Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современные методы оптимизации сложных систем. Оптимизация технических систем в условиях неопределенности. Учебно-методическое пособие
.pdf
Пусть z зависит от параметров
1
2
12
, θ).
2
1
2
2
).
12
ff
2
2
11 2
ff f
TTT
1
2
1
113
1
1
3
33
T
~
T
1
:
}
L
и
θ
, т.е.
zz=
(θ
θ
Зафикси-
руем
только параметров
функции этой задачи будет зависеть от
ff=
11
и решим задачу (1.68) , предполагая, что z является функцией
θ
. Ясно, что оптимальное значение ƒ
θ
, таким образом
θ
(θ
Для этого случая мы уже показали справедливость нера-
целевой
1
венства (1.87). Поэтому имеем
2
(θ )
Ясно, что оптимальное значение ƒ
дет меньше или равно чем
1
≤
.
целевой функции задачи (1.68) бу-
1
(θ)f
при любых
2
(θ )
≤≤
.
. Отсюда, мы имеем
θ
Таким образом, неравенство (1.87) доказано.
Аналогично можно показать, что неравенство (1.87) справедливо
для дискретных вариантов (1.70) и (1.84) задач ДЭЗО1 и ДЭЗО2, если
аппроксимационные точки и весовые коэффициенты в обеих задачах
одинаковы. Таким образом, чем меньше информации относительно
неопределенных параметрах имеется на этапе функционирования,
тем менее экономичной будет соответствующая ТС.
Случай 3. Вектор неопределенных параметров состоит из двух
подвекторов
21
(
вектора
∪=
могут быть определены с некоторой ошибкой, зависящей
θ
1
θ и 2θ [
).На этапе функционирования ТС значения компонентов
),(21θθ=θ
]. Пусть при этом
от неточности датчиков. В то же время компоненты вектора
могут быть уточнены. В этом случае параметры
ставлены в виде
ров
θ
, полученные от датчиков и
θ
∈ . Ясно, что область
θθθ=+
, где величина
θ есть погрешность измерения
1
допустимых изменений вектора
θ
есть значение парамет-
θ
11
T∈θ и
θ
22
T∈θ ,
не
могут быть пред-
θ
имеет вид
111, 3, 11, 3,
{θ
T =−≤≤+
θθ θθ θ
UUU
.
Этот случай может быть сведен к предыдущему случаю. Действительно, здесь мы можем выделить следующие две группы неопреде-
41
ленных параметров. Первая группа будет состоять из параметров
1
32
.
1
2
232
(θ,θ)
2323322
,θ:
,
)
TTT
1
2
2
T
T
{
,min ,, ,,
max , , , 0, 1,... .
gdz j m
max min max max , , , 0.
χ
min { ( , )}
() 0
)}
*1
)
~
T
и вторая группа будет состоять из параметров
вая группа соответствует группе
ветствует группе
θ
=
в (1.77), (1.75), (1.79) и используя
θ
=∈∈
случая 2. Введем следующие обозначения
θ
(θ
θ
случая 2 и вторая группа соот-
θ
θ
. Подставляя выражение для
θ вместо
θ,θ
Ясно, что пер-
и
θ
2
вместо
θ
2
мы получаем формулировки внутренней задачи оптимизации, условия гибкости и задачи оптимизации в условиях неопределенности
(
ДЭЗО3):
Внутренняя задача оптимизации:
*1 32
fd E fdz
θ= θ+θθ
3
22
θ∈
)
(
j
(
T
2
θ
z
1
32
θ+θ θ ≤ =
(
)
1
)
Условие гибкости
1
32
dgdz
≡θ+θθ≤
()
3
12
12
z
TT
θ∈ θ ∈
jJ
∈
j
(
)
ДЭЗО3:
*1
где
Efd
1
θ
области
*1
{(,θ
3
1
.
fEfd
=θ
33
– математическое ожидание величины
1
θ
d
dχ≤
3
, (1.88)
,
(,θ
fd
3
в
Случай 4. Приведенная формулировка ДЭЗО2 имеет тот недоста-
ток, что она не учитывает дополнительную экспериментальную информацию, которая, как правило, имеется на этапе функционирования. Здесь мы дадим формулировку ДЭЗО, которая будет учитывать
эту дополнительную информацию. Рассмотрим в начале случай, когда в системе уравнений (1.6) можно выделить некоторую подсистему, в которую входят только измеряемые переменные состояния, т.е.
математическая модель (1.6) может быть записана в виде (1.25). Если
выполняется условие (1.26), то значения неизмеряемых на этапе
42
функционирования параметров
1
,θ) 0, 1,..., , .
dxxz j r j J
z
z
1
,θ)0, .
dx z j J
T
1
:
, ( , , ,θ,θ)0, }.
TTdxz jJ
θ
могут быть найдены решением
обратной задачи (1.27). В этом случае для решения задачи оптимизации в условиях неопределенности мы можем использовать формулировку ДЭЗО1. Если условие (1.26) не выполняется, то мы не можем
определить значения параметров
θ
решением задачи (1.27). В этом
случае для решения задачи в условиях неопределенности следует
использовать формулировку ДЭЗО2, в которой
1
2
,
θ=θ
. Урав-
θ=θ
нения (1.25) принимают вид
(,,,θ ,θ )0,
dxz j J
ϕ=∈
j
(,,,,θ
ϕ==∉
j
12
12
1
(1.89)
Однако при этом мы не учитываем экспериментальную информацию
относительно измеряемых на этапе функционирования переменных
состояния
. В связи с этим мы дадим модификацию формулировки
x
ДЭЗО2, которая позволит учесть эту информацию. Также как и в
ДЭЗО2 будем считать, что параметры θ , θ образуют множество
параметров
21
, θθ соответственно.
Рассмотрим некоторый момент времени на этапе функционирова-
ния, в который параметры
21
, θθ соответственно. Пусть при некотором значении
получены экспериментальные значения
значения параметров
значения
2
θ неизвестны. Поскольку переменные x и параметры
1
и переменных состояния
θ
21
принимают некоторые значения
, θθ
*
=
*
x и
1
θ . Таким образом,
*
известны, а
x
были
θθ , удовлетворяют уравнению (1.25), то переменные 2θ должны
удовлетворять следующему уравнению:
ϕ=∈ (1.90)
j
**12
(, , ,θ
Поскольку условие (1.26) не выполняется, то уравнения (1.25) не позволяют определить значения параметров
2222 **12
{θ
θ
=∈ϕ =∈ (1.91)
j
2
. Введем область
θ
Тогда задача оптимизации ТС, которая должна решаться в данный
момент (внутренняя задача оптимизации), должна иметь вид
2
:
43
)},,,({min),,(
,θ)0
*
x
z
z
z
z
1
,θ) 0, 1,..., , .
dxxz j r j J
**12
,θ)
**12
(, , , )
*
x
**12
(, , , )
2
T
max ( , , θ
gdz
j
22
θ∈
T
∈θ
z
T
12
≤ , mj ,...,1= .
22
2121*
θθ=θθ
zdfEdf
, (1.92)
В отличие от внутренней задача оптимизации ДЭЗО2 (1.77) эта формулировка учитывает экспериментальную информацию
, которая
может быть получена на этапе функционирования.
Величина
21*
dfE
θ
, (1.93)
)},,({
θθ
где
, дает среднюю величину критерия на этапе функцио-
),(21θθ=θ
нирования (например, средний доход, если критерий есть доход), т.е.
характеризует «в среднем» работу ТС на этапе функционирования.
Поэтому желательно использовать эту величину в ДЭЗО4 в качестве
критерия оптимизации. Однако, для того, чтобы использовать вели-
чину (1.93) мы должны иметь возможность вычислять ),,(
решать задачу (1.92)) в любой точке T∈θθ
(
21
, . К сожалению, мы
21*
θθdf
этого не можем делать. Действительно, в задаче (1.92), решение которой дает значение
ных значений
(
см. (1.91)). Ясно, что на этапе проектирования мы не можем знать
*
x , соответствующих значениям параметров
21*
, используются величины измерен-
),,(
θθdf
21
, θθ
результаты будущего эксперимента на этапе функционирования и,
следовательно, не знаем значений
*
x . Однако для определения *x
будущий эксперимент мы можем заменить моделированием ТС с
помощью полной модели (1.6). Тогда для фиксированных
*
= величина
ческой модели (1.89) при
*
x может быть найдена решением полной математи-
11
θ=θ ,
*12
(,, ,θ ,θ )0, ,
dxz j J
ϕ=∈
j
(,,, ,θ
ϕ==∉
j
*12
22
θ=θ и
1
*
:
=
(1.94)
21
, θθ и
Пусть
(, ,θ
xdz ,
xdzθθ есть решение системы уравне-
ний (1.94). Заменяя в (1.91) величину
мы получим следующий вид области
44
величиной
xdzθθ
2222 **12*12
1
{ : , (, (, , , ), , , ) 0, }.
TTdxdzz jJ
( ( , ,θ,θ)0)
z
( ) max max min max max ( , , , ) 0
min { ( , , )},
() 0
{(,,)} (, , ),
i
0,
1
1
1
T
T
*12
(, , )
i
=θ θ∈ ϕ θθ θθ = ∈ (1.95)
j
Теперь, мы уже можем вычислять (1.93) во всех точках
следовательно,
dfE
θ
21*
может быть использовано в качестве
)},,({
θθ
и,
T∈θθ21,
критерия в ДЭЗО4.
Сформулируем теперь условие гибкости. При фиксированных
21
, θθ
условие гибкости имеет вид
22 12
θ
zTjJgdz∃∀∈ ∀∈ ≤ .
j
Ясно, что гибкость ТС может быть гарантирована, если выполняется
условие
11
T∈θ∀
T∈θ∀
22
∃
T∈θ∀
22
( 0),,,(
Jj ∈∀
zdg
j
21
≤
θθ
).
Используя эквивалентные соотношения (П.7), (П.8) подобно тому,
как это было сделано в предыдущих случаях, можно преобразовать
это логическое условие к следующему аналитическому виду
χ
dgdz
=θθ≤. (1.96)
4
112 2 2 2
θ∈ θ ∈ θ∈
TT T
z
jJ
∈
j
12
Таким образом, ДЭЗО4 будет иметь вид
fEfd
=θθ (1.97)
4
*12
θ
χ
d ≤ .
4
Будем называть эту задачу ДЭЗО4, а задачу (1.92) внутренней задачей оптимизации ДЭЗО4. Используя какую-либо квадратурную фор-
мулу, преобразуем критерий оптимизации задачи (1.97)
*12 *12
здесь ,0≥
Efd w vfd
θ
w
v ≥
i
l
аппроксимационные точки в подобласти
проксимационные точки в подобласти
θθ = θ θ
,0≥qp
∑
iI
1
il
∑∑
iI lL
∈∈
11
w∈=
,
i
∑
lL
v∈=
1
,
l
qQ
1
и
2
fdθθ
,
∑
4
1
θ (
l
(1.98)
p∈=
q
l2
i1
,
θ
Ll ∈ ),
1
l
– оптималь-
(
Ii ∈
1
q2
θ – ап-
) –
45
ное значение целевой функции задачи (1.92) для
11
i
22
l
2
T
2
il
T
1
{ : , (, (, , , ), , , ) 0, },
T T dx dz z j J
2
(, , , )
l
1
( , , , , , ) 0, 1,..., , .
dxxz j r j J
*12
(, , )
i
11
i
22
l
min[ { ( , , , )} max ( , , , ) 0, ].
w
12 12 2 2
{(,, , )} (,, , )( ) .
Efdz fdz d
{(,, , )} (,, , ),
i
1
0.
min[ (,, , ) max (,, , ) 0, ].
wv pfdz gdz jJ
12
,
il
*12
{(,,}
Обозначим область
2222 **1 *12
=θ θ∈ ϕ θ θ θ θ = ∈
il j
этой задачи через
2
ii
. Она имеет вид
l
θ=θ
и
θ=θ .
где
Поскольку
zdx θθ
(,,, , , ) 0, ,
dxxz j J
ϕθθ=∈
j
ϕθθ==∉
j
fdθθ – оптимальное значение целевой функции
задачи (1.92) для
21** li
),,,(
вместе с
θ=θ
xdzθθ
*1 2
il
*1 2
il
l
и
θ=θ
**1
i
есть решение системы
1
, то мы можем переписать правую
часть равенства (1.98) следующим образом:
12 12
∑∑
∈∈
iI lL
11
vEfdz gdz jJ
il j
22
θ∈
T
z
ii
θθ θθ≤ ∈
22
θ∈
T
il
Используя квадратурную формулу, преобразуем интеграл
22
θ∈
T
ii
θθ = θθρθθ
∫
2
θ
(1.100)
к виду
E fdz pfdz
22
θ∈
T
12 12
θθ = θθ
∑
∈
qQ
q
1
iq
qQ
∑
p∈=
1
q
Подставим это выражение в (1.99)
12 12
il q j
∑∑ ∑
iI lL qQ
∈∈ ∈
11 1
z
iq i
θθ θθ≤ ∈
22
T
θ∈
il
p ≥
q
(1.101)
(1.99)
Так как управляющие переменные z, соответствующие различным
парам параметров
θθ, не зависят друг от друга, то в соответствие
с равенством (П.3) мы можем изменить порядок выполнения операций дифференцирования и суммирования в выражении (1.101). Выполнив эту операцию, получим следующее выражение для
Efdθ∈θθ
T
46
{(,,}min (,, , )
i
Efd wvpfdz
il
z
12
,
il
IL
z
12
,
il
11
{, , )
zziIlL
11
max ( , , , ) 0 1,..., , , ,
gdz j miIl L
() 0.
12 12 2 2
{(,, , )} (,, , )( )
Efdz fdz d
11
max ( , , , ) 0, 1,..., , , ,
gdz j m i I l L
() 0
4
f
4
f
max ( , , , ) 0, 1,..., , , ,
где
– вектор управляющих переменных, соответствующих ап-
проксимационной точке
*12 12
θ∈
T
22
θ∈
T
il
θθ = θ θ
gdz j mi Il L
il i
j
θθ≤ = ∈ ∈
z
12
IL
θθ,
il q
∑∑∑
iI lL qQ
∈∈∈
111
– совокупность векторов управ-
liq
(1.102)
11
ляющих переменных, соответствующих всем аппроксимационным
точкам
θθ (
, LlIi ∈∀∈∀ ):
IL il
11
=∀∈∀∈. Подстав-
ляя выражение (1.102) в (1.97) получим дискретный вариант задачи
ДЭЗО4
12
min ( , , , ),
fwvpfdz
=θθ
4
dz
,
j
22
T
θ∈
il
il q
∑∑∑
IL
iI lL qQ
∈∈∈
111
il i
12
θθ≤ = ∈ ∈
il i q
(1.103)
dχ≤
4
Рассмотрим частный случай этой задачи, когда при аппроксима-
ции интеграла
22
ÎT
θ
ii
θθ = θθμθθ
∫
2
θ
мы будем использовать только одну аппроксимационную точку
совпадающую с точкой
(1.103)
примет вид
min ( , , , ),
fwvfdz
=θθ
4
22
θ∈
T
,
dz
j
il
il
∑∑
il
∈∈
iI lL
11
il i
θθ≤ = ∈ ∈
где
– приближение к
l2
θ . В этом случае }{
2
l
1
il i
12
d ≤
,
χ
4
1
при описанной аппроксимации. Естествен-
q2
θ
lQ = . Тогда задача
(1.104)
но, это приближение может оказаться существенно более грубым, чем в
задаче (1.103). Поэтому оно может быть уточнено с помощью задачи
,
47
(1.103). При этом полученное решение задачи (1.104) может быть ис-
z
z
1
zzlL
22
TT
1
gdz gdz l L
()χ()
dd
42
ff
пользовано как начальное приближение при решении задачи (1.103).
Сравним дискретный вариант задачи ДЭЗО2 [cм. (1.84)] и упрощенный дискретный вариант задачи ДЭЗО4 (1.104). В задаче (1.84)
вектор управляющих переменных
i
связан со всеми аппроксимаци-
онными точками, находящимися внутри подобласти
11221 ii
TT θ=θ∈θθ=θ . В то же время в задаче (1.104), вектор
управляющих переменных
точкой ),(
21 liil
θθ=θ . Таким образом, при одинаковом числе аппрок-
};:{)(
il
связан с одной аппроксимационной
симационных точек задача (1.104) имеет больше управляющих переменных, чем задача (1.84). Рассмотрим в начале случай, когда управляющие переменные в задаче (1.104) не зависят от индекса l , т.е.
следующие ограничения выполняются:
il i
,
=∀∈. (1.105)
В этом случае эти задачи имеют одинаковые критерии оптимизации.
Поскольку выполняется соотношение
12 12
max ( , , , ) max ( , , , )
22 22
θ∈ θ∈
TT
il
ii ii
jj
θθ≤ θθ ∀∈
⊆ , то мы имеем
il
.
Аналогично, можно показать, что
χ
< .
42
Таким образом, допустимая область для поисковых переменных в
задаче (1.104) больше, чем в задаче (1.84). Отсюда, получаем
≤
Поскольку при отсутствии ограничений (1.105) оптимальное значение критерия задачи (1.104) может стать только меньше, то это условие будет верно и в общем случае. Таким образом, учет дополнительной экспериментальной информации, доступной на этапе функционирования, позволяет получить более экономичную конструкцию
(
в приближении задачи (1.104)).
Рассмотрим теперь общий случай, когда невозможно выделить из
системы уравнений (1.6) такую подсистему уравнений, в которые
входят только измеряемые переменные состояния. Так же, как и в
предыдущем случае, параметры
48
.
образуют множество парамет-
θ, θ
ров
( , , , , , ) 0, 1,..., .
dxxz j r
*
zz
*
x
1
T
T
,
xx
112
,
*
zz
( , , , , , ) 0, 1,..., .
dxxz j r
*12
(, , , )
*12
(, , , )
x
*
x
*12 *
xdz x
2
T
{: , (,,,) 0}.
2
T
T
T
21
, θθ соответственно. Таким образом, математическая модель
имеет вид
ϕθθ== (1.106)
j
*12
Пусть при
=
мы измерили значения
и
θ . Как и в преды-
дущем случае на этапе функционирования в каждый момент времени
решаем задачу (1.92). Однако здесь мы не можем использовать об-
ласть
2
в форме (1.91), так как в данном случае невозможно выде-
лить подсистему уравнений, в которую входят только измеряемые
переменные состояния. В связи с этим мы должны по-другому кон-
струировать область
2
.
Решим систему уравнений (1.106) относительно переменных
при фиксированных
Обозначим решение этой задачи через
Так как в данный момент времени переменные состояния
θ=θ θ и
ϕθθ== (1.107)
j
*12
= :
xdz θθ
,
xdz θθ
равны
, то следующее условие должно выполняться:
Следовательно, область
2222 *12*
TTxdzx=θ θ∈ θθ − =
(, , , )
θθ =
будет иметь вид
.
(1.108)
Итак, на этапе функционирования в каждый момент времени мы решаем задачу (1.92), в которой область
имеет вид (1.108).
Рассмотрим теперь формулировку ДЭЗО, которая должна решаться на этапе проектирования. Используя те же соображения, что и в
предыдущем случае, можно показать, что ДЭЗО4 имеет вид задачи
(1.97),
гибкости (1.96) используется
кает та же трудность, что и в предыдущем случае: в выражении
из (1.108) используется экспериментальная величина
в которой во внутренней задаче оптимизации (1.92) и условии
2
из (1.108). Однако при этом возни-
2
*
x , которая,
конечно, неизвестна на этапе проектирования. В связи с этим будем
.
49
получать значения
*
x
112 2
*
zz
( , , , , , ) 0, 1,..., .
dxxz j r
**12
(, , ,
**12
(, , , )
**12
(, , , )
*
x
T
{: , (,,,) (,,,)0}
*
x
, θ=θ θ=θ и
с помощью решения системы (1.106) при
= :
Обозначим через
(1.109).
Подставляя в (1.108)
ϕθθ== (1.109)
j
xdzθθ
дующее выражение для области
2222 *12**12
TTxdzxdz=θ θ∈ θθ − θ θ =
*12
,
xdzθθ
xdzθθ
2
решение системы
вместо
, получим сле-
. (1.110)
Таким образом, мы опять получаем неизвестные на этапе проектирования значения
моделированием ТС. Итак, ДЭЗО4 полностью оп-
ределена.
Интересно отметить, что в ДЭЗО1 и ДЭЗО2 вид внутренней задачи
оптимизации совпадает с видом задачи оптимизации, которую приходится решать на этапе функционирования. В то же время в ДЭЗО4 виды этих задач отличаются.
Сравнивая задачи ДЭЗО1, ДЭЗО2 и ДЭЗО4, мы получаем, что
полнота экспериментальной информации, достигаемой на этапе
функционирования, влияет на конструкцию (экономичность) ТС и
учет доступной на этапе функционирования экспериментальной информации позволяет построить более экономичный процесс.
1.4. Мягкие и жесткие ограничения
1.4.1. Общая характеристика
Практические
задачи часто имеют жесткие и мягкие ограничения.
Однако использование в этом случае уже рассмотренных методов
таких, как одноэтапная задача оптимизации (ОЭЗО) с вероятност-
(
ными ограничениями, ДЭЗО1) для решения задач оптимального проектирования может привести к недостаточно экономичной конструкции ТС. Рассмотрим для примера одноэтапную задачу с вероятностными ограничениями. Мы можем использовать ОЭЗО (1.40), если
положим α
= 1 (см. (1.41)) для жестких ограничений. Однако мы по-
j
лучим недостаточно экономичную конструкции ТС, так как в этом
случае не используем возможность изменения управляющих переменных для удовлетворения ограничений для различных значений
неопределенных параметров. Предположим теперь, что мы исполь-
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]