Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современные методы оптимизации сложных систем. Оптимизация технических систем в условиях неопределенности. Учебно-методическое пособие
.pdf
б) функции g
()
d
()
d
() min,
du
(,) ,
gdz u
)
gdz gdz
(,)
gdz
()
d
i
T
,loc
i
1, 1,
UUii
(d,z θ) являются строго квазивогнутыми по перемен-
j
ным θ.
Метод ВГ получает глобальное решение, если верхняя
L
нижняя
(2.42)
χ
границы являются глобальными решениями задач
i
1,
и (2.49). Перепишем задачу (2.42) в виде
U
χ
= (2.67)
1,
i
zu
,
U
χ
и
i
1,
j
(2.68)
≤
где
(,) max (,,θ
=
jj
T
θ
∈
. (2.69)
Поскольку выполняется условие 3б, то локальный максимум пра-
вой части равенства (2.69) совпадает с ее глобальным максимумом
Мы показали, что, если функции g
[13].
лыми по переменным z (условие 3а), то функции
(d,z,θ) являются квазивыпу-
j
являются
j
также квазивыпуклыми по переменным z (теорема 1.3 [13]). Отсюда
следует, что область, определяемая неравенствами (2.68) является
выпуклой. Следовательно, локальный минимум задачи (2.67) совпадает с ее глобальным минимумом [13]. Таким образом, решая задачу
(2.67), мы получаем глобальное решение, т.е. глобальную верхнюю
границу функции
χ
1
в области
. Аналогично, в соответствие с
условием 3a локальный минимум задачи (2.42) совпадает с ее глобальным минимумом. Поэтому, решая задачу (2.42), мы опять получаем глобальное решение. Следовательно, метод ВГ найдет глобальное решение задачи (1.56).
Следует отметить, что часто область неопределенности мала, поэтому можно ожидать, что условие 3б будет выполняться во многих
случаях (если только область T не содержит точек минимума или перегиба функций g
(d,z,θ)). Рассмотрим теперь возможные последст-
j
вия нарушения условия 3а. А именно рассмотрим случай, когда условие 3б выполняется, а условие 3а не выполняется. В этом случае,
решая задачу (2.42) мы, вообще говоря, получим локальный мини-
мум
U
χ
1,
. Так как
,loc
χχ
≥
, то мы опять получаем верхнюю гра-
ницу, хотя она будет более грубая. Таким образом, в данном случае,
101
используя метод ВГ, можем гарантировать получение только верх-
()
d
()
d
()
d
) ( 1,..., )
gdz j m
ней границы для
χ
.
1
Теперь кратко рассмотрим проблему многоэкстремальности
функции при
χ
. Поскольку имеет место равенство (2.62), то ус-
2
ловие 3 гарантирует получение глобальной верхней границы для
χ
. Легко показать, что если условие 3 выполнятся, то мы полу-
2
чим глобальное решение задачи вычисления нижней границы задачи
(2.66).
Отсюда метод ВГ будет получать глобальное решение.
Сравнение методов вычисления функции гибкости, показывает,
что они в известной степени дополняют друг друга, действительно,
если условие 1 удовлетворяется и размерность вектора θ мала,
–
то целесообразно использовать метод перебора;
–
если число множеств активных ограничений в задаче (2.1) невелико и условие 2 удовлетворяется, то целесообразно использовать
метод множеств активных ограничений;
–
если условия 1 и 2 не удовлетворяются, а условие 3 удовлетворяется, то надо использовать метод ВГ.
Используя рассмотренные методы можно решать большой класс
задач. Однако у этих методов имеется один общий недостаток. Дело
в том, что все они требуют проверки некоторых условий выпуклости
(
вогнутости) функций g
. В то же время для многих реальных систем
j
очень трудно проверить эти условия. Таким образом, строго говоря,
эти методы не могут гарантировать гибкость сложной системы, если
не выполняются соответствующие условия выпуклости. В связи с
этим очень важно разработать методы, которые будут предъявлять
минимальные требования к проверке выпуклости (вогнутости) функций g
. Поэтому мы рассмотрим модификацию метода ВГ, которая
j.
будет получать глобальное решение задачи оценки функции гибкости
при меньших требованиях к выпуклости (вогнутости) функций g
.
j
будем предполагать, что выполняется следующее условие
Мы
Условие 4. Функции
зивыпуклыми по переменным z.
Для вычисления функции гибкости мы будем по-прежнему использовать метод ВГ с некоторыми изменениями. Вместо использо-
102
2.6.2. Модифицированный метод
вычисления функции гибкости
(,,θ
j
=
являются строго ква-
вания задачи (2.42) для вычисления верхней границы функции
)
h
max ( ; ) , 1,..., ,
Ug T u j m
(;)
Ug T
,
ji j i
Ug T g T
Ug T g dz z Zd D
()
i
rT
i
T
i
i
d
T
(;)
ji
Ug T
lim ( , ),
i
χ
i
T
i
T
1,
U
i
() (,θ)
U
i
() 0
будем решать следующую задачу:
(,θ
d
U
χ () min,
du
=
i
1,
∈
θ
zZu
∈
,
≤=
T
ji
i
(2.70)
где
ным z и верхней оценочной вогнутой функцией для g
является строго квазивыпуклой функцией по перемен-
(d,z,θ) по пере-
j
менным θ, удовлетворяющей условиям
Здесь
(;) , θ
lim max[ ( ; ) ( , ,θ)] 0, ,
() 0
→
rT
i
ji j
≥∀∈
−=∀∈∈
есть мера размера подобласти
(2.71)
. (2.72)
.
Для вычисления нижней границы будем, по-прежнему, решать задачу (2.49). Согласно условию 4 локальный минимум задачи (2.49)
совпадает с глобальным минимумом. Сравнивая (2.42) и (2.70) и учитывая (2.71), легко получить следующее неравенство:
Учитывая свойства функции
(2.70)
(2.70)
условие 3 выполняется. Отсюда локальный минимум задачи
совпадает с глобальным минимумом. Из условия (2.72) и зада-
UU
χ () χ () (,θ), θ
1, 1,
dhd
≥≥ ∀∈
i
, получаем, что для задачи
. (2.73)
чи (2.70) следует, что имеет место следующее равенство:
U
hd
() 0
rT
i
1,
→
=θ
(2.74)
i
где
стягивается в точку θi. Это означает, что, когда подобласть
уменьшается, величина
χ
оценкой значения h(d,θ). Из вида задачи (2.42) следует равенство
где
T →
i
θ
при
lim χ
→
() 0
rT
i
rT → .Следовательно, из равенств (2.74) и (2.75)
i
получаем
становится все более точной верхней
i
dhd
=
1,
i
, (2.75)
103
() limχ() (,θ).
UU
i
()
k
i
T
()
k
i
T
()0
()
d
()
d
()
d
) ( 1,..., )
gdz j m
()
d
()
d
()
d
1
) ( 1,..., )
gdz j m
lim χ
() 0 ()0
rT rT
i
ddhd
==
1, 1,
→→
ii
1
Обозначим через
подобласть, имеющую наибольшую верх-
нюю границу на k-ой итерации. Так как на каждой итерации метод
ВГ дробит подобласть
стремиться к
U
χ
. Следовательно, в пределе задача (2.70) будет
1,
i
, то при
()
k
rT →
i
значение
U
χ
1,
i
получать то же решение, что и задача (2.42). С другой стороны, использование величины
U
χ
гарантирует получение глобальной
1,
i
верхней границы, если условие 4 удовлетворяется. Таким образом,
метод ВГ, использующий в качестве нижней и верхней границы решения задач (2.49) и (2.70), получит глобальное решение задачи вычисления значения функции гибкости (1.55).
Сравнивая метод ВГ с другими методами, рассмотренными в этом
разделе, мы видим, что он предъявляет меньшие требования к выпуклости (вогнутости) функций
(,,θ
j
=
.
Описанная модификация метода ВГ для определения глобального
решения задачи вычисления функции гибкости
ется для вычисления
χ
. Однако надо учесть следующий факт. В
2
χ
легко обобща-
1
описанной модификации метода ВГ дробление подобластей проводится по отношению ко всем параметрам θ и размер подобласти, содержащей глобальный максимум стремиться к нулю. С другой стороны, при использовании метода ВГ для вычисления
бим подобласти только по параметрам
, при этом размер подобла-
θ
χ
2
мы дро-
сти, содержащей глобальный максимум, не стремиться к нулю. Поэтому, чтобы данная модификация полчала глобальный максимум
при решении задачи (2.49), мы должны потребовать, чтобы в дополнении к условию 4 функции
зивогнутыми по параметрам θ
(,,θ
j
2
.
=
были строго ква-
Следует
отметить, что все методы вычисления функции гибкости,
рассмотренные в разделах 2.2, 2.3 и 2.5 используют процедуру перебора. Методы, описанные в разделах 2.2, 2.3, используют явный перебор.
Метод, описанный в разделе 2.5, использует неявный перебор (метод
ВГ). Однако даже метод ВГ является экспоненциальным по своей сущ-
104
2.7. Метод разбиений и границ
ности. В худшем случае он может выродиться в полный перебор. В свя-
0
dd
()maxminmax(,,θ).
dgdz
0
()
d
) , 1,..., , 1,..., .
gdz ul N j m
0
()
d
) , 1,..., .
gdz ul N
), 1 .
gdz u l ,,N
зи с этим мы рассмотрим здесь метод разбиений и границ (РГ), который
не использует процедуру перебора. Пусть мы должны вычислить значе-
ние функции гибкости функции гибкости при
= .
00
χ
≡ (2.76)
1
∈
zZ
∈∈
θ
TjJ
j
Алгоритм метода РГ является двухуровневой, итерационной процедурой, которая основывается также, как и метод ВГ, на разбиении
области T на подобласти. Верхний уровень служит для проведения
операции разбиения. Нижний уровень служит для вычисления верх-
ней и нижней границ величины
χ
. Рассмотрим в начале основ-
1
ные части алгоритма РГ.
2.7.1. Алгоритм вычисления верхней границы
область T разбита на Nk подобластей Tl. Рассмотрим задачу
Пусть
()
k
min ,
Fu
=
1
l
,
max ( , ,θ
θ
zu
0
l
jk
T
∈
l
≤= =
(2.77)
Мы покажем, что решение этой задачи дает верхнюю границу величины
χ
. Используя эквивалентное соотношение (П.7) можем
1
преобразовать эту задачу к виду
()
k
min ,
Fu
=
1
max max ( , ,θ
jJ T
l
zu
∈∈
θ
l
,
0
l
jk
≤=
Используя теорему П.6, сведем эту задачу к виду
()
k
min ,
Fu
=
1
min max max ( , ,θ
z
l
jJ T
u
θ
∈∈
l
0
jk
Опять используя эквивалентное соотношение (П.7), преобразуем эту
задачу к виду
l
≤=…
105
,( )
),
gdz u
1
,
)max
U
l
() ,() 0
().
Fd
()
k
F
0
()
d
()
d
1
() ,()
[, ]
k
,( )
).
,()
0,() ,() ()
l
gdz u
:( , ,θ) , 1,..., , 1,..., }.
SgdzulNjm
k
l
,( )
()
.
U
Uk
=
l
z
min ,
u
0
l
j
θ
l
≤
fu
1
maxminmaxmax ( , ,θ
∈∈∈
lL jJ T
где L = (1,…,N
). Ясно, что решение этой задачи имеет вид
k
,( ) 0
klU
fgdz
max min max max ( , ,θ
==
l
lL jJ T lL
∈∈∈ ∈
z
j
θ
l
.
χ
2
Учитывая выражение (2.39), получаем
Таким образом, величина
цей величины
U
χ
подобластей T
1,
l
χ
1
, l = (1,…,Nk) [см. (2.39)].
l
kUk
χχ
=≥
11 1
является не только верхней грани-
1
, но и равна наибольшей из верхних границ
(2.78)
Задача (2.77) является задачей полубесконечного программирования
(см. (П.31)). Для ее решения может быть использован метод внешней
аппроксимации (Приложение 2). Размерность ее равна
Nn+
kz
. Та-
ким образом, размерность задачи (2.77) растет пропорционально
числу подобластей.
Обозначим через
lk
uz решение задачи (2.77). Пусть
jl
θ
есть решение задачи
0,()
max ( , ,θ
∈
θ
T
Мы будем называть точку
gdz
()
k
l
jl
θ
lk
j
активной, если соответствующее не-
равенство в задаче (2.77) активно, т.е. выполняется равенство
(, ,θ )
j
kjl k
= .
Введем множество активных точек
)(.k
S задачи (2.77) определения
PA
верхней границы
() ,() () ,() ,() ()
kjl klkjlk
{θ
====
.
AP j k
Пусть подобласти с номером
соответствует наибольшая верхняя
граница. Таким образом,
χ
l
1, 1
k
106
Uk
χ
d = (2.79)
Величина
()
d
) , 1,..., .
gdz uj m
,
k
l
zu
).
k
l
gdz u
().
ud
().
ud
k
l
u
)
().
gdz d
k
l
z
,( )
l
z
)()
gdz d
Решение этой задачи обозначаем через
U
χ
получается решением следующей задачи:
1,
l
k
U
χ () min,
du
l
1,
k
max ( , ,θ
T
θ
∈
l
k
=
zu
,
0
j
≤=
(2.80)
l
k
. В точке решения, по
крайней мере, одно из ограничений в задаче (2.80) является активным, т.е. для некоторого j имеет место равенство
Поскольку
j
l
l
0
U
k
χ
=
1,
l
k
max ( , ,θ
T
θ
∈
l
k
есть решение задачи (2.80), то
u
l
k
(2.81)
=
Отсюда, используя равенство (2.79), получаем
l
,( )
Uk
k
χ
=
1
Подставим это выражение для
Будем предполагать, что минимум в этой задаче единственный. Поскольку выполняется равенство (2.79), то из единственности мини-
мума вытекает, что точка
дать с точкой
во (2.82) может быть переписано в виде
Отсюда следует важный вывод: в точке решения задачи (2.77) по
крайней мере, одно из ограничений, соответствующих подобласти с
наибольшей верхней оценкой, будет активным.
в равенство (2.81)
l
0,()
max ( , ,θ
j
T
θ
∈
l
k
Uk
χ
=
1
(2.82)
(решение задачи (2.80)) будет совпа-
k
k
(частью решения задачи (2.77)). Отсюда равенст-
()
lk
0,()
max ( , ,θ
j
T
θ
∈
l
k
=χ
Uk
1
.
107
2.7.2. Алгоритм вычисления нижней границы
TT
),
.
gdz u S T
()
2
k
S
i
AP
S
i
S
()
.
k
AP
S
()
2
k
S
1
()
k
S
()
2
k
S
()
2
k
S
()
d
( 1,..., )
i
Ti N
,( )
U
( 1,..., )
i
Ti N
()
k
l
T
мы получили выражение (2.49) для нижней границы функ-
Ранее
ции гибкости для любой подобласти T
. Полагая
l
в (2.49), по-
=
i
лучим выражение для нижней границы функции гибкости области
,( )
Lk
χ min ,
1
(,,θ
j
u
=
i
,
zu
0()
ii i k
≤∀∈∈
θ
2
(2.83)
Напомним, что
является произвольным множеством точек из
области T. С помощью тех же соображения, которые были использованы при обосновании множества
, в качестве множества
в
задаче (2.49) вычисления нижней границы функции гибкости в подобласти T
множество
границ в качестве
ским. Размерность задачи (2.83) равна
ло элементов множества
(2.83)
в методе ВГ, можно показать, что разумно использовать
l
активных точек в задаче (2.77) вычисления верхней
. Конечно, это правило является эвристиче-
()
k
Sn+ , где
2
z
2
. Таким образом, размерность задачи
растет пропорционально числа точек множества
есть чис-
.
2.7.3. Правило разбиения
U
Согласно
свойству 6 верхней границы
дробление подобластей
k
χ
ницу
(в большинстве случаев улучшает). Отсюда возникает сле-
1
()
k
=
χ
функции гибкости
1
не ухудшает верхнюю гра-
k
дующий вопрос: как мы должны дробить область T? Прямой путь состоит в систематическом дроблении на каждой итерации всех имеющихся подобластей. Однако такое правило дробления не эффективно,
так как очень скоро размерность задач(2.77) и (2.83) может стать очень
большой. Мы будем использовать более эффективный способ, основанный на следующем эвристическом правиле: на k-й итерации толь-
()
k
ко те подобласти
=
будут дробиться, для которых не-
k
которые ограничения в задаче (2.72) вычисления верхней границы
являются активными. Таким образом, на k-й итерации подобласть
дробиться, если выполняется следующее условие:
108
(
),() ()
),
k
jJ gd z u
,( )
l
z
()
k
u
()
d
,( )
U
0,
0.
1,
k
11
},
max ( , ,θ
∃∈ =
j
T
θ∈
l
lk k
где J = (1,…,m). Здесь
k
,
есть решение задачи (2.77). Это правило основывается на следующем соображении. Мы показали, что в
точке решения задачи (2.77) подобласти с наибольшей верхней оценкой соответствует, по крайней мере, одно активное ограничение. Поэтому, если мы разбиваем все подобласти, которым соответствуют
активные ограничения, то обязательно разбиваем подобласть с наибольшей верхней оценкой. Однако согласно свойству 6 верхней гра-
ницы функции гибкости
χ
(см. 2.48), разбиение некоторого под-
1
множества подобластей, содержащего подобласть с наибольшей
верхней оценкой не ухудшает верхнюю границу
k
(в большинст-
χ
1
ве случаев улучшает).
2.7.4. Критерий останова
решении задачи 1 мы можем использовать в качестве крите-
При
рия останова следующие условия
,( )
Lk
χ
> (2.84)
1
,( )
Uk
χ
< (2.85)
1
Если выполняется условие (2.84), то конструктивные переменные
недопустимы (ТС с данными конструктивными переменными не является гибкой). Если выполняется условие (2.85), то конструктивные
переменные допустимы (ТС с данными конструктивными переменными является гибкой). При решении задачи 2 мы можем использовать в качестве критерия останова следующее условие:
,( ) ,( )
Uk Lk
χχε
−≤.
11
2.7.5. Алгоритм метода разбиений и границ
алгоритмы для реализации основных частей метода разбие-
Имея
ний и границ, мы можем теперь представить алгоритм, реализующий
этот метод. Введем множество L
(k)
подобластей
T следующим
i
образом:
() () ()
kk k
{ ,( 1,..., ): ( ) δ
LTi NrT== > (2.86)
iki
()
109
где δ
1
, ( 1,..., )
Ti N
12122112
0, 0, 0, 0( ),( )
,
,
aa
[, ]
k
k
lN
() () ()
{: }
k
QTlI
()
k
i
T
k
dTQ
,( 1) ,( ) ,( )
U
() ()
2.
kkAP
SS
U
0
()
d
( ) , 1,..., ,
i
rT i N
0
()
d
, 1,..., ,
l
rT l N
– некоторая величина.
1
Алгоритм
Шаг 1.
подобласти
малые величины
Положить k = 1, выбрать начальное разбиение области T на
1
()
= , начальные значения u
i
(0)
l,(0)
, z
(l = 1,…,N1) и
ε> ε > δ> δ> ε >ε δ>δ . Положить
,(0) ,(0)
UL
χ
11
χ
==− (2.87)
где 0>a – достаточно большая величина.
Шаг 2. Найти верхнюю границу, решая задачу (2.72).
,
lk
Пусть
Шаг 3. Определить множество
() ()
uz
, 1,...,
=
()
– решение этой задачи.
kk
=
lQ
∈
подобластей
, которым соответствуют активные ограничения в задаче (2.72)
()
U(k)
χ= ∈.
()
1,
ll
0,
k
()
Шаг 4. Если выполняется условие
kUk Uk−
χχεχ
−≤ , (2.88)
1111
то перейти к шагу 5. В случае нарушения этого условия перейти к
шагу 7.
Шаг 5. Найти нижнюю границу, решая задачу (2.74). Здесь мы
полагаем
=
Шаг 6. Если выполняется условие
,
k
то значение
,( ) ,( )
Uk Lk
χ−χ≤εχ
1111
χ
найдено, останов.
1
()
, (2.89)
Шаг 7. Если выполняется условие
то значение
()
≤δ =
2
χ
найдено; останов.
1
(2.90)
k
k
Шаг 8. Если выполняется условие
k
()
()δ
≤=
1
k
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]