Современные методы оптимизации сложных систем. Оптимизация технических систем в условиях неопределенности. Учебно-методическое пособие

( , , ) , 1,... , .

L

l

i

gdz v j m S

i

S

()

d

)

i

)

h(d,

)

h

)

i

AP

S

(; )

A

JdT

)

i

() 0

i

AP

S

i

S

()χ()

dd

() maxχ()χ()

ddd

()

d

11,

() max

L

i

()

d

() min,

dv

χ=

1,

i

j

l

,

zv

ll

θ≤ = ∀θ∈

(2.49)

Рассмотрим теперь способ выбора множества

. Естественно,

что мы хотим выбрать это множество таким образом, чтобы нижняя граница

θ

– точка максимума функции

. Примем во внимание следующие факты: a) метод ВГ дробит по-

T

i

добласти, которые могут содержать максимум функции

L

χ

была по возможности ближе к величине

1,

i

по переменной θ в подобласти

θ

(,θ

hd

(d,

, и по-

θ

, где

этому теоретически, размер подобласти, содержащей максимум функции, должен стремиться к нулю; б) величина

ется только множеством активных точек

стремится к

i

Jd

A

разумно использовать множество

(;θ

, если

rT →

и

i

, которое состоит из точек, со-

hd

; в) множество

lim θ

() 0

rT

i

(,θ

T→=

i

определя-

. Поэтому

ответствующих активным ограничениям задачи (2.42), в качестве множества

.

Поскольку для каждой подобласти верно неравенство

χ

1, 1,

ii

L

≥

,

то мы получаем

L

max χ

ii

Таким образом, величина

≤≤

1, 1, 1

ii

,( )

Lk

χ

1

,( )

kL

χ

d =

(2.50)

χ

i

.

есть нижняя граница функции

Выбор переменной ветвления и точки ветвления. Рассмотрим теперь правило выбора переменной ветвления и точки ветвления. Простейшее правило состоит в поочередном выборе компонент вектора θ в качестве переменных ветвления. Средняя точка интервала, который должен быть раздроблен, может быть использована в качестве точки ветвления. Пусть на k-й итерации подобласть T

χ

.

1

должна

l

91

быть раздроблена на подобласти T

{}{

}

:, , :, ,

p

T

0,5( )

llj

cab

(1)

)

T

TT

(1)

3,

1,

-9.

zu

[,] [5,4]

(1) 4

(1)

определяются следующим образом

и Tq (Tl =Tp ∪Tq). Тогда Tp и Tq

p

θ

где

– есть переменная ветвления и

j

Tc T Tc=θθ∈ θ≤ =θθ∈ θ>

ij j q ij j

=+

jj

– точка ветв-

ления.

Пример 2. Рассмотрим пошаговую реализацию метода ВГ (глава 2, раздел 2.2.1 из [13]) для вычисления значения функции гибкости для примера 1 (для d = 1). Здесь область неопределенности есть интервал

[1;3].

Напомним, что вычисление значения функции гибкости

необходимо найти максимум функции

по θ. Поэтому мы бу-

(1,θ

h

χ

1

дем использовать вариант метода ВГ, предназначенный для максимизации функций. Рассмотрим только две итерации этого алгоритма.

Первая итерация (k = 1):

Шаг 1. Пусть множество

Шаг 2. Решая задачу (2.37) для

величины

χ

. В данном случае эта задача имеет вид

1

состоит из одной области T.

, найти верхнюю границу

=

i

min ,

u

,

zu

−+≤

−≤ +≤

Используя геометрический подход (см. пример 1), получим реше-

zu =

ние

. В данном случае активными являются второе и

третье ограничения. Таким образом, верхняя граница ки θ = 1 и θ = 3 соответствуют активным ограничениям, следователь-

1

но H

= {1; 3}.

Найдем нижнюю границу для величины

шая задачу (2.49), в которой S

92

1

= H1 = {1; 3}. Эта задача имеет вид

U

χ

= . Точ-

1,1

χ

1,1

χ

(

1,1 1

χ

=

), ре-

min ,

- 1 ,

1 ,

- 3 ,

5,

- 9 .

*1*2*

[, , ]

dz z

2

[, ]

dz

- 1 ,

1 ,

- 3 .

ννν

- 3 ,

5,

- 9 .

ννν

v

12

,,

zz

ν

1

+≤ν

z

1

−≤ν

z

1

−≤ν

z

2

+≤ν

z

2

−≤ν

z

2

z

(2.51)

+≤ν

Здесь первые три ограничения соответствуют первой точке множества S1 и остальные три ограничения соответствуют второй точке множества S

Пусть

1

; z1 и z2 соответствуют точкам θ = 1 и θ = 3 соответственно.

есть решение этой задачи. Непросто использовать

геометрический подход для этой задачи с тремя поисковыми переменными. Однако специальная структура этой задачи позволяет использовать подход, основанный на теореме П.9. Рассмотрим следующие две вспомогательные задачи: первая задача содержит только

поисковые переменные ],[ вой точке множества S переменные множества S

1

:

и ограничения, соответствующие второй точке

1

zd и ограничения, соответствующие пер-

1

и вторая задача содержит только поисковые

Первая вспомогательная задача

Вторая вспомогательная задача

min ,

1

,

z

ν

1

z

+≤

1

z

−≤

1

z

min ,

2

,

z

ν

2

z

2

z

2

z

v

−≤

v

+≤

−≤ +≤

93

Мы можем использовать геометрический подход (см. пример 1)

1*

v

2*

v

1* 2*

max( , )

v

ν

1**

z

2**

z

[,][0,1]

[,][2,7]

2

vv

2

[,]

z

2

[1,1]

2

11

z

7

(1) 2

χ

(1) (1)

:1

2},

:2

3}

1

p

T

1

q

T

1

p

T

- 2 ,

1,

-3.

zu

[,] [2,1]

для решения обеих вспомогательных задач. В результате получим и

соответственно.

Согласно теореме П.9

vν=

есть решение задачи (2.51),

если при

=νможно найти такие

и

, что все ограничения в

задаче (2.51) удовлетворяются.

Решения первой и второй вспомогательных задач равны

1* 1

vz=

кажем, что при чения в задаче (2.51) удовлетворяются. Так как

и

2* 2

vz=

мы можем найти такие z1 и z2, что все ограни-

=

соответственно. Поэтому,

*2

ν

v =

есть реше-

. По-

ние второй задачи, то последние три ограничения в задаче (2.51) удовлетворяются. Легко проверить, что первые три ограничения в

1

задаче (2.51) удовлетворяются при

vv==

и любом

Таким образом, решение задачи (2.51) равно

2

z =

. Следовательно,

L

случае

χχ

1,1 1

=

L

=

1,1

(см. рис. 2.2).

. Следует отметить, что в данном

v =

z ∈−

1

−≤ ≤

,

.

и

Шаг 3. Поскольку имеется только одна подобласть, то она же и

содержит наибольшую верхнюю границу.

Шаг 4. Разбить область {1, 3} на две подобласти

{θ

T =≤≤

p

1

θ

{θ

T =≤≤

q

1

θ

.

Шаг 5. Определить верхние и нижние границы для подобластей

и

. Верхняя граница для подобласти

определяется реше-

нием задачи

Решение этой задачи имеет вид третье ограничения являются активными. Таким образом, верхняя

94

min ,

u

,

zu

+≤

−≤ +≤

zu =

, при этом второе и

граница

(1)

1

p

T

1

q

T

- 3,

3,

- 9 .

zu

[,] [6,3]

(1) 3

i

H

1

q

T

i

S

i

H

- 2 ,

3,

-3 ,

- 3 ,

5,

- 9 .

ννννν

ν

[][2]

(1) 2

2

3

1

(1) 4

(1) 2

20,01,

добласти

U

χ

для подобласти

p

1,

1

равна 1. Верхняя граница для по-

определяется решением задачи

min ,

u

,

zu

+≤

−≤ +≤

Решение этой задачи имеет вид

zu =

ограничения являются активными. Следовательно,

, при этом второе и третье

U

χ

=

q

1,

1

. Актив-

ным ограничениям соответствуют активные точки θ = 2 и θ = 3. Следовательно,

решая задачу (2.43), в которой

= {2;3}.Найдем нижнюю границу для подобласти

=

= {2; 3},

min ,

v

12

,,

zz

ν

1

z

+≤

1

z

−≤

1

z

2

z

2

z

2

z

+≤

−≤ +≤

Опять используя, подход, основанный на теореме П.9, мы получим решение

Шаг 6.

*

v =

1

µµ

==

Шаг 7. Мы имеем

. Следовательно,

.

1

,1

U

θ

= ,

L

χ

,1

L

θ

= ,

q

1,

1

ηχ

l

1

=

.

U

==,

1,1

U

µµ

==.

1,1

l

1

Так как

,1 ,1

UL

θθ

−=≥

ημ

ll

11

,

то условия (2.13) (раздел 2.2.1 [13]) не выполняется.

95

Шаг 8. Так как

χ (1)

1

p

T

1

q

T

1

q

T

1

q

T

:2

2,5}

:2,5

3}

χ (1)

2

p

T

2

q

T

(1) 2

3

2

(1) 3

(1) 2

10,01,

χ ()

d

()

d

(2) 1

() max (,θ),

(2) 1 1 2

)minmaxmax (,,θ,θ)

U

1,

p

1

μ

<

, то подобласть

должна быть уда-

лена.

Шаг 9. В списке подобластей мы должны заменить T

добластью

.

(T1 = T) по-

1

Шаг 10. Перейти к шагу 3.

Вторая итерация (k = 2):

Шаг 3. В списке подобластей содержится только подобласть

,

поэтому

Шаг 4. Разбить подобласть

T =≤≤

p

2

Шаг 5. Определить верхние границы

границы

Шаг 6. Шаг 7. Мы имеем

µµ

==.

lq

2

{θ

U

1,

=

l

q

2

1

θ

L

1,

p

2

μχ

==.

2

.

и

{θ

T =≤≤

q

2

для подобластей

L

1,

q

1

θ

,

Uq

на две подобласти

.

θ

U

1,

p

2

и

.

,

1

Lq

1

,

=

θ

=

U

,

1,

,

q

2

ηχ

и нижние

U

==,

1,

lq

2

1

Так как

,,

Uq Lq

11

θθ

−=≥

ημ

ll

22

то условие (2.13) (глава 2, раздел 2.2.1 [13]) не выполняется. Мы должны продолжить итерации.

2.5.2. Вычисление функций гибкости

Функция

гибкости

χ

(см. (1.75)) может быть представлена в

2

виде

χ

где

96

(,θ

hd gdz

dhd

=

2

= . (2.53)

z

11

θ

T

∈

22

θ

∈

T

∈

jJ

(2.52)

j

Поэтому вычисление функции гибкости

()

d

T

) , 1,..., .

gdz vj m

()

d

()

d

1

i

T

1

( ) maxminmaxmax ( , ,θ,θ).

(2) 1

() max (,θ)

()

d

()

d

1

i

T

min max max max ( , ,θ),

g

minmaxmaxmax ( , ,θ)

gdz

()

d

()

d

2

U

2,

U

i

1

U

1,

U

i

2

U

2

U

T

()χ().

dd

зации функции h

(2)

(d,θ1) в области

χ

сводится к максими-

2

1

по переменным θ1. Используя

теорему П.4 и равенство (П.1) сведем задачу (2.53) к виду

(2) 1

(,θ )min,

hd v

max ( , ,

22

θ

∈

T

=

zv

,

12

θ,θ

j

≤=

(2.54)

Подобно функции для подобласти

χ

dgdz

ij

2,

можно ввести функцию гибкости

χ

2

области T1

=

11 2 2

z

TT

∈∈

θθ

i

jJ

∈

2

(2.55)

χ

2,

i

Аналогично формуле (2.52) эта функция представляется в виде

χ

dhd

=

2,

i

11

θ

T

∈

i

Введем вспомогательные функции щие всей области T

1

и любой ее подобласти

U

χ

=

2

U

χ

=

2,

ij

112 2

z

∈∈

θθ

112 2

z

θθ

∈∈

TT

i

jJ

∈

jJ

∈

χ

. (2.56)

и

U

χ

, соответствую-

2,

i

U

2

,

j

dz

(2.57)

. (2.58)

Эти функции получены изменением порядка выполнения первых двух операторов в функциях

ва функций

χ

и

χ

. Они аналогичны свойствам функций

χ

2

и

χ

. Рассмотрим некоторые свойст-

2,

i

χ

и

χ

Свойство 1. Функция

цу функции

в области

χ

Это свойство непосредственно следует из неравенства (П.2). Учитывая (2.52), получим

определяет некоторую верхнюю грани-

χ

1

U

χ

≥

22

97

(2) 1 1 1

dhd T

2,

U

i

(2) 1 1 1

i

dhd T

11

.

i

dd TT

()

d

2,

U

i

() minmaxmax (,,θ),

dgdz

12 1 12 2

,θ:

,

)

TTT

1

max

i

T

2

max

T

min max max ( , ,θ)

gdz

1

max

i

T

2

max

T

()χ()

dd

()

d

()

d

1

i

T

()

d

()

d

i

T

i

T

Аналогично для

U

χ () (,θ ), θ

≥∀∈

2

χ

получим

.

U

χ () (,θ ), θ

≥∀∈

2,

. (2.59)

i

Свойство 2. Существует следующее неравенство

UU

χ () χ (), если

Это неравенство следует непосредственно из вида функции

≤⊆

2, 2,

jij

U

χ

i

2,

(см. (2.58)).

Свойство 3. Функция

χ

U

2,

χ

может быть представлена в виде

=

ij

∈

zZ

θ

∈∈

jJ T

i

(2.60)

где

Объединяя операторы

{θ

=∈∈. (2.61)

ii

θ

и

1

θ

∈

θ

в формуле (2.58), на основании

2

θ

∈

соотношения (П.1), получим

где

T определяется формулой (2.61). Опять используя соотношение

i

(П.1), мы можем поменять местами операторы

U

χ

=

2,

ij

1

z

∈

jJ

θ

∈

T

i

,

и

1

θ

∈

θ

∈

, тогда

2

окончательно получаем формулу (2.60). Учитывая формулы (2.35) и (2.60), получаем следующее равенство:

UU

χ

= , (2.62)

ii

1, 2,

T определяется формулой (2.61). Отсюда вычисление верхней

где

i

границы нию верхней границы

ласть

98

U

χ

i

2,

функции

U

χ

1,

χ

i

определяется формулой (2.61). Таким образом, значение

в области

2,

i

функции

сводится к вычисле-

χ

1,

i

в области

, где об-

()

U

d

i

T

1

(; )

A

JdT

i

T

1

T

1,( )

k

N

1

... .

k

2

.

1

i

T

1, 2 ( 2 ) 1,

min max max ( , ,θ,θ)(,θ),

U

1

()

i

rT

1

i

T

1,

i

1

i

T

1

i

T

() 0

i

2,

U

i

1

i

T

1,

i

1

T

() 0

1,

)

i

12 1 1, 2 2

,θ:

)

TT T

11,

)

i

11,

i

1

i

T

1,

i

T

ii

TT

χ

определяется формулой (2.61). Обозначим через

находится решением задачи (2.42), в которой подобласть

2,

i

во активных ограничений в задаче (2.42), если подобласть деляется формулой (2.61).

Свойство 4. Пусть область

(i=1,…,

), где k – номер итерации метода ВГ.

разбита на Nк подобластей

множест-

, опре-

T

i

,

1,( ) 1,( ) 1.( )

TT T T=∪∪

12

kk

(2.63)

N

k

Тогда имеет место следующее неравенство

U

max χχ

i

≥

,2

(2.64)

i

Это неравенство является следствием того факта, что неравенство

(2.59)

справедливо для всех подобластей

.

Свойство 5. Имеет место следующее равенство:

где добласти

lim χ

i

()0

rT

→

1

==

2,

ij

z

jJ

∈

gdz h d

22

θ

T

∈

характеризует размер подобласти

, в которую стремиться

ii

;

θ

1

rT →

при

i

свойство следует непосредственно из вида функции

Свойство 6. Пусть

1

rT →

i

.Обозначим через

чений в задаче (2.42) при

сжимается в точку

(;θ

Jd

A

== = ∈ . Тогда су-

ii

множество активных ограни-

{θ

θθ,θ

θ

i

– такая точка в по-

(2.65)

1

, (

T →θ

i

χ

[см. (2.58)].

θ

()

). Это

,1

i

∈

при

ществует соотношение

при

lim θ

T

i

1

()0

→

rT

i

=

lim ( ; ) ( ;θ

1

()0

→

rT

i

.

Это соотношение является следствием того факта, что, когда сжимается в точку

θ

формулой (2.61), преобразуется в задачу (2.42), в которой

JdT Jd

Ai A

=

, задача (2.42), в которой

определяется

= .

99

Рассмотрим теперь проблему вычисления нижней границы функ-

()

d

11

TT

()

d

()

d

,

, 1,... ,

,

l

g

1,

i

T

i

H

,

i

1

((;))

jJdT

()

d

()

d

(2) 1

)

1

()

d

()

d

()

d

()

d

ции гибкости

χ

в некоторой подобласти

2

. Используя те

⊂

i

же самые рассуждения, которые мы использовали для определения нижней границы функции гибкости

дачу для определения нижней границы функции гибкости

L

χ () min,

du

=

i

2,

max , ,θ

22

θ

T

∈

i

где S

– произвольное множество точек

l

zu

,

1, 2 1,

lli

dz u j m S

()

j

θ

≤= ∈

χ

, получим следующую за-

1

θ

области

θ

1

. Используя те

χ

:

2

(2.66)

же самые рассуждения, которые мы использовали для выбора мно-

жества

в качестве S

тывая свойство 6), что разумно брать точки стве

i

S в задаче (2.66). Имея алгоритмы для вычисления верхней и

нижней границ функции гибкости чения функции гибкости

ции функции

hd в области T

i

для задачи (2.49), мы можем заключить (учи-

j

θ

∈ в каче-

Ai

χ

мы можем вычислять зна-

2

χ

, применяя метод ВГ для максимиза-

2

(,θ

1

по переменным

.

θ

2.6. Многоэкстремальность и теория гибкости

Подробно

функции ной системы при заданном d, если выполняется неравенство (1.54)

при условии, что найдено глобальное решение для ный максимум в задаче (1.56)). Пусть мы используем метод ВГ для

вычисления программирования, используются локальные методы оптимизации.

Покажем, что метод ВГ получает глобальное решение для

(

см. (1.55)), если выполняется следующее условие

Условие 3.

а

) функции gj(d,z,θ) являются строго квазивыпуклыми по пере-

менным z;

100

2.6.1. Анализ многоэкстремальности функции гибкости

обсудим проблему многоэкстремальности только для

χ

. Ясно, что мы можем гарантировать гибкость слож-

1

χ

(глобаль-

1

χ

, в котором для решения всех задач нелинейного

1

χ

1