Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современные методы оптимизации сложных систем. Оптимизация технических систем в условиях неопределенности. Учебно-методическое пособие
.pdf
задачи (П.16) значение критерия меньше или равно, чем значение
.
ff
.
ff
min ,
xy
,( )
x
n
nnR
xy
nmn
min ( ),
fx
xiI
ϕ
A
iI
()0, ,
i
xiI
()< 0, /.
i
xiII
x
() 0, .
i
xiI
критерия в любой допустимой точке, то имеем
(П.18)
≤
Из (П.17) и (П.18) имеем
=
Отметим значение этой теоремы. Задача (П.15) не является
стандартной задачей оптимизации. При прямом решении этой задачи
в каждой поисковой точке x для вычисления левых частей
ограничений необходимо решить следующие задачи оптимизации
∈
yY
ϕ
i
.
()
Рассмотренная теорема позволяет свести задачу (П.15) к стандартной
задаче нелинейног программирования за счет увеличения числа
поисковых переменных: задача (П.15) имеет
поисковых переменных, а задача (П.16) –
менных.
Теорема П.7. Пусть x
*
есть локальное решение задачи
x
() 0
≤∈
i
(П.19)
Пусть ограничения (П.20) с номерами
+ поисковых пере-
. (П.20)
∈ являются активными в
∈
xx
точке решения, т.е. следующие условия выполняются
∗
Тогда
ϕ= ∈
∗
ϕ∈
∗
есть решение следующей задачи
(П.21)
A
(П.22)
A
Доказательство. Поскольку x
П.21) и (П.22) выполняются, то существует некоторая окрестность C,
(
включающая x
*
, в которой выполняются следующие условия
min ( ),
fx
x
ϕ= ∈
*
есть решение задачи (П.19) и условия
A
(П.23)
121
() (), ,
fx fx x C
∗
() 0, ,
() 0, \ .
i
xiII
ϕ
() 0, ,
() 0, / ,
i
xiII
AA
II
[, ]
xf
( ) 0, 1,..., ,..., ,
xi km
()0.
ϕ
f
( ) 0, 1,...,( 1),( 1), ..., .
xi kk m
≤∈
xiI
=∈
iA
ϕ< ∈
(П.24)
(П.25)
A
Однако условие (П.24) справедливо, когда x* есть локальный минимум задачи (П.23).
Аналогично можно показать, что x
*
есть решение следующей за-
дачи
min ( ),
fx
x
ϕ=∈
xiI
i
ϕ≤∈
(П.26)
A
A
где
⊂ .
Теорема П.8. Пусть
∗∗
есть изолированный локальное (гло-
бальное) решение задачи
min ( ),
fx
x
ϕ≤=
i
(П.27)
для которого k-е ограничение является активным
∗
x
k
≤
Тогда оптимальное значение целевой функции задачи (П.27) в отсутствие k-го ограничения будет строго меньше чем
∗
(при наличии
некоторых условий, которые будут обсуждены ниже).
Доказательство. Рассмотрим задачу (П.27), в которой k-е ограни-
чение удалено
min ( ),
fx
Предположим, что минимум задачи (П.28) не совпадает с мини-
мумом задачи (П.27). Тогда существует окрестность S точки x
x
ϕ≤= − +
i
(П.28)
*
, в ко-
торой
122
() , ,
( ) 0, 1,..., ,... ,
xi km
.kff
max ( , ) 0, 1,..., .
gx j m
}
{
22
p
SiI
(0)
x
(0)
2
S
1
,0,1,,, ,
fx f x S
ϕ≤=
i
∗
≤∀∈
(П.29)
и, следовательно, можно найти локальный (глобальный) минимум
∗k
f задачи (П.28), в котором
∗∗
≤ (П.30)
Так как совпадение минимума задачи (П.27) с минимумом задачи
П.28) является исключительной ситуацией, то неравенство (П.30)
(
будет верно в большинстве случаев. Отсюда удаление некоторого
ограничения активного в точке решения задачи (П.27), вообще говоря, ведет к улучшению оптимального значения целевой функции ( по
крайней мере в локальном смысле).
Приложение 2. Алгоритм внешней
аппроксимации
Рассмотрим
задачу
min ( ),
ffx
=≤
xX
∈
θ≤ =
j
T
θ∈
(П.31)
Это задача полубесконечного программирования используется во
многих алгоритмах теории гибкости. Для решения этой задачи используется алгоритм внешней аппроксимации [18]. Этот метод ис-
ip
:
пользует множество критических точек
=θ ∈
для конст-
руирования некоторой (p – номер итерации) аппроксимации ограни-
чений задачи (П.55).
Алгоритм
Шаг 1.
ное множество
Положить p = 1. Задать начальные значения
.
и началь-
Шаг 2. Решить задачу
p
()
min ,
ffx
=
gd j m S
θ≤ = θ∈
()
j
()
x
ii
…
(П.32)
−
p
()
2
123
где множество
(1)
()
p
x
1,...,
jm
max ( , ).
,( )
1,...,
jm
,0
p
R
,( )
{: , 0},1,,
Rgx jm
.
p
SSR
1
pp
max ( , ) 0, 1,..., .
gx j m
pS−
получено на предыдущей (p – 1) итерации.
2
Пусть
Шаг 3. Для
Пусть
Шаг 4. Если выполняется условие для всех
есть решение этой задачи.
=
jp
есть решение j-й задачи.
θ
решить задачу
T
gx θ≤, (П.34)
()
j
()
p
gxθ∈θ (П.33)
j
() ,()
pjp
=
то решение найдено. Останов.
Шаг 5. Создать множество
jp
θ
, в которых условие (П.34) нарушается
() ,() () ,()
pjp pjp
=θ θ > = …
()
j
()
, которое содержит все точки
.
Шаг 6. Создать новое множество критических точек
1
Шаг 7. Положить
+
( ) () ()
22
=+ и перейти к шагу 2.
pp
=∪
Покажем, что алгоритм (если он сходится) дает решение задачи
П.31) . Прежде всего, ясно, что на основании теоремы П.5 решение
(
задачи (П.32) дает нижнюю оценку оптимального значения целевой
функции задачи (П.31)
()
Предположим алгоритм П.1 нашел решение x
p
ff
≤ .
*
. В точке x* выполня-
ются следующие неравенства.
∗
θ∈
T
Это означает, что точка x
П.31) и следующее неравенство:
(
*
р
– номер последней итерации алгоритма П.1) выполняется.
(
θ≤ = .
j
*
принадлежит допустимой области задачи
*
()
p
.
ff
≤
124
Покажем, что x
,( )
2
k
S
min ( ),
ffd
( , , ) 0, 1,..., , 1,..., .
gdz j m i N
[,, ]
dz f
( , , ) 0, 1,..., ,.
,
ll
dz
, 1,..., .
ffl N
тивное. Это значит, что мы нашли точку x
*
есть решение задачи (П.31). Предположим про-
*
в допустимой области, в
которой целевая функция задачи (П.31) принимает значение меньшее, чем ⎯f. Однако это противоречит тому факту, что ⎯f есть минимум целевой функции задачи (П.31). Следовательно, x
*
есть минимум
задачи (П.31).
Итак, алгоритм П.1 включает два главных шага. Первый шаг рассчитывает нижнюю оценку целевой функции задачи (П.31) с помощью решения задачи (П.32). Второй шаг определяет, является ли решение x
(р)
задачи (П.32) решением задачи (П.31). Здесь алгоритм П.1
решает задачу (П.33) m раз. Если условие (П.34) выполняется, то решение алгоритма П.1 найдено. В противном случае точки
θ
jp
, в
которых неравенства (П.34) нарушаются, добавляются к множеству
()
критических точек
.
Одноэтапная задача оптимизации (ОЭЗО) с жесткими ограничениями [см. (1.37)] имеет вид (П.31), поэтому для ее решения можно
использовать алгоритм внешней аппроксимации.
Приложение 3. Решение специальной
многопериодной задачи
Рассмотрим
многопериодную задачу следующего вида:
Обозначим через
j
ii
θ≤ = = (П.36)
i
∗∗∗
дующих вспомогательных задач:
l
min ( ),
ffd
=
i
,
Обозначим через
П.1), получаем
(
dz
gdz j m
ll
j
θ≤ =
решение этой задачи. Используя теорему
*
≥=
Отсюда получаем
*
= (П.35)
i
,
dz
решение этой задачи. Введем N сле-
(П.37)
l
125
,
ff
max( ,..., )
N
fff
f
l
f
argmax
l
lf
l
dd
d
**
l
z
l
z
( , , ) 0, 1,..., , 1,...,
gdz j m l N
**
l
z
1** **
( , ,..., )
()
ffd
ff
dd
где
∗
≥
(П.38)
= . (П.39)
1
l
Таким образом,
целевой функции задачи (П.35). Пусть
которой соответствует наибольшее значение
Таким образом,
Теорема П.9. Значение
(
П.35), если для каждого l можно найти такие значения
ных
, что все ограничения (П.36) в задаче (П.35) удовлетворяются,
есть нижняя граница оптимального значения
l
есть номер задачи (П.37),
, т.е.
.
=
= .
переменной d есть решение задачи
перемен-
l
т.е. удовлетворяются условия
**
ll
j
θ≤ = = .
Доказательство. Предположим мы нашли такие значения
Отсюда точка
dz z
N
является допустимой для задачи (П.35)
Поскольку целевая функция в задаче (П.35) не зависит от переменных z, то значение целевой функции в этой точке равно
=
Так как оптимальное значение целевой функции не может быть
меньше, чем
f
, то
*
=
и
∗
= .
.
.
126
ОСТРОВСКИЙ Геннадий Маркович
СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ СЛОЖНЫХ
СИСТЕМ
Оптимизация технических систем в условиях неопределенности
Учебно-методическое пособие
Редактор Г.Б. Преображенская
Компьютерная верстка М.А. Шамариной
Подписано в печать 30.01.07 Бумага офсетная
Формат 60 × 90 1/
Рег. № 856 Тираж 120 экз. Заказ 1251
Московский государственный институт стали и сплавов,
119049, Москва, Ленинский пр-т, 4
Издательство «Учеба» МИСиС,
117419, Москва, ул. Орджоникидзе, 8/9
Тел.: 954-73-94, 954-19-22
Отпечатано в типографии издательства «Учеба» МИСиС,
117419, Москва, ул. Орджоникидзе, 8/9
16
Печать офсетная Уч.-изд. л. 7,94
127
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]