Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современные методы оптимизации сложных систем. Оптимизация технических систем в условиях неопределенности. Учебно-методическое пособие
.pdf
(1)
{ ( , ( ), )} 0, 1,..., .
Egdz j m
min( 0,5 ),
fdz
10,
0
01,
1
ρ
{:0 1}
min { 0,5 },
fEdz
max{ 1 } 0.
{} 0,5
min 0,25 ,
dz
1.
0
1
z
0,25.
min { 0,5 )},
{1}0.
min( 0,25 ),
fdz
k
j
θ
−
θθ ≤ =
Пример. Рассмотрим различные варианты одностадийной и двух-
стадийной задач оптимизации на примере следующей задачи:
=+θ
,
dz
dz−−−θ+≤
d ≥
z≤≤
(1.142)
(1.143)
где d, z и θ – скаляры. Будем предполагать, что параметр θ имеет од-
θ=
нородное распределение:
()
T =θ ≤θ≤
.
1. Одностадийная задача оптимизации, жесткие ограничения
Мы должны решать задачу (1.37), которая в данном случае имеет
следующий вид:
Так как
=+θ
T
θ∈
E θ= , то мы имеем
θ
,
dz
dz
−−−θ+ ≤
+
()
,
dz
dz+≥
Решение этой задачи имеет вид
d =
=
f =
1
2. Одностадийная задача оптимизации, мягкие ограничения. Здесь
требуем, чтобы мягкие ограничения удовлетворялись в среднем (задача (1.49)). В этом случае мы должны решать следующую задачу:
fEdz
=+θ
,
dz
Edz
−−−θ+ ≤
θ
Отсюда мы имеем
=+
dz
θ
(1.144)
(1.145)
,
61
0,5.
0
0,5
0,125.
min { 0,5 },
fEdz
Pr ( ) 1 ( ) ,
{
}
:( )1 ,0 1.
1,
Pr{ } 1.
1
dz
() ( ).
dddz
ρ
1.
min 0,25 ,
dz
()1,
()1.
dz+≥
Решение этой задачи имеет вид
d =
z =
f =
1
3. Одноэтапная задача оптимизации, мягкие ограничения. Здесь
требуем, чтобы мягкие ограничения выполнялись с вероятностью α.
Мы должны решать задачу (1.40), которая в данном случае имеет вид
=+θ
dz d
−++≤θ=ρθθ≥α
{}
,
dz
θ
∫
Ω
(1.146)
где
Ясно, что если
dz+≥ то ограничение
dzΩ= θ − + + ≤θ ≤θ≤
в этой задаче удовлетворя-
ется для всех значений θ, т.е.
Пусть теперь
+<. В этом случае
θθ= θ= +
∫∫
Ω−+
θ∈Ω =
1
dz
1( )
Таким образом,
Pr ( ) 1
dz
−++≤ =
{}
Следовательно, мы должны решать задачу
62
1 α≥ ,
1, если 1
⎧
θ
⎨
dz dz
⎩
+
()
,
dz
αdz+≥, если
если
dz
+≥
++<
,если
dz+≤
dz+>
Ясно, что второе ограничение всегда выполняется. Решение этой за-
0
z
0,25 .
() maxmin( 1) 1.
χ
дачи имеет вид
d = α
=
f =α
(1.147)
Проанализируем полученный результат. Для α = 1 этот результат
совпадает с результатом, полученным при решении одноэтапной задачи оптимизации с жесткими ограничениями. Этот факт не случаен.
Действительно, равенство α = 1 означает, что ограничение (1.143)
удовлетворяется с вероятностью 1. Однако это эквивалентно требованию жесткого удовлетворения ограничение (1.143). Для α = 0,5
результат (1.147) совпадает с результатом решения одноэтапной задачи оптимизации с мягкими ограничениями (1.144). Объясним этот
результат. Ограничения (1.143) линейно зависит от неопределенного
параметра θ. Поэтому среднее значение ограничения соответствует
среднему значению неопределенного параметра. Так как мы используем однородную функцию плотности вероятности, которая симметрична относительно среднего значения параметра, то 50 % реализаций неопределенного параметра будут получать значения α ≥ 0,5 и
реализаций будут получать значения α ≤ 0,5. Отсюда, для 50 %
50%
реализаций неопределенного параметра ограничение (1.143) будет
удовлетворяться и для 50 % реализаций неопределенного параметра
ограничение (1.143) будет нарушаться. Та же самая ситуация возникает в случае использования одноэтапной задачи
оптимизации
с ус-
редненными, мягкими ограничениями, если ограничения (1.138) будет
активным. Действительно, если среднее значение ограничения
(1.145)
равно нулю, то это ограничение будет удовлетворено для 50 % реализаций неопределенного параметра и для 50 % реализаций оно будет
нарушаться. Таким образом, решение одностадийной задачи оптимизации, с мягкими ограничениями, которые должны выполняться с
вероятностью α = 0,5, соответствует решению одностадийной задачи
оптимизации с усредненными мягкими ограничениями.
Сравнение задач с жесткими и усредненными мягкими ограничениями показывает, что первая дает лучший результат. Этот результат
согласуется с общим рассмотрением (см. раздел 1.2.2)
4. Двухэтапная задача оптимизации с жесткими ограничениями
ДЭЗО1). Мы должны решать задачу (1.67). Сначала найдем выраже-
(
ние для функции гибкости (1.55)
ddzd
=−−−θ+=−−
1
T
θ∈
z
63
Внутренняя задача оптимизации (1.61) имеет вид
(,) min( 0,5 ),
fd d z
10.
1 , 1 .
dd
1.
dd d
33 33
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
dd dd
(1 )
min ,
10
0,085.
*
θ= + θ
z
dz−−−θ+≤
Решение этой задачи имеет вид
0, 1
θ≥ −
⎧
*
z
=
⎨
−−θ θ<−
⎩
d
Отсюда
, если 1
dd
⎧
θ=
⎪
⎨
+−θ−θ θ<−
⎪
⎩
*
(,)
fd
Теперь мы найдем величину f
1
ffdd d d ddd
=−+−+=+−
*
= θ θ= + − θ− θ θ θ=
( , ) ( 0,5(1 ) 0,5 )
∫
1
0
(1 )
dd dd
−− −−
θ≥ −
0,5(1 ) 0,5 ,
при 0≤d≤1:
1
11
d
−
2
если
2
∫∫
01
2
46 46
Окончательно ДЭЗО1 примет вид
fd
⎛⎞
=+
1
⎜⎟
d
⎝⎠
−
12
3
d
(1.148)
d
−
Его решение: d = 0,
1
f =≈
1
12
d≥≥.
Сравним этот результат с результатами решения одноэтапной задачи оптимизации с жесткими (1.142) и мягкими (1.144) и (1.146) ограничениями. Мы видим, что оптимальное значение целевой функции, полученное решением ДЭЗО1, лучше (меньше) чем оптимальное значение целевой функции, полученное решением всех вариантов одноэтапной задачи оптимизации, в том числе и с мягкими ограничениями. ДЭЗО1. Получили лучший результат даже по сравнению
с ОЭЗО с мягкими ограничениями, несмотря на то, что ДЭЗО1 требует жесткого выполнения ограничений. Причина этого состоит в
64
том, что ДЭЗО1 использует возможность настройки управляющих
00,5.
(,)
min( 1) 0,5.
{:(,) 0}
{: 0,5 0}.
dd
ρ
.
()
Id
()
Id
0,5 0,25(1 )[( 1 ) (0,5 ) ] [(1 )
(2) 2
() min (,,)() 0,25(0,5 ).
Id fdz d d d d d
переменных на этапе функционирования.
5. Двухэтапная задача оптимизации с мягкими ограничениями.
Будем использовать формулировку (1.111). Пусть переменная z
удовлетворяет условию
z≤≤
В этом случае функция h(d,θ) будет иметь вид
hdθ=
Следовательно, область Ω
1
hdΩ=θ θ≤
dz d−−−θ+ =−−θ+
z
представляется в виде
1
d=θ− −θ+ ≤
Найдем левую часть ограничения (1.112)
1
()
θθ= θ
∫∫
Ω−
1
0,5
=0,5 + d.
d
Отсюда, ограничение (1.112) примет вид
0,5 α
d+≥
Теперь найдем выражения для интегралов
зуя выражение для f
(1) * 2
( ) ( , ) ( ) [ 0,5(1 ) 0,5 ]
Id fd d d d d
+θθ= + − −− − − −−
−− ++−− = + − −−
=θρθθ=+−θ−θθ+
1
dd d d d d d
(0,5 ) ] [1 (1 ) ] 0, 5 0, 25(1 )(0, 75 )
∫∫
Ω−
1
∫
d
−
1
ddddd
*
(d, θ) (1.148), получаем
1
1
d
32
0,5
(1.149)
(1)
1
d
−
d
22 3
и
(2)
1
0,5
. Исполь-
3
2
0,5
(0,875 2,25 1,5 ) (2 ),
−−++−
dd dd
d
22
32
0,5
d
−
=θρθθ=θθ=−
1
∫∫
∈
zZ
Ω
T
\0
1
65
Подставляя выражения для интегралов
()
Id
()
Id
min ( ),
0,5 ,
fId
() () ()
Id I d I d
0,5 0
0,042
11
(1,..., )
jJ m
(1,...,)
jJ m m
12
(, )
11
T
22
T
ния (1.149) в (1.111), получим
11
d
d=+≥α
где
(1) ( 2)
Решение этой задачи имеет вид
d
=
=+
11 1
0,5, если
α− α− ≥
⎧
⎨
0, если 0,5 0.
⎩
α− ≤
(1)
1
(2)
,
1
и ограниче-
(1.150)
.
Для α = 0,5 величина
f =
1
.
Сравним этот результат (для α = 0,5) с результатом решения
ДЭЗО1. Здесь оптимальное значение целевой функции, полученное
решением (1.150) лучше (меньше), чем оптимальное значение целевой функции, полученное решением ДЭЗО1. Причина этого состоит
в том, что в двухэтапной задаче оптимизации с мягкими ограничениями не требуется жесткое выполнение ограничения для всех значений неопределенного параметра. Кроме того, задача (1.150) получает лучшее значение целевой функции, чем одноэтапная задача оптимизации с вероятностными ограничениями.
1.4.3. Неполная информация относительно
неопределенных параметров на этапе
функционирования
Здесь мы предполагаем, что
–
ограничения (1.10) с номерами
кими, а ограничения (1.10) с номерами
∈= являются жест-
∈= +
21
являют-
ся мягкими; последние должны удовлетворяться с вероятностью α;
– вектор θ состоит из двух групп неопределенных параметров:
θ= θ θ . Значения параметров
θ
∈ первой группы мoгут быть
определены достаточно точно на этапе функционирования. В то же
время параметров
θ
∈ второй группы не мoгут корректироваться
на этапе функционирования.
66
В каждый момент времени на этапе функционирования мы будем
1
2
,θ) 0, (1,..., ).
gdz j J m
*1 12
1
;)min {(,,θ,θ),
,θ)0, .
gdz j J
min ( ),
Id
]α.
111
;)ρ(θ)θ,
;)ρ(θ)θ,
Id f d J d
{ : min max max ( , , ) 0}.
решать одну из следующих двух внутренних задач оптимизации, в которых либо все ограничения (1.10) считаются жесткими, либо только
ограничения с номерами
что в каждый момент времени значения параметров
чения параметров
θ неизвестны. Ясно, что обе внутренние задачи оп-
являются жесткими. Напомним,
,...,1 mj =
1
θ известны, зна-
тимизации являются одноэтапными задачами оптимизации (см. (1.37)).
Первая внутренняя задача оптимизации будет иметь вид
*1 12
(,θ ;) min {(,,θ ,θ )},
fd J fdz
max ( , ,θ
22
θ
∈
T
=Ε
j
2
θ
z
12
≤∈=
(1.151)
Вторая внутренняя задача оптимизации будет иметь вид
(,θ
fd J fdz
max ( , ,θ
22
θ
∈
T
1
j
=Ε
12
2
θ
z
≤∈
(1.152)
Видно, что решение этих задач гарантирует удовлетворение жестких
ограничений
,...,1 mj = . Области, в которых задачи (1.151) и (1.152)
1
решаются должны быть подобраны таким образом, чтобы целевая
функция (см. ниже) была минимальна и вероятность удовлетворения
мягких ограничений была больше α. Таким образом, мы должны решать следующую задачу:
Pr[θ
Здесь
() () (),
Id I d I d
=+
12
1
11
где
Ω=θ∈ θ≤
() (,
Id f d J d
11
() (,θ
211
Tgdz
z
θ∈
*1 11
=
∫
Ω
1
=
∫
\
Ω
T
1
22
jJ
∈
T
d
11
∈Ω ≥ (1.154)
∗
(1.153)
θ
j
67
Заметим, что в области
1
1
2
(0, )
gjJ
1
1
, ( 1),..., .
gdz j m m
111
)ρ(θ)
Id f d d
1
2
min ,
d
го, в соответствие с (1.154) вероятность попадания
Ω
все ограничения выполняются. Кроме то-
θ в область 1Ω
больше α. Следовательно, все ограничения (1.10) удовлетворяются с вероятностью больше α. Отсюда и мягкие ограничения
≤∈
j
удовлетворяются на этапе функционирования с вероятностью, больше α. С другой стороны, мы гарантируем удовлетворения жестких
ограничений во всех точках области T, так как мы решаем либо задачу (1.151), либо задачу (1.152) всех точках области T.
При использовании этой формулировки имеются такие точки
θ ,
в которых мягкие ограничения не удовлетворяются даже в вероятностном смысле. Поэтому мы рассмотрим формулировку, в которой на
этапе функционирования жесткие ограничения удовлетворяются всегда, а мягкие ограничения удовлетворяются с вероятностью, боль-
шей α для каждой точки
θ . Пусть внутренняя задача оптимизации
имеет вид
** 1 1 2
(,θ )min {(,,θ ,θ )},
fd fdz
max ( , ,
22
θ
∈
T
Pr [ ( , ,
2
θ
=Ε
gdz j J
j
j
2
θ
z
12
≤∈
θ ,θ )0, ,
12
θ,θ)α
≥=+
1
1
Тогда двухэтапная внутренняя задача оптимизации будет иметь вид
min ( ) min ( ,θ
dd
=
Эта формулировка дает менее экономичное решение по сравнению
с первой формулировкой. Она соответствует ситуации, когда параметры
меняются медленно и они могут быть определены достаточно
θ
точно, в то время как параметры
что затрудняет или делает невозможным их идентификацию.
1.5. Упражнения
Рассмотреть задачу
1.
68
∗∗
∫
1
T
θ
1
.
θ изменяются относительно быстро,
,
zd
20,
90.
gz
:1
3}
03
05
0,5
1
2
j
1
jJ
2
jJ
UVjj
2
jJ
1
gz d
2
gz d
3
Параметр θ имеет однородное распределение: ρ(θ) = 1
Пусть имеются ограничения
θ 0,
=− + ≤
2θ
=− +−≤
=− + − ≤
6θ
d≤≤
z≤≤.
{θ
T =≤≤
θ
Следует:
–
сформулировать и решить одностадийную задачу оптимизации с
жесткими ограничениями;
сформулировать и решить одностадийную задачу оптимизации с
–
мягкими ограничениями; при этом мягкие ограничения удовлетворялись в среднем;
–
сформулировать и решить одностадийную задачу оптимизации с
мягкими ограничениями; при этом каждое мягкое ограничение должно удовлетворяться с вероятностью α
≥ .
2. Формулировка (1.60) двухэтапной задачи оптимизации для слу-
θ
чая двух групп неопределенных параметров
θ
и
была получена в
предположении, что параметры этих двух групп являются статистически независимыми. Доказать, что эта формулировка будет верна и
для случая, когда эти две группы не являются статистически независимыми.
3. Обобщить формулировку (1.111) задачи оптимизации с мягки-
ми ограничениями на случай, когда функции плотности вероятностей
известны только для части θ
()
неопределенных параметров,
∈
.
а остальные параметры
θθθ
≤≤
∈
()
∈ .
()
должны удовлетворять условию
69
2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ГИБКОСТИ
()
d
()
d
()
d
()
d
, 1,..., .
gdz ujJ m
20,
90.
3}.
min ,
2,
9.
hd u
zdu
zdu
Вычисление
значения функции гибкости является очень важной
задачей. При использовании теста гибкости (1.54) она позволяет оценить допустимость заданной конструкции (гибкость технической
системы). Функция гибкости также используется в некоторых методах решения двухэтапных задач оптимизации (ДЭЗО). Рассмотрим
методы вычисления значений функций
χ
1
(1.55) и
χ
2
(1.75).
Следует отметить, что для оценки гибкости достаточно знать знак
функции гибкости. Отсюда надо различать следующие две задачи:
Определение знака функции гибкости.
1.
2.
Вычисление значения функции гибкости.
2.1. Свойства функции гибкости
Рассмотрим
в начале свойства функции гибкости
стоты мы опустим верхний индекс у функции h
значения функции
χ
сводится к нахождению максимума функ-
1
χ
. Для про-
1
(1)
(d,θ). Вычисление
ции h (d,θ) в области T (1.56). Функция h (d,θ) имеет вид (1.57). В соответствие с теоремой П.4 она может быть представлена в виде
,θ min ,
hd u
=
()
() ( )
j
,
zu
,,θ
≤∈=
(2.1)
Пример 1. Рассмотрим следующую систему ограничений ([1],
рис. 2.1):
Пусть
{1 θ
T =≤≤
70
gz
1
gz d
2
gz d
3
θ 0,
=− + ≤
2θ
=− +−≤
=− + − ≤
6θ
(2.2)
В данном случае задача (2.1) принимает вид
,θ
=
()
zu
−+ ≤
2
−+−≤
−+ − ≤
θ ,
θ
6θ
zu
,
(2.3)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]