Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современные методы оптимизации сложных систем. Оптимизация технических систем в условиях неопределенности. Учебно-методическое пособие
.pdf
зуем ДЭЗО1 для решения задачи с жесткими и мягкими ограниче-
min( ( ) ( ) min ( ),
fIdIdId
() .
ρ
ниями. Это означает, что задача (1.61) будет решаться в каждой точке области T. Отсюда следует, что все ограничения (1.10) будут
удовлетворяться в каждой точке области T. Это означает, что все ограничения (1.10) будут удовлетворяться с вероятностью α
= 1. Сле-
j
довательно, использование ДЭЗО1 даст недостаточно экономичную
конструкции ТС, так как мягкие ограничения могут удовлетворяться
с вероятностью α
< 1.
j
В этом разделе мы дадим строгую формулировку двухэтапной задачи оптимизации в случае наличия жестких и мягких ограничений.
Будем предполагать, что функции распределения вероятностей известны. В большинстве случаев в качестве целевой функции этой
задачи будем использовать среднее (ожидаемое) значение некоторой
меры, характеризующей работу ТС на этапе функционирования. Однако мы не можем использовать целевую функцию (1.62), которая
использовалась в ДЭЗО1, так как использование этой целевой функции эквивалентно требованию жесткого удовлетворения всех ограничений.
Формулировки задачи оптимизации в случае наличия жестких и
мягких ограничений будут учитывать:
–
удовлетворение ограничений либо с некоторой вероятностью,
либо их усредненных (ожидаемых) значений;
наличие или отсутствие жестких ограничений;
–
–
различные уровни точности неопределенных параметров.
1.4.2. Полная информация относительно
неопределенных параметров на этапе
функционирования
Будем полагать, что на этапе функционирования ТС можно опре-
делить точные значения неопределенных параметров.
Мягкие ограничения. Сначала рассмотрим случай, когда все ограничения (1.10) являются мягкими и должны быть удовлетворены с
вероятностью α. В данном случае двухэтапная задача имеет следующий вид:
=+= (1.111)
111 1
(1) ( 2)
dd
∫
Ω
1
d
θθ≥α
(1.112)
51
Здесь
() (,)() ,
Id fd d
ρ
() min (,,)() ,
Id fdz d
ρ
{:(,) 0},
(,)
(,)
hd
(,)
hd
[,()]
,0
max min max , , 0
() 0
T
() 0
()
Id
min ( , ( ), ) ( ) ,
fdz d
где
\ ΩT – теоретико-множественная разность;
1
ние задачи (1.61) и
стоты опустим верхний индекс у
(1) *
=θ
1
1
(2)
∫
Ω
1
=θ
∫
zZ
∈
\
Ω
T
1
1
hdΩ=θ θ≤
θθ
θ определяется формулой (1.57). Для про-
(1)
θ . Пусть
θθ
(1.113)
*
fdθ
есть реше-
11
dzθ есть ре-
шение этой задачи.
Заметим, что в противоположность ДЭЗО1 задача (1.61) решается
только в точках области
полняется условие
hdθ≤ [условие (1.113)], то задача (1.61) име-
()
ет решение в каждой точке области
Ω можно найти такие значения z(θ), что все ограничения (1.10) бу-
1
. Так как в каждой точке области
Ω
1
Ω и в каждой точке области
1
Ω
вы-
1
дут выполняться. В соответствие с условием (1.112) вероятность попадания θ в область
Ω больше или равна α. Отсюда, все ограниче-
1
ния (1.10) будут выполняться с вероятностью α. Ясно, что в области
выполняется условие
Ω
1
θ∈Ω
Необходимо заметить, что в случае существования такого вектора d,
что
χ
2
Id=
1
1
, то, если α → 1, то
d ≤
, задача ((1.111) преобразуется в двухэтапную задачу опти-
мизации с жесткими ограничениями (ДЭЗО1).
Используя тот же подход, который мы использовали для сведения
(1.62)
1
52
к (1.65), можно показать, что вычисление интеграла
(1)
сводится к решению задачи
z
1
()
θ
gdz
()
z
∫
Ω
1
j
∈
jJ
Ω→
θθρθθ
1
.
θ≤
и в пределе при α = 1,
1
( , ( ), ) 0, 1,..., , ,
min ( , ( ), ) ( ) .
fdz d
() () min{ (,(),)() (,(),) 0,
ρ
1,..., , min ( , ( ), ) ( ) .
jm fdz d
()
z
1
(,(),)() (,(),)()
fdz d fdz d
(,(),)() .
fdz d
min ( , ( ), ) ( ) ,
fdz d
1
( , ( ), ) 0, 1,..., , .
min ( , ( ), ) ( ) ,
fdz d
1
( , ( ), ) 0, 1,..., , ,
() .
ρ
gdz j mθθ≤ = ∀θ∈Ω
j
а вычисление интеграла
)1(
)(
dI
сводится к решению задачи
1
(1.114)
z
()
θ
∫
/
Ω
T
1
θθρθθ
Отсюда мы имеем
(1) ( 2)
IdId fdz dgdz
Поскольку управляющие переменные
+= θθ
11
=∀θ∈Ω+ θθρθθ
()
z
∫
θ
Ω
1
}
1
()
z
θθ θθ≤
∫
θ
/
Ω
T
1
θ
j
∀θ∈Ω
(1.115)
не влияют на це-
левую функцию второй минимизационной задачи в правой части равенства (1.115), то мы можем объединить целевые функции обеих
задач
∫∫
ΩΩ
11
Отсюда вычисление суммы
θθρθθ+ θθρθθ
/
T
)1(
1
)2(
dIdI +
1
=
∫
T
сводится к решению
)()(
θθρθθ
следующей задачи:
z
()
θ
∫
T
θθρθθ
gdz j mθθ≤ = ∀θ∈Ω
j
Подставляя это выражение в (1.111), получим другую формулировку
задачи оптимизации в случае наличия мягких ограничений:
gdz j mθθ≤ = ∀θ∈Ω
j
,()
dz
∫
θ
T
Ω
θθ≥α
∫
1
θθρθθ
d
(1.116)
(1.118)
(1.117)
53
Легко показать, что условие (1.117) эквивалентно условию (1.113).
1
{ : ( , ( ), ) 0, 1,..., }.
gdz j m
()
()
{:( ,) 0}
*
1
*
1
*
1
*
1
min ( , , )
fd z
(,)0
*
1
(,)
(,)0
Поэтому можем определить область
следующим образом:
Ω
Ω=θ θθ≤ =
1
j
Теперь рассмотрим проблему реализации найденного оптимального режима на этапе функционирования. Напомним, что в случае
задачи с жесткими ограничениями мы должны решать задачу (1.61)
для каждого значения θ. К сожалению, мы не можем использовать
этот подход в данном случае, поскольку при такой политике все ограничения (1.10) будут выполняться для всех значений θ и, следовательно, мы получим менее экономичный режим, чем режим, получаемый решением задачи (1.111). Конечно, теоретически можно
предположить, что оптимальный вектор
z∗θ , полученный решени-
ем задачи (1.111), запоминается и используется на этапе функционирования. Однако это может потребовать огромных объемов памяти.
С другой стороны, можно определять значения
(1.111)
для каждого θ. Это также может потребовать огромных вы-
, решая задачу
z∗θ
числительных затрат. Для реализации найденного оптимального режима можно использовать следующий подход. Согласно задаче
(1.111)
*1
1
следующее правило. Запомним уравнение поверхности области
задача (1.61) должна решаться только внутри области
hdΩ=θ θ≤
*
Ω (см. (1.113)). Поэтому, можно использовать
1
Ω .
Если на этапе функционирования измеренное значение θ будет нахо-
Ω
диться внутри
θ∈Ω
(
), то мы должны решать задачу (1.61), в
противном случае (
В этом случае мы должны запоминать только одну многомерную
функцию. Это может потребовать также огромных объемов памяти.
Поэтому более практичный путь состоит в следующем. Заметим, что
условие
1
hd θ≤ выполняется во всех точках
этому в каждой точке θ мы должны вычислить
(1.56).
Если
1
hd θ≤ , то мы должны решать (1.61), в противном
случае мы должны решать (1.119).
54
θ∉Ω
) мы должны будем решать задачу
1
zZ
∈
θ . (1.119)
Ω (см.(1.113)). По-
1
hd θ , решая задачу
Недостаток описанного подхода состоит в том, что ограничения
*
1
*
1
(,,,) (,,) ( (,,)),
γ
0
0.
((,,))
(,,) min (,,,)
γ
,,
γ
(,,)
γ
,
d
γ
(,,)
γ
min { ( , , )},
γ
() ,
ρ
{: (,(,,),) 0}
(1.10)
строго выполняются только для
(1.10)
не должны выполняться. Поэтому можно получить решение
θ∈Ω
; а вне
ограничения
Ω
задачи (1. 111), которому будет соответствовать большие нарушения
ограничения (1.10). Более того, задача (1. 111) может вообще не
иметь решение. Поэтому было бы лучше, если бы нарушение этих
ограничений было распределено «равномерно» по всей области T. В
связи с этим дадим другую формулировку задачи оптимизации с
мягкими ограничениями. Введем следующую штрафную функцию:
m
fdz fdz pg dz
θγ=θ+
∑
j
1
=
θ
j
где
Здесь
0, если
⎧
⎪
()
pg
=
⎨
j
pg dzθ – штрафной член; γ − штрафной коэффициент.
j
2
pg
⎪
jj
⎩
если
g
≤
j
>
Будем использовать следующую внутреннюю задачу оптимизации:
*
fd fdzθγ=θ
z
. (1.120)
Ясно, что оптимальное значение критерия этой задачи зависит от
d θ
. Пусть
zdθ
есть решение этой задачи. Переменные
должны быть выбраны таким образом, чтобы ограничения (1.10)
удовлетворялись с вероятностью α и среднее значение величи-
*
ны
fdθ
принимало минимальное значение. Поэтому двухста-
дийная задача оптимизации будет иметь вид
fEfd
=θ
γ
d
,
∫
Ω
2
*
θ
d
θθ≥α
(1.121)
(1.122)
где
2
gdzdΩ=θ θγθ≤
j
.
Сделаем некоторые замечания.
55
1. Неравенство (1.122) гарантирует удовлетворение ограничений
2
(,,)
γ
1
jJ
(1,...,)
jJ m m
2
jJ
min()()()
Id I d I d
(; ) 0
;)ρ(θ)θ,
Id f d J d
(, ) maxminmax (,,)
dJ g dz
χ
(,)
1
(,; )
fd J
1
;)min(,θ),
)0, .
gdz jJ
1
с вероятностью, не меньшей α.
(1.10)
2.
В определении области
Ω используются значения
zdθ
управляющих переменных, полученных решением внутренней задачу оптимизации задачи (1.120).
В задаче (1.121) штрафной коэффициент γ используется как до-
3.
полнительная поисковая переменная.
Жесткие и мягкие ограничения. Теперь рассмотрим случай, когда имеются жесткие и мягкие ограничения. Пусть ограничения
(1.10)
ниями, а с номерами
с номерами
должны удовлетворяться с вероятностью α. В этом случае
∈
∈ = (1,…,m
∈= +
21
) являются жесткими ограниче-
1
– мягкими. Ограничения
двухстадийная задача оптимизации будет иметь вид
d
=+, (1.123)
12
Pr[ ]θ∈Ω ≥α
dJχ≤ , (1.125)
11
, (1.124)
1
где
() (,θ)ρ(θ) θ,
Id f d d
1
() (,θ
21
и
определяется соотношением (1.113),
Ω
1
дачи (1.61) и
11
*
θ
*
fd J fd
j
Заметим, что задача (1.61) решается только для
(1.128)
в остающейся части области T. Ограничение (1.124) гаранти-
∗
=
∫
Ω
1
=
=θ
(,θ
(,,θ
∗
∫
Ω
\
T
1
z
TjJ
θ∈ ∈
1
≤∈
1
=
z
(1.126)
j
. (1.127)
*
fdθ
есть решение за-
(1.128)
θ∈Ω , а задача
рует удовлетворение всех ограничений (1.10) с вероятностью α.
56
Кроме того, дополнительное ограничение (1.125) гарантирует жест-
1
1,...,
jm
() 0
T
lim ( ) 0
1
1
\
1
jJ
2
jJ
1
\
21 2
()
()
d
()
d
1
Pr[ ] ,
2
Pr[ ] ,
() {:minmax (,,) 0, },
dgdzT
() {:minmax (,,) 0, }.
dgdzT
1
2
()
d
2
() {:minmax (,,) 0, },
dgdzT
кое удовлетворение ограничений (1.10) с номерами
=
для
всех точек области T. Ясно, что, если существует такое d, что
dχ≤ , то
1
lim
α 1
→
Ω=
1
. Также
α 1
Id→=
2
и задача (1.123) превра-
щается в ДЭЗО1с жесткими ограничениями (1.65). Заметим, что задача (1.61), для в которой все ограничения (1.10) должны удовлетворяться, решается только в области
решается задача (1.126), в которой требуется жесткое удовле-
T Ω
Ω , в то время как в области
творение только ограничений с номерами
больших нарушений ограничений с номерами
можно в данном случае сформулировать аналог задачи (1.121).
T Ω
. Чтобы избежать
∈
в области
∈
Две группы мягких ограничений. Рассмотрим случай, когда
имеются две группы мягких ограничений. Ограничения первой группы (j∈J
второй группы (j∉J
Ω
) должны удовлетворяться с вероятностью α1, а ограничения
1
) – с вероятностью
1
1
и
2
, удовлетворяющие условиям
Ω
θ∈Ω ≥α
θ∈Ω ≥α
1
2
αα>α. Введем области
(1.129)
(1.130)
где
1
Здесь
только ограничения первой и второй групп. Введем область
Ω=θ θ≤θ∈
2
Ω=θ θ≤θ∈ (1.131)
Ω
и
– области, в которых соответственно выполняются
Ω
z
jJ
∈
z
jJ
∉
j
1
j
1
Ω
следующим образом:
Pr[ ]θ∈Ω ≥α , (1.132)
где
Ω=θ θ≤θ∈
z
jJ
∈
j
57
Ω – область, в которой все ограничения (1.10) выполняются. Заме-
T
T
min ( ) min( ( ) ( ) ( )),
Id I d I d I d
1
2
Pr[ ] ,
,
fd
1
,;
fd J
(,,)
gdz
(1,...,)
jm
12
1
(,,)
gdz
1
(1,...,)
jm
1
T
() 0
()
Id
()
Id
()
Id
()
Id
12
тим, что
1
Ω⊆Ω ⊆
и
Ω⊆Ω ⊆
2
.
В данном случае двухстадийная задача оптимизации будет иметь вид
*
где
(1.128),
j
dd
() (,θ)ρ(θ) θ,
Id f d d
1
() (,
Id f d J d
21
() min (,,θ)ρ(θ) θ,
Id fdz d
3
и
θ
()
=++
=
∫
Ω
=
∫
1
ΩΩ
\
=
∫
Ω
T
\
*
θ
()
соответственно. Согласно условию (1.135) все ограничения
θ
= выполняются с вероятностью не меньшей α
123
∗
∗
θ;)ρ(θ) θ,
∈
zZ
1
Pr[ ]θ∈Ω ≥α
1
, (1.134)
(1.133)
θ∈Ω ≥α (1.135)
определяются решением задач (1.61) и
2
Отсюда и часть этих ограничений (ограничения из второй группы(j∉J
Кроме того, поскольку
полнение ограничений из первой группы (j∈J
меньшей α
)) также будет выполняться с вероятностью, не меньшей α2.
1
α>α, то условие (1.134) гарантирует вы-
) с вероятностью, не
1
.
1
Покажем, что при
α→ задача (1.133) сводится к задаче (1.123).
1
Действительно, видно, что условие (1.135) совпадает с условием
(1.124).
Удовлетворение всех ограничений первой группы (j∈J
роятностью α
= 1 означает, что ограничения
1
θ
j
=
) с ве-
1
должны быть удовлетворены во всех точках области T. Следовательно,
Ω будет совпадать с T. Поскольку
Id=
3
ми
1
и
и
и
1
в задаче (1.123) соответственно, так как (1.133) бу-
2
задачи (1.133) будут совпадать с величина-
2
1
Ω= , то величины
дет совпадать с (1.125). Аналогично можно показать, что при
α→α
αα
1
lim→Ω=Ω
12
и задача (1.133) сводится к задаче (1.111).
.
58
Усредненные мягкие ограничения. Рассмотрим случай, когда
{ ( , ( ), )} 0, 1,..., ,
Eg dz j m
(,()) {(,(),)}
)
z
,,
γ
,
d
γ
min { ( , , )},
γ
{(,(,,),)}0, 1,...,.
Egdzd j m
(,,)
γ
min min ( , , , ) ( ) ,
ffdzd
γρ
{(,(,,),)}0, 1,...,.
Egdzd j m
min ( , ( ), ) ( ) ,
ffdzd
ρ
требуется выполнение усредненных ограничений. Рассмотрим две
формулировки двухстадийной задачи оптимизации с усредненными
мягкими ограничениями. Первая формулировка имеет вид
*
min ( , ( )),
ffdz
=θ
11
,()
dz
j
fdz Efdzθ= θθ
1
переменные (θ
являются многомерными функциями [см. ((1.65)].
θ
θθ ≤ =
Рассмотрим теперь вторую формулировку. Аналогично тому, как
это делалось в случае жестких ограничений, сначала сформулируем
внутреннюю задачу оптимизации. Однако мы не можем использовать задачу (1.61) в качестве внутренней задачи оптимизации, так как
мы не требуем удовлетворение всех ограничений во всех точках области Т. Поэтому, будем использовать задачу (1.120) в качестве
внутренней задачи оптимизации. Оптимальное значение критерия
этой задачи зависит от
d θ
. Переменные
должны быть выбра-
ны таким образом, чтобы ограничения (1.10) удовлетворялись в
среднем на этапе функционирования. Отсюда двухстадийная задача
оптимизации с усредненными мягкими ограничениями будет иметь
вид
∗
fEfd
=θ
1
,
d
γ
*
θ
(1.136)
θ
Заметим, что решение
j
θγθ≤ =
zd∗θ
раничениях задачи (1.136). Используя (1.120), мы можем преобразовать (1.136) к виду
*
=θ
1
j
θ
∫
dz
T
θγθ≤ = (1.138)
Изменим порядок операций интегрирования и минимизации в (1.137)
*
=θθ
2
,()
dz
∫
θ
T
задачи (1.120) используется в ог-
(1.137)
θθ
θθ
(1.139)
59
{ ( , ( , , ), )} 0, 1,..., .
Egdzd j m
z
**
21
.
ff
()
0
min min ( , , , ) ( ) ,
ffdzd
γρ
{ ( , ( ), )} 0, 1,..., .
Egdz j m
()
() ( 1) ()
k
ff f
min ( , , ) ( )
ffdzd
ρ
j
θ
θγθ≤ =
К сожалению, задача (1.139) не эквивалентна задаче (1.137), поскольку переменные
в критерии (1.137), соответствующие разным
значениям θ, не независимы (они связаны условиями (1.138)). Так
как с помощью квадратурных формул можно аппроксимировать интеграл с помощью конечной суммы с заданной точностью, то в соответствие с (П.4) имеем
≥
Таким образом, решение задачи (1.139) позволяет определить только
верхнюю границу оптимального значения задачи (1.137). Однако
следующая процедура последовательных приближений позволяет
получить решение задачи (1.137).
Шаг 1. Положить k = 1. Задать начальное приближение
для управляющих переменных и малую величину
ε> .
1
(0)
z θ
Шаг 2. Решить следующую задачу:
Пусть
k
=θ
1
j
θ
()()k
z θ есть решение этой задачи. Таким образом,
∫
dz
T
(1)
k
−
θθ ≤ = (1.141)
(1.140)
θθ
(1)
k
−
z
θ
()
есть значение вектора управляющих переменных, полученным на
предыдущей итерации.
Шаг 3. Если
kk
−
−≤ε,
11 11
то решение задачи найдено (1.137).
Шаг 4. Положить k = k + 1 и перейти к шагу 2.
Поскольку ограничения (1.141) связывают только конструктивные переменные d, то в отличие от задачи (1.137) управляющие переменные,
соответствующие разным значениям θ, независимы. Поэтому мы можем
изменить порядок операций интегрирования и минимизации в (1.140)
60
=θ
2
dz
,()
∫
θ
T
θθ
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]