Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современные методы оптимизации сложных систем. Оптимизация технических систем в условиях неопределенности. Учебно-методическое пособие
.pdf
Рассмотрим частный случай, когда известен закон изменения па-
i
),
i
) 0, (1,..., ).
gdz j m
раметров θ во времени и известна продолжительность t
этапа функ-
f
ционирования ТС. Разделим этап функционирования ТС на ряд периодов ),...,1( pit
этапа функционирования ТС (и соответствующий вектор z
i
= и используем среднее значение θ
параметра
i
управ-
ляющих переменных) i-го интервала. В этом случае задача (1.9) примет вид
p
j
min ( , ,θ
,
dz
ii
(, ,θ
fdz
∑
i
1
=
i
≤=
i
Заметим, что переменная d не зависит от номера i. Это многопериодная задача.
В большинстве реальных случаев не известен закон изменения
параметров θ, и мы знаем только, что θ должно принадлежать некоторой области T. Иногда, кроме этого, известны функции плотности
вероятностей этих параметров.
Создание гибкой ТС требует решения следующих двух главных
задач:
1. Оценка гибкости ТС.
2.
Оптимизация в условиях неопределенности.
В задаче 1 можно выделить две подзадачи. Первая подзадача –
оценка гибкости ТС при заданных значениях конструктивных переменных [1]. Вторая подзадача – оценка гибкости заданной структуры
ТС. Задача 2 состоит в определении оптимальных значений конструктивных переменных, гарантирующих гибкость ТС. Эта задача
эквивалентна задаче определения оптимальных коэффициентов запаса. В качестве целевой функции этой задачи должна быть некоторая
величина, характеризующая работу за весь этап функционирования.
В качестве ограничения должно использоваться условие гибкости.
Пример. Рассмотрим ХТП, состоящий из реактора и теплообменника с рециклом (см. рисунок) [1]. В реакторе объема V происходит
экзотермическая первого порядка реакция вида BA → . Рецикл
с расходом F
(
) используется для управления температурой T
1
в реак-
1
торе. Противоточный теплообменник предназначен для охлаждения
рециклического потока (с расходом F
W.
Процесс служит для получения полезного продукта В.
) холодной водой с расходом
1
11
00 1 0 0 1
() exp()
A
FC C C Vk ERTC
()( ) ( ) ,
A
000
/Akkc
0
A
HHc
H
() ( ),
[( ) ( )]
,
ln ( )/( )
()
H
Схема химико-технологического
процесса «реактор – теплообменник»
Математические модели реактора и теплообменника имеют вид
реактор:
уравнение материального баланса
−=− , (1.12)
AA A
уравнение теплового баланса
здесь
HFC C C Fс TT Q−Δ − = − + (1.13)
00 1 00 10
= и
AA p HE
Δ=Δ⋅ , где
k и
0
Δ – действительные
константа скорости и теплота реакции;
теплообменник:
уравнение теплового баланса
QFCTTCFTT=−= − (1.14)
110
HE p p w w w
w
21
уравнение теплопередачи
TT TT
−−−
12 21
где F
, T0, CA0 – расход (кг моль⋅ч–1), температура (K) входного пото-
0
QAU
=
HE
ка и концентрация вещества А (кг⋅моль⋅м
C
– объем реактора, (м3), температура в реакторе (K) и концентра-
A1
ция вещества А (кг⋅моль⋅м
реакции (кДж⋅кг
пература рецикла; c
12
–1
⋅моль–3); F1 (кг⋅моль⋅ч–1) – расход рецикла; T2 – тем-
, cpw – теплоемкости рециклического потока и
p
ww
TT TT
−−
{}
1221
ww
–3
–3
) в выходном потоке;
(1.15)
) во входном потоке; V, T1,
– теплота
−Δ
охлаждающей воды (кДж⋅кг
010
conv ( )/
A
ccc
conv 0,9 0,
11 389,
()11,10,
0,
0,
301 355
1
691,2 873 1,76 7056
fV A FF
ная температура и расход охлаждающей воды (кг⋅ч
ность теплообмена в теплообменнике (м
теплопередачи (кДж⋅м
–1
–2⋅ч–1⋅K–1
⋅моль–1); Tw1, Tw2, W – входная и выход-
–1
2
); U – полный коэффициент
); A – поверх-
).
В этом примере уравнения (1.12)–(1.15) аналогичны уравнению (1.6).
Рассмотрим теперь вид ограничений (1.7) в этой задаче. Мы требуем, чтобы конверсия
=− в реакторе была не
AA
меньше 0,9 и температура в реакторе T1 не превышала 389 К и была
больше чем 311 К. В теплообменнике минимальная разность температур между холодным и горячим потоками не должна быть меньше
чем 11,1. Неравенства (1.19), (1.20) требуют, чтобы на выходе теплообменника температура горячего потока была меньше, а температура
холодного потока была больше соответствующих температур на входе в теплообменник. Кроме того, имеются ограничения на темпера-
туру
T теплообменника. Таким образом, в данном случае ограни-
1w
чения (1.7) имеют вид
−+≤ (1.16)
T≤≤ (1.17)
1
TT−− + ≤ (1.18)
21
w
TT
−≤
21
TT
−+≤
21
ww
T≤≤
1
w
(1.19)
. (1.20)
Целевая функция имеет вид
=⋅+⋅+⋅+⋅.
0,7 0,6
w
Целевая функция включает капитальные затраты на реактор и теплообменник (первые два члена) и оперативные затраты на охлаждающую воду и перекачку рециклического потока (последние два
члена). Конструктивными переменными являются объем реактора V
и поверхность теплообмена в теплообменнике A.
Предположим, что на этапе проектирования известно, что при
функционировании ТС расход и температура входного потока в реактор и температура охлаждающей воды могут колебаться в некоторых (известных) пределах. Кроме того, можно предположить, что
13
значения константы скорости
[, , ,,,]
yTTcTFW
[]
xc, T, F, W
12 21
()()
TT T T
exp( )
conv ,
exp( )
ERT
2121
(),
w
TTTT
12
()
cT T
21
()
cT T
k и коэффициента теплопередачи U
0
известны неточно. Отсюда в данном примере в качестве неопределенных рассматриваются следующие параметры [F
Другие параметры, например, C
, ΔH, и E также могут рассматри-
A0
, T0, Tw1, k0, U].
0
ваться как неопределенные. Выбор множества параметров, которые
должны рассматриваться как неопределенные параметры, очень важен. Выбор большего числа параметров в качестве неопределенных
может сделать задачу оптимизации в условиях неопределенности
крайне трудоемкой. С другой стороны, невключение некоторых параметров в число неопределенных параметров может существенно
повлиять на результаты анализа гибкости процесса. К сожалению, не
существует строгих правил выбора множества неопределенных параметров. Однако существенную помощь здесь может оказать анализ
чувствительности математической модели, поскольку с его помощью
можно выбрать параметры, которые в наибольшей степени влияют
на процесс. Остающиеся переменные
=
12121
wA
являются изменяемыми переменными. В данной задаче имеется
четыре ограничения равенства (1.12)–(1.15). Таким образом, задача
имеет две степени свободы и, следовательно, мы можем выбрать две
управляющие переменные. Выберем в качестве управляющих
переменные [T
= .
12
A
, Tw2], тогда вектор переменных состояния имеет вид
1
При фактическом решении задачи мы использовали следующую
аппроксимацию уравнения теплопередачи (1.15):
−+−
QAU
= . (1.21)
HE
ww
2
Исключая из уравнений (1.12) – (1.14), (1.21) переменные состояния,
можно получить следующие выражения:
Vk С ERT
−
2( ) conv
=−−−+
HF
=
0
RA
FVkС
+−
00 1
RA
2( )
Fc T T
010
AU AU
Q
HE
=
14
F
1
p
,
−
−
01
−
p
Q
W
=
HE
pw w w
(1.22)
. (1.24)
−
(1.23)
w
Подставляя эти выражения в целевую функцию и систему ограни-
x
чений (1.16)–(1.20), мы получим задачу (1.9), (1.10). К сожалению,
мы не можем решать задачу (1.9), так как не знаем будущие значения
неопределенных параметров [
F , 0T , 1wT , 0k , U], которые они при-
0
мут на этапе функционирования ТС. Если мы будем использовать
номинальные значения неопределенных параметров, то сможем, решая задачу (1.9), найти значения объема реактора V и поверхность
теплообмена A в теплообменнике, которые могут быть использованы
при проектировании. Однако на этапе функционирования ТС величины расхода и температура входного потока, температура охлаждающей воды могут принять другие значения. Кроме того, константа
скорости реакции, коэффициент теплопередачи могут иметь значения, отличные от номинальных. Следовательно, мы не можем гарантировать удовлетворение всех ограничений (1.16)–(1.20). Например,
температура в реакторе может стать больше чем 389 К, и реактор
может быть поврежден. Поэтому важно найти решение, которое будет гарантировать удовлетворение всех ограничений для всех значений неопределенных параметров из области неопределенности.
1.1.1. Классификация неопределенных
параметров
Обозначим
через θ ,
совокупности неопределенных параметров
и переменных состояния, которые могут быть непосредственно измерены с помощью датчиков на этапе функционирования ТС. Пусть
θ ,
x
– совокупности неопределенных параметров и переменных со-
стояния, которые не могут быть непосредственно измерены с помощью датчиков на этапе функционирования ТС.
На этапе функционирования ТС можно выделить три группы неоп-
ределенных параметров. К первой θ
1
относятся параметры, значения
которых могут быть определены с достаточной степенью точности на
этапе функционирования. Другими словами на этапе функционирования имеется достаточно экспериментальных данных, позволяющих
определить «точные» значения этих неопределенных параметров. Ко
второй группе θ
2
относятся параметры, которые не могут быть коррек-
тированы на этапе функционирования. Другими словами область неопределенности для этих параметров остается такой же, как и на этапе
проектирования. К третьей группе θ
3
относятся параметры, значения
которых могут быть определены на этапе функционирования, однако
при этом имеется некоторая погрешность.
15
Предположим вначале, что математическая модель (1.6) может
1
,θ) 0, 1,..., , .
d
x
z
z
ϕ
1
dxz j J
ϕ
,θ)] ( , , ,θ,θ)]
быть записана в виде
ϕ=∈
(,,,θ, θ)0,
dxz j J
j
xxz j r j J
ϕ==∉
(,,,,θ
j
1
(1.25)
Таким образом, мы рассматриваем случай, когда в системе уравнений можно выделить подсистему, которая зависит только от измеряемых переменных состояния. Предположим, что мы имеем доста-
точно точные датчики для определения θ ,
при некотором
*
= . Если размерность вектор-функции
, которые измеряются
, имею-
щей компонентами функции
(,,,θ ,θ),
j
∈ больше или рав-
на размерности вектора θ
dim dim θϕ≥ , (1.26)
то значения параметров θ на этапе функционирования могут быть
найдены решением обратной задачи
min[ ( , , , θ
ϕϕ
θ
**
dxz dxz
T
. (1.27)
В этом случае все неопределенные параметры θ принадлежат к первой группе
1
θθ= . Если условие (1.26) не выполняется, то мы не мо-
жем определить значения параметров θ . В этом случае параметры θ
будут принадлежать к первой группе, а параметры θ – ко второй:
1
θθ= ,
2
. (1.28)
θθ=
1.1.2. Определение области неопределенности
на этапе проектирования
Рассмотрим
два случая. В первом случае мы не знаем плотности
вероятностей неопределенных параметров. В этом случае интервалы
неопределенности измеряемых параметров могут быть определены,
если известны максимальные погрешности измерения используемых
датчиков. Значительно сложнее проблема определения области неопределенности неизмеряемых переменных. Рассмотрим подробнее
16
этот вопрос. Пусть мы провели N экспериментов. Обозначим через
]
j
]
x
,
,
xx x
]
]
x
,δ]
x
12
,
j
y
j
x
12
,|
|δ.
,,
)] ( ,
,,
).
j
j
x
j
j
x
N
]
j
i
y
j
x
,...,δ,δ,...,δ)
N
yyxx
(0,...,0)
12
,...,δ,δ,...,δ): |δ|δ , |δ|δ}
j
[,θ
x
измеренные значения
θθδθ
jj j
jj j
в j-м эксперименте. Пусть
[,θ
=+
=+
(1.29)
δ
где [,θ
[δθ
знаем максимальные значения
jj
x – неизвестные точные значения величин
jj
– погрешности измерения. Из характеристик датчиков мы
δ
δ ошибок δ
jj
||δ
yxδ≤ ≤ (1.30)
δ
и
δ
[,θ
и
Рассмотрим задачу
N
min ( , δ
∑
θ
=
1
j
jj jjT jj jj
dx xz dx xz
ϕ+ + ϕ+ +
Если бы мы знали точные значения величин δθ
случае можно найти значения параметров
Однако нам известен только интервал изменения величин δθ
Отметим, что решение θ
некоторые функции величин δ
**
θδθ,θ
δ
θδθ,θ
и δ
решением задачи (1.31).
θ
(1.31)
, то в этом
и δ
[,θ
x
j
θθ(δ
=
NN
задачи (1.31) при известных
и
δ
11
N
.
суть
Часто предполагают, что погрешности измерения в выражения (1.29)
отсутствуют, при этом θ
N
есть решение задачи (1.31). В об-
щем случае область неопределенности параметров θ задается следующими условиями:
.
{(δ
11
yyxx y xΩ= θ ∀ ≤ ≤ .
N
NNj j
Использование области неопределенности в таком виде очень неудобно при решении задач анализа гибкости и оптимизации. В связи
с этим может оказаться целесообразным использовать в качестве области неопределенности наименьший многомерный прямоугольник,
17
включающий область Ω. Для этого мы должны найти
n
ˆ[θ,θ]
LUi
n
minθ(δθ,...,δθ;δ,...,δ),
maxθ(δθ,...,δθ;δ,...,δ),
xx
xx
j,δj
x
j
).
j
j
T
]
,
]
T
j
j
T
,
)
j
n
T
j
T
T
...
n
)
)exp ,
⎡
⎢⎥⎣
i
решением 2
следующих задач:
θ
пар
θ
i
LNN
=
θ
i
jj
yx
δ ,δ
UNN
=
θ
i
jj
yx
δ ,δ
ji
|δθ | δ | δ | δ .
≤≤
12
11
11
x
Заметим, при решении этих задач в каждой поисковой точке
δθ
[
] требуется решать задачу (1.31).
Пусть теперь известны плотности вероятностей неопределенных
параметров. Рассмотрим в начале случай, когда все параметры
θ
независимы, каждый из которых имеет плотность вероятности
ρ(θ
Тогда для каждого θ
jj
можно найти интервал
, удовлетво-
α
ряющий условию
α
где
Pr[θ
α
Pr[θ
j
∈ – вероятность нахождения θ
jj
j
T∈=
jj j
α
в
. Это условие
α
может быть переписано в виде
ρ(θ)θα
d =
jj j j
∫
α
j
T
j
(1.32)
ρ(θ
где
– функция плотности вероятности переменной
jj
случае область неопределенности есть
α
со сторонами
на
ααα
= . В частном случае нормального распределения [2]
12
где μ
– среднее значение параметра θj; σi – среднеквадратичное
α
α
θ
ρ(θ
ii
отклонение.
18
θ
– размерный прямоугольник
θ
; вероятность попадания θ в прямоугольник
2
−
2σ
⎤
2
i
⎦
1
=−
2π
σ
i
(θμ
ii
. В этом
α
рав-
В этом случае
j
T
:
, 1,..., ].
] 0,99904
j
(θ)exp(
)(
)
j
,)
NV
.
)(
)
n
)(
).
VC
)(
)}α.
T
)
j
Tk kjn=−≤≤+ =
α
имеет вид
j
α
j
[θ
j j jj j j jj
μσθμσ
θ
Имеются таблицы [2], по которым просто определить вероятности
(1.32).
Например, для 3,3=
k ,
j
Pr[θ
j
T∈=
j
α
.
Теперь рассмотрим случай, когда неопределенные параметры θ
не являются независимыми и имеют нормальное распределение вероятностей. В этом случае
ρ
=−−−
(2π)(det)
11
11
22
V
где μ – вектор средних значений параметров θ
матраца. Это распределение обозначается через
Ω , вероятность попадания θ в которую не меньше, чем α, удовле-
α
⎧⎫
θμ
⎨⎬
2
⎩⎭
1
T
V
−
θμ
,
и V – ковариантная
. Область
(µ
n
творяет условию
ρ(θ)θα
dΩ≥
∫
α
Необходимо отметить, что бесконечное число областей
творяет этому условию. При построении области
1
T
вать, что величина
(θμ
−−
V
−
θμ
Ω удовле-
α
будем учиты-
Ω
α
имеет распределение χ2 с
степенями свободы [3]. Рассмотрим область
1
T
Если мы возьмем С
[4,
табл. 3)], тогда
Pr{(θμ
(θμ
−−= (1.33)
как верхнюю α точку распределения χ2
α
−−≤=
−
θμ
1
T
−
θμ
VC
α
α
θ
Здесь область
есть многомерный эллипсоид.
α
Если известны маргинальные плотности вероятностей неопреде-
ленных параметров
ρ(θ
jj
для каждого параметра
строить область неопределенности как многомерный прямоугольник
θ
, то можно по-
19
(1.11), содержащий эллипсоид (1.26). Например, маргинальные плот-
11 12 2 22 12 1
)
,(
)
.
dd
11
)
22
)
12
12
ности вероятностей для n = 2
+∞ +∞
ρ(θ
ρ(θ,θ)θ
=ρ=
∫∫
−∞ −∞
θ
ρ(θ,θ)θ
В работе [2] показано, что
ρ(θ
и
ρ(θ
являются одномерны-
ми, нормальными плотностями вероятностей со средними значениями
и стандартными отклонениями
μ,μ
σ,σ
.
1.1.3. Принципы формулирования задач
оптимизации с учетом неопределенности
Задача
оптимизации при проектировании формулируется при
следующих предположениях:
1. В «жизни» ТС имеются две стадии – стадия проектирования и
стадия функционирования.
2. Имеются проектные требования, связанные с экономикой
процесса, производительностью, взрывобезопасностью, экологией, которые записываются в форме (1.7) или (1.10).
3. Имеются два типа переменных – конструктивные переменные d
(размеры аппаратов и переменные, задающие структуру ТС) и управ-
ляющие переменные z (температура, давление, расход и др.). На этапе функционирования конструктивные переменные остаются постоянными, а управляющие переменные, вообще говоря, могут изменяться. Поэтому на стадии проектирования можно использовать возможность настройки управляющих переменных для удовлетворения
проектных требований.
Следующие факторы влияют на формулировку условий гибкости
и задачи проектной оптимизации:
1.
Уровень неопределенности на этапе проектирования.
Возможны три варианта:
– на стадии проектирования мы знаем относительно неопределен-
ных параметров только их области неопределенности;
– кроме области неопределенности известны функции распреде-
ления всех или части неопределенных параметров;
–
мы знаем неполную информацию относительно функций распределения, например, не для всех параметров известны функции
распределения.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]