Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современные методы оптимизации сложных систем. Оптимизация технических систем в условиях неопределенности. Учебно-методическое пособие
.pdf
Тогда условие (1.53) примет вид
)0.
() 0,
()
d
( ) max minmax , ,θ.
() max ,θ,
min max , ,
hd gdz
,χ(,δ)0,
(,δ)maxminmax ,,θ,
{
}
)
,
.
N
min max ( , , θ
Tgdz∀θ∈ ≤
z
j
j
Опять используя (П.7), мы получаем условие гибкости [1]
χ
где функция гибкости
χ
dgdz
1
χ
1
≡ (1.55)
d ≤ (1.54)
1
имеет вид
()
z
θ
∈∈
TjJ
j
Условие (1.55) является необходимым и достаточным условием
гибкости ТС (Тест гибкости). Функция
может быть представ-
)(1dχ
лена в виде
χ
dhd
= (1.56)
1
(1)
T
∈
()
θ
где
(1)
,θ
=
() ( )
z
∈
jJ
j
. (1.57)
θ
Сванэй и Гроссманн [8] ввели понятие индекса гибкости F, определяемого следующим образом:
()
1
maxδ
δ
(1.58)
≤
Fdd=
где
χ
1
(δ
T
Здесь область
δT зависит от скалярной величиной δ. Для заданных
()
значений d индекс гибкости F определяет максимальный прямоугольник, внутри которого можно найти такие значения управляющих переменных, что все ограничения (1.10) будут удовлетворены.
Если F > 1, то конструктивные переменные d допустимы (ЕС являет-
dgdz
=
θ:θδθθθ θ
=−Δ≤≤+δΔ
θθ θ;θθθ
Δ= − Δ= −
z
TjJ
θ
∈δ ∈
()
NN
−+
LUN−+
()
j
31
ся гибкой) и если F ≤ 1, то конструктивные переменные d недопус-
0,
ϕ
.
1
ϕ
min ,
u
ϕ
.
du
0
ϕ
:
,δ0.
F
)
dD
dD
тимы (ЕС не является гибкой)
Введем теперь понятия теста гибкости и индекса гибкости
структуры ТС [9]. Тест гибкости структуры проверяет возможность
нахождения по крайней мере одного значения вектора конструктивных переменных d, при котором ТC является гибкой. Для этого мы
должны проверить условие
(1.59)
≤
1
где
Ясно, что
Пусть d
*
может быть представлено следующим образом:
есть решение этой задачи. Если
min max min max , ,θ
ϕ=
1
∈∈
dD zZ
θ∈ ∈
TjJ
=
1
χ
()
1
dDu
∈
,
≤
gdz
()
j
1
> , то ТС является
структурно негибкой, так как ни для одного значения d она не является гибкой. В этом случае, чтобы добиться гибкости необходимо
менять структуру ТС.
Индекс гибкости заданной структуры ТС определяется решением
следующей задачи
Пусть δ
∗∗
= есть решение этой задачи, тогда δ
размер прямоугольника (δ
*
F =
min δ
δ
d
,
χ
1
d ≤
()
(1.60)
∗
это максимальный
T , в каждой точке которого можно найти
такие значения конструктивных и управляющих переменных, что все
ограничения (1.10) будут удовлетворены
В противоположность обычным тесту гибкости и индексу гибкости, которые оценивают гибкость ТС с фиксированным
∈
, тест
гибкости и индекс гибкости структуры ТС оценивают допустимость
всех возможных значений
∈ для заданной структуры ТС.
Сформулируем теперь двухэтапную задачу оптимизации (ДЭЗО1).
Выше мы предположили, что в каждый момент времени на этапе
функционирования решается внутренняя задача оптимизации с ис-
32
пользованием математической модели с уточенными параметрами θ. В
0, 1, , .
gdz j m
{
}
,,.
Efd fd d
}
{
}
}
)/max ( , ,θ)0}(θ)
fdz gdz d
z
),θ)ρ(θ)
fdz d
),θ) 0, 1,..., ,
gdz j m
)
z
данном случае она имеет вид
*
,θ min , ,θ ,
fd fdz
j
=
() ( )
,,
()
z
θ
≤=
…
(1.61)
Предположим, что функция плотности распределения вероятностей
ρθ известна. Тогда на этапе проектирования мы можем оценить
()
будущую работу ТС, подсчитав математическое ожидание E
величины
:
),(*θdf
{…}
θ
**
θ= θρθθ
()
θ
()()
∫
T
(1.62)
Эта величина будет использоваться как целевая функция в задаче
оптимизации в условиях неопределенности. Результирующая двухэтапная задача есть задача стохастического программирования с рекурсией, которая формулируется следующим образом [1]:
min { ,θ
d
Подставляя в (1.63) выражение для
ние для
*
fd
()
min min{ ( , ,θ
из (1.61), получим
,θ
∫
dz
T
Поскольку интеграл есть бесконечная сумма и переменные
*
Efd . (1.63)
()
θ
*
,θEfd
()
θ
θ∈
T
из (1.62) и выраже-
. (1.64)
≤ρ
θ
, соот-
ветствующие различным θ, независимы друг от друга, то в соответствие с (П.3) мы можем изменить порядок операторов интегрирования и минимизации в (1.64)
min min ( , (θ
dz
(θ )
∫
T
θ
,
(,(θ
j
Объединяя оба оператора минимизации по d и
≤= T∀θ∈ .
(θ
, получим
33
),θ)ρ(θ)θ,
fdz d
),θ) 0, 1,..., ,
gdz j m
.
T
).
z
)
z
T
dD
T
{
}
,
),θ)ρ(θ)θ,
ffdzd
),θ) 0, 1,..., ,
gdz j m
θ
0.
),θ)ρ(θ)
(, ,θ)
i
i
)
i
i
1
()
i
min ( , (θ
∫
,()
dz
θ
T
(1.65)
(,(θ
j
≤=
∀θ∈
(1.66)
Так как оптимальное значение z (1.61) зависит от θ, то z в (1.65)
есть многомерная функция (θ
К сожалению, задача (1.65) имеет
бесконечное число ограничений и поисковых переменных (одна многомерная функция (θ
поисковых переменных). Пусть d* есть решение задачи (1.63). Легко
видеть, что d
*
гарантирует гибкость ТС, так как задача (1.61) решает-
ся во всех точках θ
дача (1.61) имеет решение для каждого
эквивалентна бесконечному числу обычных
∈ . Однако мы не можем гарантировать, что за-
∈
и θ
∈ . Поэтому за-
дача (1.63) должна быть дополнена условием гибкости (1.54); таким
образом мы получаем следующую формулировку ДЭЗО1 [1]:
min ,θ
fEfd
1
d
χ 0.
d=≤
()
1
*
()
θ
(1.67)
Аналогично с помощью задачи (1.65) мы получаем другую формулировку ДЭЗО1:
(,(θ
j
min ( , (θ
=
1
dz
,()
∫
θ
T
≤= T∈∀
(1.68)
, (1.69)
Заменим многомерный интеграл в (1.68) некоторой конечной суммой
с помощью той или иной квадратурной формулы [10]
где
(
θ
(,(θ
fdz d wfdz
∫
T
) – аппроксимационные (узловые) точки, (θ
Ii ∈
1
вектор управляющих переменных, соответствующий аппроксимационной точке θ
и
w
i
ряющие условиям
34
χ
d ≤
()
1
θ
=
i
∑
iI
∈
1
i
, (1.70)
zz= –
i
I∈ – весовые коэффициенты, удовлетво-
1 ;0
i
),
i
1
)0, ,
gdz i I
() 0.
11
:}
SiI
),
)0, .
gdz i R
1
iI
n
n
p
dz
npn
ww .
∑
∈Ii
1
=≥
ii
В дальнейшем будем опускать эти условия. Кроме того, заменим
бесконечное число ограничений (1.69) конечным числом ограниче-
ний только в аппроксимационных точках θ
(
Ii ∈ ). Таким образом
1
получим дискретный вариант ДЭЗО1:
min ( , ,θ
fwfdz
=
1
dz
(, ,θ
∑
i
,,
iI
∈
1
ii
≤∈
i
i
(1.71)
χ
d ≤
1
(1.72)
К сожалению, часто эта функция неизвестна, тогда множество аппроксимационных точек
i
{θ
=∈ и весовые коэффициенты
w
задаются из инженерных соображений. Например, аппроксимационные точки должны выбираться таким образом, чтобы они попадали в
область наиболее вероятных значений, которые параметры θ могут
принимать при функционировании ТС. Иногда задача оптимизации в
условиях неопределенности решается без ограничений (1.72), т.е.
решается следующая задача:
fwfdz
Здесь R совпадает с I
min ( , ,θ
=
1
(, ,θ
∑
i
dz
,
iI
∈
1
ii
≤∈
. Однако иногда используется модель (1.73),
1
ii
i
(1.73)
когда R содержит аппроксимационные и некоторые дополнительные
точки. Задача (1.73) есть многопериодная модель, решение которой
гарантирует удовлетворение ограничений (1.10) только в аппрокси-
мационных точках
i
θ ,
∈ . Поэтому использование задачи (1.73)
оправдано только в случае, когда аппроксимационные точки покрывают достаточно плотно область T. Это требует большого числа аппроксимационных точек даже для сравнительно малой размерности
вектора θ. Если число узловых точек по каждой компоненте век-
θ
тора θ равно р, то число аппроксимационных точек будет равно
В этом случае размерность задачи (1.70) будет равна
n
+ . На-
θ
θ
i
.
35
пример, если
n
n
)} ( ,θ)ρ(θ)θ,
EkEzd kzd d
/
E
Ε EE
TTT
1
ных точек и размерность задачи (1.73) будет равна
ким образом, при большом
= 3 и р = 10, то потребуется 1000 аппроксимацион-
θ
nn 1000+ . Та-
zd
задача (1.73) может потребовать
θ
больших вычислительных затрат.
Важно оценить средние потери энергии, связанные с необходимостью жесткого выполнения ограничений (1.10) в условиях изменения
внутренних и внешних факторов и неточности исходной математической модели. Пусть d
решение задачи (1.61) при фиксированном d
поддерживать значение z
димо расходовать некоторую энергию. Например, если
тура, то необходимо тепло, чтобы поддерживать температуру
если
z – расход некоторого потока, то необходима энергия для ком-
l
*
есть решение задачи (1.67) и z*(d*,θ) есть
*(d*
,θ) управляющей переменной z необхо-
*
и параметре θ. Чтобы
z – темпера-
l
z ;
*
l
прессора, поддерживающего требуемое значение этого потока. Таким образом, z
*(d*
,θ) связана непосредственно с потребляемой энер-
гией. Будем предполагать для простоты, что потребляемая энергия
пропорциональна величине z
*(d*
,θ). Отсюда среднее потребление
энергии, связанное с i-й управляющей переменной, будет определяться величиной
n
*** **
==
mid T i i
{( ,θ
∈
θ
z
∑
∫
=
1
i
T
где k
– коэффициент пропорциональности. Аналогично коэффици-
i
ентам запаса конструктивных переменных можно ввести понятие
энергетического коэффициентам запаса
–
потребляемая энергия при номинальных значениях неопределен-
ных параметров. Используя
*
Ε можно формулировать новые двух-
mid
этапные задачи, учитывающие потери энергии.
Случай 2. На этапе функционирования ТС известны точные значения только части неопределенных параметров. В этом случае век-
тор неопределенных параметров состоит из двух подвекторов
2
θ [ ),(
21
θθ=θ ]. Пусть при этом
этапе функционирования ТС значения компонентов вектора
быть определены достаточно точно. В то же время компоненты век-
36
η= − , где
11
T∈θ и
*
()
mid N N
22
T∈θ , (
Ε
N
1
и
θ
21
∪= ).На
могут
θ
тора
1
11
T
,,θ0
⎡
⎣
,,θ0
⎡
⎣
,θ)0
,θ)0
0
12
max min max max ( , ,θ,θ).
2
max
T
12
,θ)
мени мы будем знать точные значения только параметров
2
θ не могут быть уточнены. Поскольку в каждый момент вре-
, то ус-
θ
ловие гибкости в данном случае формулируется следующим образом: ТС является гибкой, если для каждого
∈
θ
можно найти
такие значения управляющих переменных, что все ограничения (1.10)
будут удовлетворены. Логическое представление этого условия име-
ет следующий вид:
11 2 2
θθ
Tz TjJgdz
∀∈ ∃∀∈ ∀∈ ≤
()
j
⎤
. (1.74)
⎦
Мы показали (см. преобразование логического условия (1.38) в аналитическое условие (1.39)), что логическое условие
22
θ
zTjJgdz
∃∀ ∈ ∀∈ ≤
()
j
⎤
эквивалентно следующему усло-
⎦
вию:
min max max ( , ,θ
22
z
T
θ
∈
jJ
∈
gdz
j
12
≤ .
Отсюда условие (1.74) может быть переписано в виде
11 12
min max max ( , ,θ
Tgdz
∀θ ∈ ≤
z
22
T
θ
∈
jJ
∈
j
Используя (П.7), можем преобразовать это условие к виду [11], [12]
χ
d ≤ , (1.75)
()
2
где
χ
dgdz
Поменяем порядок выполнения операторов
=
()
2
11 22
z
θθ
TT
∈∈
jJ
∈
j
min и
z
, тогда в со-
2
θ
∈
ответствие с (П.2) получим
χ≥ .
()
2
112 2
θθ
TT
∈∈
z
jJ
∈
j
max max min max ( , ,θ
dgdz
В соответствии с (П.1) мы можем объединить первые два оператора.
Получаем
37
12
max min max ( , ,θ,θ).
d
dd
1
12
)
12 1 2
)
1
)
2
)
1
T
z
v
,θ) 0, 1,..., ,
gdz j m
12
,θ)
12
,θ)
2
11
T
12 12 2 2
,θ)(,,θ,θ)ρ(θ)θ.
Efdz fdz d
11
T
*1 1 11
)} ( ,θ)ρ(θ)
Efd fd d
χ
dgdz
≥
()
2
z
TjJ
∈∈
θ
j
Но в правой части этого неравенства стоит
χχ
≤ . (1.76)
() ()
12
χ
. Отсюда мы имеем
()
1
Ясно, что удовлетворить условие (1.75) более трудно, чем условие
(1.54). Поэтому недостаток экспериментальной информации на этапе
функционирования ТС, приводит к увеличению требований к конструктивным переменным.
Рассмотрим теперь формулировку двухэтапной задачи оптимизации. Мы предполагаем, что векторы
плотность распределения вероятности
следующим образом
ρ(θ,θ)ρ(θ)ρ(θ
=
плотности распределения вероятности для векторов
θ и 2θ независимы, поэтому
ρ(θ,θ
12
может быть выражена
, где
ρ(θ
1
и
θ и 2θ соответ-
ρ(θ
2
–
ственно. Для фиксированного момента времени на этапе функционирования процесса значение
бое значение из области
1
θ известно, а 2θ может принимать лю-
2
.Эта ситуация соответствует ОЭЗО с же-
сткими ограничениями (см. раздел 1.2.1). Поэтому формулировка
внутренней задачи оптимизации совпадает с (1.37) при
*1 12
(,θ )min {(,,θ ,θ ),
fd E fdz
max ( , ,θ
22
θ
T
∈
=
j
2
θ
z
12
≤=
(1.77)
≡
где
(,,θ
fdz
{(,,θ
Efdz – математическое ожидание функции
2
θ
по переменной
{(,,θ
2
θ
θ при фиксированном
=
∫
2
T
Условие (1.75) гарантирует существование решения задачи (1.77) для
всех
θ
∈ . Следовательно, оно должно быть использовано в ДЭЗО2
как ограничение. Так как величина
38
{(,θ
1
θ
=
T
θ
∈
2
∗
∫
1
θ
1
(1.78)
характеризует будущую работу ТС, то она может служить в качестве
{
}
),
0
2
1
*1
)
12 2 2 12 1 1
,θ)()θmax ( , ,θ,θ)0}ρ(θ)θ,
f fdz d gdz d
() 0
1
1
112 1 2 12
),θ,θ)ρ(θ)ρ(θ)
,
ffdz dd
112 1 1
),θ,θ) 0 1,..., ,
,
gdz j m T
() 0.
1
1
.
целевой функции в ДЭЗО2. Комбинируя целевую функцию (1.78) и
условие (1.75), получаем двухэтапную задачу оптимизации (ДЭЗО2)
min ( ,θ
fEfd=
2
d
χ
2
*1
1
θ
d ≤ . (1.80)
()
(1.79)
Легко видеть, что задача (1.79) сводится к ОЭЗО с жесткими ограничениями, если множество
множество
совпадает с θ.
θ
совпадает с θ и сводится к ДЭЗО1, если
θ
Подставим в (1.79) выражение для математического ожидания
(1.78)
и учтем, что
min min{ ( , ,θ
=ρθ≤
22 1
∫∫
z
d
12
TT
fd
есть решение задачи (1.77):
(,θ
11
∈
θ
T
χ
2
. (1.81)
d ≤
Поскольку значения переменных z в задаче (1.77), соответствующих некоторому значению
соответствующих другому значению
, не зависят от значений переменных z,
θ
, то мы можем изменить по-
θ
рядок выполнения операторов интегрирования и минимизации в целевой функции задачи (1.81) (см (П.3)). Тогда задача (1.81) принимает вид
min ( , (θ
=
212
,(
dz
θ )
1
∫∫
12
TT
θθ
(1.82)
max ( , (θ
j
22
θ
∈
T
≤= ∀∈
χ
d ≤
2
θ
Отметим, что здесь поисковая переменная z является многомерной
функцией
(θ)z
переменных
θ
Используя опять квадратурную формулу для аппроксимации интеграла в целевой функции задачи (1.82) и заменяя бесконечный набор ограничений (1.83) конечным набором только в аппроксимационных точках, получаем следующую задачу:
(1.83)
39
12
,θ),
i
1
,θ)0, 1,..., ,
gdz j mi I
() 0,
0; 1; 0; 1.
11
:}
SiI
21
:}
SjQ
i
1
i
12
ij
12211
){θ:
;
}
i
21
ff
1
12 12 1 1
gdz gdz T
max ( , ,θ
22
θ
∈
min ( , ,θ
fwvfdz
=
2
,
dz
j
T
ij
∑∑
i
iI jQ
∈∈
11
12
ii
≤= ∈ (1.85)
ij
(1.84)
где
w
χ
d ≤
2
(
i
) и
v (
Ii ∈
1
j
) – весовые коэффициенты, удовлетво-
Qj ∈
1
(1.86)
ряющие условию
wwvv
≥=≥=
iiii
∑∑
∈∈
iI iQ
11
Если функция плотности распределения не известна, весовые коэффициенты w
1
{θ
=∈
Следует заметить, что в ДЭЗО1 вектор z
проксимационной точке
(1.70)).
ответствующий точке
точках
(
j
i
) и vj и множества аппроксимационных точек
Ii ∈
1
2
,
j
{θ
=∈
θ
должен назначать исследователь.
, используется только в этой точке (см.
i
, соответствующий ап-
С другой стороны, видно из (1.85), что в ДЭЗО2 вектор z
, используется во всех аппроксимационных
θ
θ,θ
из области
(θ
TT=∈=.
ji
θ
θθ
i
, со-
Покажем, что следующее неравенство:
≥
(1.87)
справедливо.
Сравним ДЭЗО1 и ДЭЗО2 (см. (1.68) и (1.82)). Рассмотрим частный
случай ДЭЗО1, в котором переменные z зависят только от парамет-
ров
. В этом случае, ДЭЗО1 и ДЭЗО2 имеют одинаковые целевые
θ
функции. Ясно, что следующее неравенство справедливо:
max ( , ,θ ,θ )(,,θ ,θ ), θ
jj
22
θ
∈
T
≥∀∈.
Учитывая это неравенство и неравенство (1.76), получаем неравенство (1.87) согласно теореме П2.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]