Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современные методы оптимизации сложных систем. Оптимизация технических систем в условиях неопределенности. Учебно-методическое пособие
.pdf
u
,
zu
2,
zdu
9.
zdu
()
d
)min,
1,
9.
h
zuzu
1,
Обозначим
через a, прямую
через b прямую
a
1
A
0
1
c
-1
-3
Рис. 2.1. График для примера
θ
−+ =
2θ
−+−=
b
z
через c прямую
Обозначим через А точку пересечения прямых a и b.
Сначала найдем значение
Построим функцию
h θ
необходимо решить задачу (2.4) для каждого значения θ в
()
6θ
−+ − =
χ
при d = 1. Задача (2.1) принимает вид
1
(1,θ
zu
−+ ≤
θ ,
−+≤
2θ
−+ − ≤
6θ
1,θh
в интервале [1, 3]. Чтобы построить
()
u
=
,
zu
(2.4)
71
интервале [1, 3]. Это задача линейного программирования с двумя
{,}
zu
1
(1,1) min ,
3.
hu
2θ1
31
22
11
22
11
).
22
9θ5
2
5
θ
переменными
. Сначала найдем h(1,1). При
=
, задача (2.4)
принимает вид
=
,
zu
1,
zu
−+≤
1,
zu
−≤
zu
−−≤
(2.5)
Допустимая область, определяемая первым неравенством в задаче
a,
находится выше прямой a (заштрихованная область на рис.2.1);
область, определяемая вторым неравенством, находится выше прямой b и область, определяемая третьим неравенством, находится
выше прямой c.
Легко видеть, что точка А(1,0) пересечения прямых a и b соответствует решению задачи (2.5), так как в этой точке переменная u принимает наименьшее значение в допустимой области. Отсюда, h(1,1) = 0. Таким образом, в точке решения активными являются первое и второе ограничения. Найдем вид функции h(1,θ) для θ >1. Ясно, что прямые a и b
будут активными, пока точка A их пересечения будет выше прямой c. В
этом случае координаты точки A будут решением задачи (2.4). Они могут быть получены решением уравнения θ
zz−+ = − +.
Отсюда следует
Следовательно,
Это уравнение будет верно в некотором интервале
прямые a и b являются активными. Отсюда значение θсоответствует
моменту, когда изменится множество активных ограничений. Это
случится, когда точка А окажется на прямой c. В этом случае точка A
будет находиться на пересечении трех прямых a, b и c. В этой точке
,
=
u =−
72
θ
z =−,
(1,θ
h == − θ +
u =− + .
θ
1 θθ≤≤
, пока
.
При
9θ5
16θ9.
5,
4.
)2θ4.
11 9
22 5
активными будут прямые c и b. Координаты точки пе-
>
ресечения этих прямых будут находиться из следующего уравнения
2θ
zz−+=−+−
Таким образом, мы получаем
4θ
z =−
2θ
u =−
Следовательно,
(1,θ
h == −
Таким образом,
⎧
θ если 1 θ
−+ ≤≤
⎪
(1,θ)
Функция
,θhd при произвольном d. В этом случае мы будем использовать
()
h
1,θh
приведена на рис. 2.2. Найдем теперь вид функции
()
⎪
=
⎨
⎪
−>
2θ 4, если θ .
⎪
⎩
9
(2.6)
5
те же самые рассуждения, с помощью которых была получена формула (2.6).
2
3
Рис. 2.2. Функция гибкости h(1,0)
73
Прямая a лежит выше прямой c, если выполняется неравенство
6θ9
zz d
5θ.
9
2θ2.
zz d
1,
1.
)
1.
16θ9
1,
9θ5
d
9θ5
d
9θ5
d
26
9.
zdzd
θ
−+ > + −
или
d > (2.7)
Пусть это условие выполняется. В этом случае прямые a и b будут
активными в точке решения задачи (2.3). Координаты точки решения
могут быть получены решением уравнения
θ
−+=− +−
Отсюда получаем
31
zd=+−
θ
22
11
ud=− − +
θ
22
(2.8)
Следовательно,
(,
hd d== − − +
θ
11
θ
22
Это уравнение будет верно в некотором интервале 1 θθ≤≤ пока
точка А пересечения этих прямых не окажется на прямой c. В этом
случае точка A будет находиться на пересечении трех прямых a, b и
c.
В этой точке координаты z и u [см. (2.8)] должны удовлетворять
уравнению прямой c. Подставляя выражения для z и u из (2.8) в
уравнение прямой c, получим
31 11
ddd+−+−=−−+
θ
22 22
или
= . Итак, при
раничения задачи (2.3), а при
третье ограничения задачи (2.3). В последнем случае координату
точки пересечения прямых b и c находим из условия
2θ
−+−=−+−
Отсюда имеем
74
θ
≤ будут активными первое и третье ог-
будут активными второе и
≥
θ
41,
251
11 9
22 5
dd
max
)
hd
9
5
,
d
d
11 9
22 5
dd
max
15
9
() max ,
dhd
() max( , 7 5)
ddd
13
9
11 13
.
22 9
()
d
Таким образом,
hd
4θ
zd=−−
⎧
−− + ≤≤
⎪
(,θ)
⎪
=
⎨
⎪
2θ 51, если θ .
⎪
⎩
ud=θ− +
.
θ 1, если 1 θ
(2.9)
dd
−+ >
9
5
Обозначим через
θ значение θ в точке максимума функции (,θ
Отсюда
θ argmax ,θ
==
max
max ,θ
θ
T
∈
T
θ∈
hd
=
()
Согласно (2.10) в точке
d ≤ . Поскольку
χ
1
χ
=−−.
1
Следовательно,
⎧
⎪
χ ()
⎪
=
d
⎨
1
⎪
⎪
⎩
⎧
1, если 1 θ
⎪
hd
()
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
3, если θ
⎪
⎩
, если 1 θ
−≤≤
⎨
⎪
−≥
75,
⎪
⎩
если θ .
dd
≤≤
9
≥
5
9
5
(2.10)
θ = 3 должно выполняться условие
= (см.(1.56), то
θ
T
∈
θ
()
11
22
75 , если
dd
−≤
, если
−≥
dd
.
Вид функции
χ
в интервале 30 ≤≤ d приведен на рис. 2.3.
1
75
(d)
()
d
(1) 2.
(1)
3}
2
{1 2}
9
5
()
d
13
9
()
d
max
1
7
1
0
-1
1
1,44
2
3
d
Рис. 2.3. Функция гибкости
Проанализируем вид функции h(1,θ) (рис. 2.2) и
χ
. Из рис. 2.2
1
видно, что функция h(1,θ) имеет два локальных максимума в точках
θ = 1 и θ = 3. Последний локальный максимум является глобальным.
χ
Поэтому
d = 1
недопустима для области неопределенности
=
1
Поскольку
другой стороны, в каждой точке интервала 1 θ
χ
положительно, то конструкция
1
{1 θ
T =≤≤
≤≤, функция h(d,θ)
. С
неположительна. Следовательно, конструкция d = 1 допустима для
области неопределенности
Заметим, что функция h(1,θ) не имеет производной в точке
T =≤θ≤
.
θ
=
Это точка, в которой изменяется множество активных ограничений.
Рассмотрим теперь функцию
эта функция не имеет производной в точке
χ
(см. рис. 2.3). Мы видим, что
1
d =
. Таким образом,
.
из анализа задачи (2.3) вытекает, что функции h(d,θ) и
χ
1
являют-
ся, вообще говоря, недифференцируемыми функциями, а функция
h(d,θ)
ности функции h(d,θ) состоит в том, что оператор
76
может быть многоэкстремальной. Причина многоэкстремаль-
не сохраняет
j
свойство вогнутости даже если сами функции
()jgx
()
d
()
d
()
d
()
d
)jgdz
()
jJ
)jgdz
()
jJ
,
)max(,,θ),
).zZhd gd z
являются вогну-
тыми. Таким образом, прямое вычисление значения функции
χ
с
1
помощью решения задачи оптимизации (1.56) имеет следующие недостатки:
1.
Необходимо решать задачу (2.1) для каждого θ, т.е. задача явля-
ется двухуровневой.
2.
Для решения задачи (1.56) необходимо использовать методы
глобальной, недифференцируемой оптимизации, требующими значительных вычислительных затрат.
Мы рассмотрим подходы, которые позволят избежать использования методов глобальной, недифференцируемой оптимизации. Однако удовлетворение некоторых условий выпуклости (вогнутости)
будет необходимо для получения глобального решения. Рассмотрим
следующие методы вычисления функции
χ
: – метод перебора; –
1
метод множеств активных ограничений; – метод смешанного дискретно-непрерывного, нелинейного программирования (СДННП) и
метод ветвей и границ. Первые три метода легко обобщаются для
вычисления функции
χ
мы рассмотрим только метод ветвей и границ.
2
χ
. Поэтому для вычисления функции
2
2.2. Метод перебора
перебора был предложен Халеманом и Гроссманом [1]. Мы
Метод
будем предполагать, что функции g
(d,z,θ) удовлетворяют следую-
j
щему условию:
Условие 1. Функции
(,,θ
∈
совместно квазивыпуклы
по переменным z и θ.
Теорема 1. Если функции
вию 1, то максимум функции
дится в одной из угловых точек области T. Пусть
тогда
(,,θ
hdθ
(,,θ
gdz g dz
=
(,) min (,,θ
θ= (2.12)
∈
(решение задачи (1.56)) нахо-
()
j
∈
jJ
удовлетворяют усло-
∈
(2.11)
77
Доказательство. Покажем, что функция
)
h
gdz
,1 ,1 )max(,,,,,,
11
22
11
)
22
)
1
1
)max(min ,,θ,
.
1
)(,α1
1
)
1
max ,θ,,θ.
() max ,θ,
выпуклой по переменным θ. Согласно теореме 2.3 из [13], функция
,,θ
()
имеем
является квазивыпуклой по переменным z и θ. Поэтому мы
является квази-
(,θ
d
gd z z gdz gdzα+ −α αθ+ −αθ≤ θ θ
()
[,θ]z
где
удовлетворяет условию
argmin ( , ,θ
zgdz
=
сано в виде
Используя определение минимума функции, получаем
min ( , ,αθ
zZ
∈
≤
Используя (2.12), получаем
Отсюда функция
(
см. (1.8) в [13]). Следовательно, в соответствии с теоремой 2.5 из
максимум функции
[13]
области T.
Использовав эту теорему, мы можем свести задачу (1.56) к сле-
дующей задаче:
() () ( )( )
1212 1122
[,θ]z
и
zZ
∈
,α
gd z z gdz+− +− ≤
1212 1
(
gdz gd z z
max min , ,θ ,min , ,θ .
(
zz
hd hd hd+− ≤
()
являются произвольными точками и параметр α
0 α1≤≤
, тогда неравенство (2.13) может быть перепи-
α,αθ
() () ( )
min , ,θ
z
αθ
+− ≤ +− +− ≤
() () ()
121212
gdz gdz
()()
12
,αθ
12 12
αθ
()
,θhd
является квазивыпуклой по параметру θ
()
()
. Пусть
αθ
gdz
()
)
2
argmin ( , ,θ
zgdz
=
zZ
∈
z
α,αθ
)
()()
()
,θhd
находится в одной из угловых точек
(2.13)
и
αθ
χ
dhd
Здесь {T} есть множество угловых точек области T.
Таким образом, использование этой теоремы позволяет сущест-
венно уменьшить пространство поиска в задаче (1.56), так как мак-
78
=
1
θ∈
T
{}
(2.14)
()
симум функции
()
d
1, 3 2
(1) 2
2
n
n
s
0
() 0
2
n
n
n
n
n
,θhd
может находится только в одной из вершин
()
области T. Халеман и Гроссманн предложили искать максимум
функции
,θhd
путем последовательного решения задачи (2.1) в
()
каждой из угловых точек области T.
Применим этот подход для вычисления функции
χ
1
для d = 1 в
примере 1. В этом примере все ограничения линейны. Однако линейные ограничения являются квазивыпуклыми функциями. Следовательно, мы можем применять теорему 1. Мы видели уже, что локальные максимумы действительно находятся в угловых точках точках
θ = 1 и θ = 3. Согласно теореме, приведенной в работе [13] мы должны
найти значения
,θhd
только в точках θ = 1 и θ = 3, т.е. мы должны
()
решить задачу (2.3) для θ = 1 и θ = 3. Решая эти задачи, получим
()
падает с результатом, полученным ранее геометрическим путем.
01,1 =h
и
h =
()
. Следовательно,
χ
1
Число угловых точек в области T равно
=
. Этот результат сов-
θ
. Поэтому вычисли-
тельные затраты растут экспоненциально с ростом числа неопределенных параметров. Например, для решения задачи (2.14) при
=20, задача (2.1) должна быть решена 1048576 раз. В некоторых
θ
случаях может не потребоваться решать задачу (2.1) во всех угловых
точках области T. Например, пусть требуется только проверить допустимость конструкции d (определить знак функции гибкости). То-
гда, если при переборе угловых точек встретится точка θ
s
,θ
hd >
()
, то это значит что
χ
d >
1
и конструкция d является
, в которой
недопустимой. Поэтому в этот момент перебор может быть прекращен. Однако в худшем случае число решений задачи (2.1) может
быть равно
Итак, для больших
θ
.
процедура перебора может потребовать ог-
θ
ромных вычислительных затрат. Поэтому разумно применять этот
подход только для задач, в которых
сравнительно мало (
θ
< 5).
θ
Однако этот вывод справедлив только для последовательных вычислительных машин. Другая ситуация возникнет при использовании параллельных вычислительных машин. Дело в том, что этот подход удобен для распараллеливания вычислений, поскольку в каждой угловой
точке задача (2.1) может решаться независимо. В этом случае число
, при котором целесообразно решать задачу вычисления значения
θ
79
функции гибкости, может существенно возрасти. Оно будет зависеть
z
nn
( , , ), (1,..., )
gdz j J m
, ,..., , 1
(,,) 0,
A
jJ
z
n
n
A
J
1
,1,,,
gdz u j p
1
1
.
( 1)!( 1)!
от числа параллельных процессоров, имеющихся в компьютере.
2.3. Метод множеств активных ограничений
метод был предложен Гроссманом и Флоудасом [14] . Рас-
Этот
смотрим следующую теорему.
Теорема 2. Если каждая
функций
θ∈=
j
gg
∂∂
⎛⎞
12
⎜⎟
zz z
∂∂ ∂
⎝⎠
×
-подматрица матрицы Якоби от
z
по переменным z
g
∂
m
mn
≥+
z
имеет полный ранг, то число активных ограничений (
1,
∈ ), в задаче (2.1) равно
z
zR+∈
. Здесь
gdzθ=
j
– множество
индексов активных ограничений.
Мы не будем приводить доказательство этой теоремы; покажем
только справедливость следующего неравенства:
pn≤+
. (2.15)
z
Предположим без потери общности, что активными в задаче (2.1)
являются первые p ограничений
где
][**uz
– решение задачи (2.1). Соотношения (2.16) определяют
()
j
систему p уравнений с n
==…
+1 неизвестными z* и u*. Если
z
(2.16)
pn>+
, то
z
**
,,θ
система уравнений (2.16) является переопределенной и, следовательно, она может иметь решение только в исключительных случаях. Поэтому имеет место неравенство (2.15). Гроссман и Флоудас [14] по-
казали, что
pn=+
z
. Отсюда число
n активных ограничений в
AS
задаче (2.1) равно
!
n
=
AS
nmn
m
+−−
zz
Эта теорема лежит в основе метода множеств активных ограничений.
Он состоит из следующих шагов.
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]