max ,
du
стационарной точки функции Лагранжа по переменным u и z соответственно; условия (2.24) являются условиями дополнительности.
Используя двоичные переменные
∈∈
j
можно преобразо-
вать условия (2.24) и (2.25) к виду
λ−≤ ∈
yjJ
jj
−−≤ ∈
Uy j
jj
0, , 0.
ys
=λ≥
jjj
(2.26)
где U – некоторая верхняя граница вспомогательных переменных. Из
этих условий вытекают следствия:
–
если
1=jy
, то
0 λ
≤≤
j
и
и, следовательно, j-е ограни-
0=js
чение является активным;
если
–
(j-е ограничение является неактивным), то
0>js
y =
j
.
Потребуем, чтобы число двоичных переменных, равных 1, было бы
равно числу (n
+ 1) активных ограничений. Потому добавим к усло-
z
виям (2.26) следующее дополнительное условие:
Если мы зададим какое-либо множество (n
, то система (2.21)–(2.23) преобразуется в систему (2 + 2 nz)
∈
нелинейных уравнений с (2 + 2 n
′′
есть решение этой системы. Ясно, что
переменных
и θ. Таким образом, (2.20) может быть переписана в
y
j
виде
Объединяя (2.21)–(2.23), (2.26) и (2.27), мы получаем следующую
задачу смешанного, дискретно-непрерывного, нелинейного программирования для вычисления значения функции гибкости [14]:
yn
=+
jz
∑
jJ
∈
) неизвестными
z
() max (θ
=
1
χ
1
y
θ,
j
=
,,, , ,
zus y
θλ
(2.27)
+ 1) двоичных переменных
z
. Пусть
′
uy
λ∈
jA
′
u
есть некоторая функция
(2.28)
jjj
83
0; 0, .
sgdz u jJ
ysjJ
2
n
()
d
()
d
∑
∑
kJ
λ 0, ,
sU y jJ
(,,θ)0, ,
+−=∈
jj
λ 1,
=
j
jJ
∈
g
∂
j
λ 0,
∈
−≤ ∈
jj
−−≤ ∈
jj
=
j
z
∂
yjJ
(1 ) 0, ,
yn
jz
∑
jJ
∈
LU
θθθ,
≤≤
0,1 , λ
=≥≥∈
jjj
1,
=+
Этот подход имеет следующие преимущества по сравнению с ме-
тодом перебора:
он не предполагает, что решение задачи (1.56) находится в од-
–
ной из вершин области T;
он не требует реализации комбинаторной процедуры анализиро-
–
вания всех
θ
вершин области T.
В задаче (2.28) локальный максимум совпадает с глобальным, если удовлетворяется условие 2 [14]. Это довольно ограничительное
условие.
2.5. Метод ветвей и границ
Мы
уже отмечали, что вычисление функций гибкости
χ
и
1
χ
2
сводится к решению задач максимизации. Для решения этих задач мы
будем использовать стандартную процедуру метода ветвей и границ
(
ВГ). Для реализации этой процедуры мы должны развить методы вычисления верхней и нижней оценок функций гибкости и способ разбиения области T на подобласти. Метод ВГ позволит свести решение
задач недифференцируемой максимизации к последовательности
обычных задач нелинейного программирования.
84
2.5.1. Вычисление функций гибкости
χ ()
d
()
d
()
d
()
d
,
gdz
()
d
() minmax ,,
dgdz
gdz
() minmaxmax (,,θ)
dgdz
max
() minmaxmax (,,θ)
dgdz
()
d
()
d
()
d
()χ()
dd
( ),
.
hd d T
TT
1
Вычисление
функции
ней и нижней оценок функций гибкости
Вычисление верхней оценки. Функция
функции гибкости
[см. (1.56)]. Рассмотрим методы вычисления верх-
,θhd
()
сводится к максимизации
χ
1
.
χ
1
может быть пред-
χ
1
ставлена в виде
где
,,θ
()
() maxmin ,,θ
dgdz
χ=
1
T
∈
θ
()
zZ
∈
определяется формулой (2.11). Изменяя порядок вы-
(2.29)
полнения операторов max и min, получим некоторую функцию
U
χ
1
U
χ
Подставляя выражение для
U
χ
1
=
1
zZ
∈
∈
θ
,,θ
()
= .
∈
zZ
θ
∈∈
TjJ
Согласно равенству (П.1) операторы
T
max и
θ
()
. (2.30)
(см. (2.11)), получим
j
jJ T∈θ∈
являются перестано-
вочными, поэтому это выражение может быть переписано в виде
U
χ
=
1
∈
zZ
∈∈
jJ T
j
θ
. (2.31)
Рассмотрим некоторые свойства функции
Свойство 1. Функция
ницу функции
χ
1
в области T
U
χ
1
χ
11
Это свойство непосредственно следует из неравенства (П.2). Из соотношений (1.56) и (2.32) получаем
,θχ
≤∀∈ (2.33)
()
Так как неравенство (2.33) справедливо для любой области T, то оно
справедливо для любой подобласти
U
.
χ
1
определяет некоторую верхнюю гра-
U
≤
U
1
. (2.32)
θ
⊂ . Отсюда получаем
i
85
( ),
,
i
hd d T
χ
() minmaxmax (,,θ).
dgdz
() max ,
(),
dhd d
()
d
()
k
i
T
χ () χ (),
dd
()χ(),
dd
() maxχ()
dd
() maxχ()
dd
()χ().
dd
TT
() minmaxmax (,,θ)minmaxmax (,,θ)
(), 1,..., .
di N
()χ()
dd
,( )
U
()
1,
U
,θ
≤
где
U
χ
=
1,
ij
zZ
∈
Из неравенства (2.34) получаем
χ
=≤
1, 1,
ii
θ
∈
T
i
jJ T
∈∈
θ
i
θχ
()
θ
∀∈
U
i
(2.34)
(2.35)
(2.36)
где
χ
Свойство 2. Пусть область T разбита на N
(i = 1,…, N
является функцией гибкости для подобласти Ti.
1,
i
). Существуют следующие неравенства
к
,( )
Uk U
11
Uk
χ
11
,( )
≤
≥
(2.37)
(2.38)
подобластей
к
где
,( )
Uk U
k –
номер итерации в методе ВГ. Так как неравенство (2.36) верно
χ
11,
=
i
, (2.39)
i
для любого i, то имеем
max χ
ii
≤ . (2.40)
ii
1, 1,
U
Отсюда следует (2.38), поскольку
Так как все
U
χ
dgdz gdz
1,
ij j
max χ
i
⊂ , то имеем
i
=≤=
zZ zZ
∈∈
jJ T jJ T
∈∈ ∈∈
θθ
i
= (2.41)
1, 1
i
=χ
U
1
=
Так как это соотношение верно для любого i, то
Отсюда следует неравенство (2.37). Таким образом, величина
86
UU
max χ
∈
lL
≤
1, 1
i
.
k
χ
1
является верхней границей (оценкой) функции гибкости
()
d
()
d
), 1,.
gdz u j ,...m
g
()
d
min max ,
g
, , 1,..., .
gdz uj m
() (,θ),
Ui
()
()
k
()
k
i
T
i
()
k
i
T
()
k
i
T
()0
ki
()
d
()
ласти T.
Свойство 3. Величина
может быть получена решением за-
χ
1,
i
дачи
U
χ () min,
du
=
i
1,
max ( , ,θ
T
∈
θ
i
zu
,
j
≤=
(2.42)
χ
в об-
1
Пусть
Выражение для
есть решение этой задачи. Введем функцию
],[iiuz
max , ,θ
gdz
=
jj
θ
U
может быть переписано в виде
χ
i
1,
U
χ
1,
ij
()
∈
T
i
z
j
. (2.43)
.
θ
d=
()
Применяя теорему П.4 (см. (П.12)), получим
U
χ () min,
du
=
1,
i
()
j
,
zu
≤=
Используя (2.43), получим задачу (2.42). Эта задача имеет вид (П.31).
Поэтому для ее решения можно использовать метод внешней аппроксимации (см. Приложение 2).
Свойство 4. Имеет место следующее соотношение
где
rT
– некоторая мера размера подобласти
i
точка в подобласти
()
(
T →
i
).
θ
lim χ
()0
rT
i
→
dhd
=
1,
i
, в которую стягивается
Равенство (2.44) следует непосредственно из вида
разом, если подобласть T
достаточно мала (т.е.
i
(2.44)
;
– такая
θ
()
при
U
χ
i
1,
rT ≤ε, где ε доста-
i
k
rT →
i
. Таким об-
точно мало), то
87
χ
,θ,
U
) , 1,... .
gdz u j m
)
i
(; )
A
JdT
),
i
i
() 0
i
)
i
), (;θ).
i
()
d
), (;).
gdz u j JdT
()
d
()
k
T
()'
k
T
()
k
T
1,
U
i
()'
k
T
i
1,
i
θ .
В соответствие с теоремой П.4
i
(,θ )min,
hd u
(,,
j
=
i
θ
i
hd
()
T≈∈
i
,
zu
(2.45)
≤=
(2.46)
Свойство 5. Пусть
Jd
A
(;θ
и
являются множествами
i
активных ограничений в задачах (2.46) и (2.42) соответственно. Тогда
где
T →
при
θ
i
го факта, что задача (2.42) сводится к задаче (2.46) при
В соответствии с теоремой П.7 (,θ
В то же время
Таким образом,
lim ( ; ) ( ;θ
JdT Jd
γ() 0
rT → . Это соотношение является следствием то-
i
Ai A
→
T
i
= (2.47)
.
θ
T →
i
hd есть решение задачи
i
(,θ )min,
hd u
gdz u j J d
χ
U
χ () min,
i
1,
max ( , ,θ
T
∈
θ
U
χ
1,
=
,
zu
θ
(,,
jA
U
i
1,
du
i
i
=∈
есть решение задачи
=
zu
,
jAi
=∈
определяется только множеством активных
i
ограничений задачи (2.46).
Свойство 6. Пусть T разбита на N
Обозначим через
через
некоторое подмножество множества
множество подобласти
подобластей
к
)(k
T (i = 1,…,N
i
)(k
T (i = 1,…,N
i
, которое содер-
к
) и
к
).
жит подобласть с наибольшей верхней границей
итерации мы разбиваем все подобласти подмножества
88
. Пусть на k-й
χ
. В ре-
зультате получим подмножество
()''
k
T
1
{ , 1,..., }
( 1) ( )'' ( ) ( )'
()
,( ) ,( 1)
.
( 1) ( )'' ( ) ( )'
.
k
(1) ()
kki
TT
()
d
() ()
dd
()'
k
T
1,
U
i
,( ) ,( 1)
maxχ() maxχ()
.
,( )
U
,
ji
)
i
AP
S
,
ji
(; )
A
JdT
{
}
:,, 0
. Таким образом, на k + 1-й
итерации мы получим новое множество подобластей
(1) (1)
kk
++
TTiN
== , (
ik
+
kkkk
+
TTTT
= ∪ ). Тогда суще-
ствует следующее неравенство:
Uk Uk+
χχ
Действительно, новое множество подобластей
≥
11
(2.48)
)1( +k
T имеет следую-
i
щее свойство
k
+
TTTT
∀∈∃∈ что
ij
kk k
+
i
)()1( k
TT ⊆
.
j
Поскольку
+
, то из вида функции
⊆
j
U
(см. (2.35)) сле-
χ
1,
i
дует следующее неравенство
Поскольку подмножество
верхней границей
χ
Uk U U Uk
χ
=≥=
11, 1,1
UU
χ≤χ .
1, 1,
ij
содержит подобласть с наибольшей
, то мы получаем
dd
ji
ji
+
χ
Таким образом, свойство доказано. На практике за исключением
особых случаев соотношение (2.48) является строгим неравенством,
поэтому дробление таких подмножеств улучшает верхнюю границу
k
.
χ
1
Пусть
Введем множество
щих активным ограничениям
θ
есть решение задачи
max ( , ,θ
θ∈
i
gdz
j
T
i
.
, состоящее из точек
в задаче (2.42)
i
θ
, соответствую-
ijiijii
Sgdzu=θ θ−=
AP j
,,
()
.
89
(; ), (; )
i
A
Jd JdT
i
AP
S
()
d
i
T
( ) max , max , , ,
l
dhd hd S
i
T
i
ST
() max ,
L
χ
()
d
i
S
max ( , ) .
hd v
( , ) , .
lli
hd v S
)ih(d,
max ( , , ) , 1,..., , ,
l
gdz v j m S
z
()
d
Согласно теореме 2 множества
θ
Ai
содержат nz + 1
активных ограничений. За исключением особых случаев число точек
в
не превышает nz + 1.
Вычисление нижней оценки. Рассмотрим теперь метод вычис-
ления нижней границы функции
χ
в подобласти
1,
i
. Следующее
неравенство справедливо
где
χ= θ≥ θ ∀θ∈
i
1,
i
– произвольное множество точек из подобласти
S
()
T
θ∈
i
()
i
lS
∈
li
, (
i
).
∈
Таким образом, величина
dhd
=θ
1,
i
есть нижняя граница функции
∈
lS
i
χ
1,
l
()
i
для любого множества
Легко видеть, что правая часть этого равенства есть решение задачи
min ,
v
v
lS
∈
θ≤
i
l
Применяя теорему П.3 (соотношение (П.7)), мы можем свести эту
задачу к следующей:
min ,
v
v
θ≤ ∀θ∈
Используя вид функции
(см. (1.57)) и теорему П.6, преобра-
θ
зуем эту задачу к виду
.
min
v
l
,
где
zv
lli
j
j
l
– новые поисковые переменные. Используя соотношение П.7,
θ≤ = ∀θ∈
получаем окончательный вид задачи вычисления нижней границы
функции
90
χ
1,
i
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]