Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современные методы оптимизации сложных систем. Оптимизация технических систем в условиях неопределенности. Учебно-методическое пособие
.pdf
2. Уровень неопределенности на этапе функционирования.
Уровень неопределенности зависит от полноты и точности экспериментальных данных, доступных на этапе функционирования ТС,
т.е. зависит от системы сбора экспериментальной информации на
этапе функционирования ТС (наличия датчиков, их точности). Мы
уже указывали, что совокупность неопределенных параметров может
быть разбита на три группы (см. раздел 1.1.1).
3.
Возможность изменения управляющих переменных на этапе
функционирования.
При формулировании задачи оптимизации в условиях неопределенности будем рассматривать два случая: а) двухэтапная формулировка, в которой изменения управляющих переменных могут быть
использованы на этапе функционирования; б) одноэтапная формулировка, в которой изменения управляющих переменных не могут быть
использованы на этапе функционирования. В первом случае задача
оптимизации в условиях неопределенности будет называться двухэтапной задачей оптимизации (ДЭЗО), во втором – одноэтапной задачей оптимизации (ОЭЗО).
4.
Тип ограничений.
Ограничения могут быть жесткими или мягкими. Ограничения
(1.10)
называются жесткими, если они должны безусловно выполняться на этапе функционирования ТС при любых значениях θ. Нарушение этих условий может привести к аварии, нанести вред окружающей среде и т.д. Мягкие ограничения могут выполняться только
с некоторой заданной вероятностью или в среднем.
Будем называть ТС гибкой и соответствующую конструкцию допустимой, если на этапе функционирования мы можем удовлетворить все ограничения (жесткие и мягкие) при условии, что неопределенные параметры могут принимать любые значения из области неопределенности. В отдельных случаях мы будем давать более детализированное определение гибкости. По определению область гиб-
кости ТС состоит из точек области неопределенности, в которых
можно найти такие значения управляющих переменных, что все ограничения (1.10) будут выполняться. При формулировании задачи
оптимизации в условиях неопределенности необходимо сформулировать целевую функцию и ограничения. В качестве целевой функции будем использовать некоторую оценку будущей работы ТС, а в
качестве ограничений – условия, гарантирующие гибкость ТС на этапе функционирования.
21
Можно выделить следующие три этапа оптимального проектирова-
T
[(,,θ)0],
(1,..., )
J
jJgdz jJ
)0.
max ( , ,θ)0.
ния ТС в условиях неопределенности:
–
формулирование задачи оптимизации в условиях неопределен-
ности;
–
решение сформулированной задачи;
– анализ реализуемости полученного решения.
1.2. Одноэтапная задача оптимизации
Характерным
свойством одноэтапной задачи оптимизации является
постоянство управляющих переменных на этапе функционирования
ТС (или их отсутствие). Эта ситуация возникает в случаях, если
–
ТС имеет только конструктивные переменные;
– при оптимизации существующих ТС невозможно уточнять не-
определенные параметры;
–
в ТС имеются конструктивные и управляющие переменные, однако на этапе функционирования ТС недостаточно экспериментальных данных для уточнения неопределенных параметров θ.
1.2.1. Жесткие ограничения
Введем
обозначение ν = (d,z). В частности ν может быть либо век-
тором d, либо вектором z. Рассмотрим некоторый момент времени на
этапе функционирования ТС. Так как ограничения являются жесткими, то, чтобы гарантировать гибкость ТС, мы должны найти единственное значение вектора v, которое обеспечивает выполнение всех
ограничений (1.10) для всех возможных значений θ
∈ . Следова-
тельно, условие гибкости будет иметь вид
где
θ
Tj Jgdz∀∈∀∈ ≤
. Преобразуем это логическое условие в аналитиче-
m=
j
(1.34)
ское. В соответствие с соотношением эквивалентности (П.7) мы можем заменить условие
∀∈ ≤ ∈
[(,,θ)0,
j
в выражении (1.34)
следующим неравенством
Тогда условие (1.34) примет вид
22
max ( , ,θ
gdz∈≤
j
jJ
θ
Tgdz
∀∈ ≤
jJ
∈
j
Опять используя соотношение эквивалентности (П.7) мы можем пре-
)0.
)0.
) 0 , 1,..., .
gdz j m
)}
)0, 1,...,.
g
max ( , , ) 0, 1,..., ,
g
i
i
образовать это соотношение к виду
max max ( , ,θ
TjJ
θ
∈∈
gdz
j
≤
(1.35)
Так как операторы максимизации являются перестановочными
(
см. равенство (П.1)), то мы можем переписать это неравенство в виде
max max ( , ,θ
∈θ∈
jJ T
gdz
j
≤
Опять, используя соотношение эквивалентности (П.7), можно заменить это неравенство следующими m неравенствами:
max ( , ,θ
j
2
θ∈
T
Поскольку математическое ожидание
≤=
{(,,θ
Efdz
θ
(1.36)
дает среднее зна-
чение первоначальной целевой функции на этапе функционирования
ТС, то естественно использовать эту величину как целевую функцию
задачи оптимизации в условиях неопределенности. Объединяя эту
целевую функцию и условия гибкости (1.36), можно сформулировать
одноэтапную задачу оптимизации с жесткими ограничениями в условиях неопределенности
min { ( , ,θ)},
Efdz
θ
v
max ( , ,θ
θ
dz j m
j
∈
T
≤=
(1.37)
Если функции распределения вероятностей для θ неизвестны, то
можно использовать одну из следующих двух формулировок. В первом случае можно решать следующую задачу:
FFdz
=
T
θ
∈
где
Здесь w
– весовой коэффициент;
i
точки, выбранные заранее; I
min , ,
()
v
dz j m
j
,,,θ
Fdz wfdz
()
≤=
θ
=
∑
iI
– множество индексов аппроксимаци-
i
()
i
∈
1
(
θ
.
Ii∈
) – аппроксимационные
1
23
онных точек. Во втором случае используется стратегия наихудшего
Fdz fdz
,,θ0.
⎡
⎣
[(,,θ)0]
0
0
min max max , ,θ.
min , ,
Fdz
случая, где
,max,,θ
=
() ( )
θ
T
∈
.
Задача (1.37) имеет решение, если
⎤
θ
vTjJgdz
∃∀∈ ∀∈ ≤
Мы показали, что выражение
()
j
θ
Tj Jgdz∀∈∀∈ ≤
(1.38)
⎦
j
эквива-
лентно (1.35). Поэтому (1.38) может быть записано в виде
max max , ,θ
vgdz
∃≤
θ
∈∈
TjJ
()
j
.
Использовав (П.8), мы можем преобразовать это неравенство к виду
χ
()
0
d ≤
,
где
χ
=
0
v
∈∈
θ
TjJ
gdz
()
j
(1.39)
Это условие гибкости, так как оно гарантирует возможность удовлетворения всех ограничений (1.10) для всех значений θ из T.
1.2.2. Мягкие ограничения
формулировании одноэтапной задачи оптимизации с мягки-
При
ми ограничениями рассмотрим два случая, в которых будут использоваться либо вероятностные ограничения, либо усредненные ограничения
Вероятностные ограничения. Рассмотрим случай, когда вероятность удовлетворения любого ограничения (1.10) должна быть
больше некоторой заданной величины [5–7]. Предположим, что мы
имеем полную информацию относительно функции распределения
вероятностей для θ. В этом случае одноэтапная задача оптимизации
имеет вид
24
()
,
dz
(1.40)
{
}
0(
,1,,,
gdz d j m
{
}
:,,θ0,
,
gdz T
(θ)
fdz
fdz
{
}
,
Fdz fdz
)0,
0, 1,...,
gdz j m
u
fdz
j
0
Pr , ,θ
()
jj
≤=ρ ≥α =
θ)θ
∫
Ω
j
…
(1.41)
где
вероятности. В качестве
значение первоначальной целевой функции
ционирования ТС, либо наихудшее значение первоначальной целе-
вой функции
случае
во втором случае
Главная трудность решения задачи (1.40) состоит в необходимости
вычисления многомерных интегралов (1.43), (1.41). Рассмотрим теперь другую формулировку, в которой мы будем использовать другую целевую функцию. Перепишем задачу (1.9) в виде
– некоторая целевая функция; ρ
),( zdF
()
θ
Ω= ≤ ∈
jj
,,θ
Fdz E f dz= (1.43)
() ( )
()
()
zdF ,
можем использовать либо среднее
(стратегия наихудшего случая). В первом
,,,θ
,max,,θ
() ( )
fdz u−≤
=
min
(,,θ
θ
θ
T
∈
u
uzd ,,
θ
,
(1.45)
(1.42)
– функция плотности
,,θ
()
. (1.44)
на этапе функ-
Здесь
()
творяться с вероятностью не меньшей, чем
жесткого удовлетворения ограничения (1.45), тогда получим задачу,
соответствующую стратегии наихудшего случая. Предположим, что
мы требуем удовлетворения ограничения (1.45) с вероятностью не
меньшей, чем
ниями будет иметь вид
– новая переменная, ограничивающая целевую функцию
,,θ
. Как и прежде каждое ограничение (1.46) должно удовле-
. В этом случае задача с вероятностными ограниче-
α
,,θ
()
j
≤=
. (1.46)
α
. Если мы потребуем
25
min ,
0
,1,,.
gdz j m
fdz
fdz
0
z
0
0, 1,..., .
gdz j m
12
)
11
T
22
T
T
T
1
2
u
,,
dzu
Пусть [
Pr{ ( , ,θ)0}α ,
fdz u
Pr , ,θ
{}
jj
*
*
u
*
d
z
,
,
−≤ ≥
()
≤≥ =…
0
α
] – решение этой задачи. Сравним эту задачу с
(1.47)
задачей (1.40). Если в последней задаче мы используем целевую
функцию (1.43), тогда мы ищем режим, для которого средняя вели-
чина функции
,,θ
()
(по θ) минимальна. Если в задаче (1.40) мы
используем целевую функцию (1.44), то мы минимизируем наихудшее значение целевой функции
*
ищем наименьшее значение
(1.45)
удовлетворялось бы с заданной вероятностью
u
переменной u, для которой условие
зом, задача (1.47) позволяет найти конструкцию
,,θ
()
, (по θ). В задаче (1.47)
d
α . Таким обра-
*
и режим
*
, ко-
торые гарантируют, что в течение всего этапе функционирования
целевая функция
**
,,θfd z
()
будет меньше, чем
*
u
с вероятностью
α . Используя ту же целевую функцию, мы можем свести задачу с
жесткими ограничениями к следующей задаче с жесткими и мягкими
ограничениями:
min ,
u
,,
dzu
Pr{ ( , ,θ)0}α ,
fdz u
max , ,θ
j
T
∈
θ
Теперь рассмотрим формулировку одноэтапной задачи оптимизации с мягкими ограничениями, когда имеется неполная информация
относительно функций распределения вероятностей. Рассмотрим два
случая, которые часто встречаются на практике.
Случай 1. Пусть
θ
∈
функции распределения вероятностей известны, в то время
как для совокупности параметров
вероятностей неизвестны, где
θ
параметров
26
θ
и
соответственно. Этот случай часто встречается
−≤ ≥
()
θ(θ,θ
≤=
=
. Для совокупности параметров
θ
1
2
и
0
∈
(1.48)
функции распределения
– области неопределенности
на практике. Функции распределения вероятностей могут быть неиз-
)0]α, 1,..., ,
gdz j m
12 1 1
21 12 11
,θ)0}
,
:(,,θ,θ)0,θ}.
gdz T
)
,).
a
)0]α, 1,..., ,
g
)0]ρ(θ,)
gdz ad
вестны по следующим причинам: a) оценка параметров функций
распределения вероятностей может требовать большого количества
экспериментальных данных, которые могут быть недоступны на этапе функционирования ТС; б) если неопределенные параметры не изменяются, то они не могут рассматриваться как случайные на этапе
функционирования ТС. В этом случае одноэтапная задача оптимизации имеет вид
min max { ( , ,θ ,θ )},
,
dz
min Pr [ ( , ,
22
∈
θ
2
θ
θ
T
Efdz
1
θ
1
jj
12
θ,θ
≤≥ =
12
где
Pr { ( , ,θ
gdz d
1
j
θ
≤=
(){θ
Ωθ = ≤ ∈
jj
Ω
j
∫
(θ )
ρ(θ)θ
2
Случай 2. В стохастическом программировании обычно предполагают, что функции распределения вероятностей известны. Часто это
предположение не выполняется. Действительно, функции распределения вероятностей
a:
ρρ(θ
=
Например, одномерное нормальное распределение зависит
обычно зависят от некоторых параметров
ρ(θ
от среднего значения и стандартного отклонения. При определении этих
параметров с помощью экспериментальных данных одновременно определяют доверительную область A параметров a:
Aa∈
. В связи с этим
дадим формулировку одноэтапной задачи с вероятностными ограничениями, используя стратегии наихудшего случая
min max { ( , ,θ)},
,
dz
min Pr[ ( , ,
a
Efdz
θ
a
θ
dz j m≤≥ =
jj
где
Pr[ ( , ,θ
j
≤=
∫
Ω
j
θ
.
Здесь
определяется по формуле (1.42).
Ω
j
27
Усредненные ограничения. Одноэтапная задача в этом случае
)} 0, 1,..., .
Egdz j m
)] 0.
ϕ
), ,θ)0, 1,...,,
,
), ,θ)} 0, 1,..., .
dx z i p T
ϕ
)} max( ( , ,θ)),
имеет вид
min { ( , ,θ)},
Efdz
θ
dz
,
{(,,θ
j
θ
≤=
(1.49)
Рассмотрим случай, когда ограничения равенства (1.6) явно входят в формулировку задачи. В этом случае уравнения состояния (1.6)
должны быть включены непосредственно в задачу, а переменные состояния x включаются в число поисковых переменных. Прежде, чем
давать формулировку задачи в данном случае необходимо сделать
два замечания а) в отличие от поисковых переменных d, z переменные состояния x зависят от θ, б) нельзя по аналогии с ограничениями
неравенствами использовать условие
[(,,,θ
Edxz
θ
i
= (1.50)
Это связано с тем обстоятельством, что уравнения состояния (1.6)
являются уравнениями материального и теплового баланса, которые
должны выполняться точно для каждого θ. В то же время условие
(1.50)
предполагает выполнение уравнения состояния (1.6) только в
«среднем». В связи со сказанным одноэтапная задача в этом случае
будет иметь вид
min { ( , (θ), ,θ)},
Efdx z
θ
,,()
dzx
θ
(,(
θ
i
{(,(θ
Egdx z j m
j
θ
== ∀∈
≤=
θ
Сравним результаты решения одноэтапных задач оптимизации (1.37)
и (1.49) с жесткими и усредненными и мягкими ограничениями. Так
как существует неравенство
{(,,θ
Egdz gdz
θ
jj
≤
∈
θ
T
(1.51)
то в соответствие с теоремой П.2 оптимальное значение целевой
функции одноэтапной задачи оптимизации (1.49) с усредненными
мягкими ограничениями лучше (меньше), чем оптимальное значение
целевой функции одноэтапной задачи оптимизации (1.37) с жесткими ограничениями.
28
1.2.3. Реализация результатов решения
одноэтапной задачи
Предположим
∗
ние [d
, z∗]. Чтобы реализовать это решение мы должны поддержи-
вать z = z
∗
на этапе функционирования ТС. Это означает, что мы не
мы решили одноэтапную задачу и получили реше-
можем настраивать управляющие переменные на этапе функционирования. Ясно, что использование ОЭЗО на этапе проектирования
приводит к неэкономичной конструкции ТС, так как не используется
настройка управляющих переменных. С другой стороны, ОЭЗО соответствует задаче оптимизации существующего ТС для случая, когда на этапе функционирования неизвестны значения некоторых параметров математической модели и, следовательно, невозможна подстройка управляющих переменных.
1.3. Двухэтапная задача оптимизации
1.3.1. Характеристика задачи
формулировки задач оптимизации в условиях неопределенно-
Все
сти будут учитывать возможность изменения управляющих переменных на этапе функционирования ТС. В этом состоит принципиальная разница между двухэтапной и одноэтапной задачами оптимизации. В последней задаче [см. (1.37) и (1.40)] переменные d и z равноправны в том смысле, что они постоянны на этапе функционирования ТС. Однако в двухэтапной задаче оптимизации роли этих переменных различны. Так, переменные d, по-прежнему, постоянны на
этапе функционирования ТС, в то время как переменные z могут изменяться. В частности это свойство позволяет настраивать управляющие переменные для удовлетворения ограничений (1.10).
При формулировке ДЭЗО будем использовать следующее пред-
положение:
На этапе функционирования ТС в каждый момент времени
–
выполняется уточнение всех или части неопределенных пара-
метров на основе доступной экспериментальной информации;
–
решается задача оптимизация ТС с использованием математической модели с уточненными неопределенными параметрами. Будем
называть эту задачу внутренней задачей оптимизации.
Введем понятие области гибкости ТС. Она состоит из точек области
неопределенности, в которых можно найти такие значения управляющих
переменных, при которых все ограничения (1.10) будут выполняться.
29
1.3.2. Жесткие ограничения
1
[(,,θ)0]
)0]
)0.
max ( , ,θ)0.
)0
)0.
Предполагаем
, что все ограничения (1.10) являются жесткими и
область гибкости ТС должна совпадать со всей областью неопределенности Т. Рассмотрим двухэтапные формулировки задач оптимизации ТС в условиях неопределенности для разных уровней полноты
и точности экспериментальной информации, доступной на этапе
функционирования ТС. Во всех случаях мы будем использовать
ожидаемые значения первоначальной целевой функции f(d,z,θ) в качестве целевых функций этих задач и условия гибкости как ограничения. Рассмотрим четыре случая. Двухэтапная задача оптимизации,
соответствующая i-му случаю будет обозначаться ДЭЗОi.
Случай 1. На этапе функционирования ТС известны точные зна-
чения всех неопределенных параметров
Предполагаем, что в каждый момент времени на этапе функционирования ТС точные значения неопределенных параметров либо
могут быть точно измерены, либо оценены с использованием доступной экспериментальной информации. Ясно, что все параметры θ
принадлежат первой группе
θ . Рассмотрим в начале условие гибко-
сти. В данном случае оно формулируется следующим образом: ТС
является гибкой, если для каждого
θ∈
T можно найти такие значе-
ния управляющих переменных, что все ограничения (1.10) будут
удовлетворены. Логическое представление этого условия имеет сле-
дующий вид:
θ
Tz jJgdz∀∈ ∃ ∀∈ ≤
В соответствии с (П.7) условие
следующему неравенству:
max ( , ,θ
jJ
∈
Тогда условие (1.52) примет вид
θ
Tz gdz
∀∈ ∃ ≤
В соответствии с (П.8) условие
следующему условию
30
min max ( , ,θ
z
j
[(,,θ
jJgdz∀∈ ≤
gdz
j
j
jJ
∈
zgdz
∃≤
gdz ≤
j
j
≤
max ( , ,θ
jJ
∈
. (1.52)
j
(1.53)
j
эквивалентно
эквивалентно
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]