Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современные методы оптимизации сложных систем. Оптимизация технических систем в условиях неопределенности. Учебно-методическое пособие
.pdf
то перейти к шагу 11.
()
k
L
k
i
T
()
k
Q
() () ()
k
VLQ
k
TV
k
l
TTT
(1)
()
k
T
k
l
T
1
1
/2
Шаг 9. Создать множество
стей
()
, принадлежащих одновременно множествам L
ким образом
. Найти множество V
kk
=∩
(k)
подобла-
(k)
и
, та-
.
Разбить каждую подобласть
11kk
++
разом, что
() ()
ll
12
() ()
l
()
=∪ . Образовать новое множество
подобластей из старого множества
k
выми подобластями
Шаг 10. Положить
+
()
T
l
1
δ=δ
11
и
k
()
T
l
2
k
∈ на две подобласти таким об-
, заменяя подобласть
+
. Перейти к шагу 11.
()
и перейти к шагу 8.
kT+
но-
Шаг 11. Положить k = k + 1 и перейти к шагу 2.
Сделаем ряд замечаний.
1. При достаточно большом a (см. (2.87))на первом шаге условия
(2.88)
и (2.89) всегда не выполняются. Поэтому вычисление нижней
границы на первом шаге не проводится.
2. Заметим, что на начальных итерациях разность между верхней
и нижней границами обычно большая, поэтому согласно условию
шага 4 алгоритм пропускает вычисление нижней границы. Это позволяет избежать вычисления нижней границы на первых итерациях.
3.
Условие шага 8 позволяют избежать дробления подобластей,
размеры которых уже малы.
2.8. Сравнение методов ветвей и границ
и разбиений и границ
Сравним
методы ВГ и разбиений и РГ вычисления функции гиб-
кости. Оба метода имеют следующие две главные операции на каждой (k-й) итерации: вычисление верхней и нижней границ функции
гибкости; разбиение некоторых подобластей. Однако эти операции
отличаются в этих методах. Так, метод ВГ вычисляет верхнюю и
нижнюю границы функции гибкости отдельно для каждой подобла-
сти
)(k
.В большинстве случаев он дробит подобласть с наибольшей
T
l
верхней границей (в задаче максимизации), [16]. Цель дробления –
локализация максимума функции
,θhd в области T. Характерное
()
свойство метода ВГ состоит в ветвлении. С другой стороны, метод
111
РГ избегает ветвления. Он рассчитывает сразу наибольшую из верх-
k
N
()
k
l
T
( ), ( 1,..., )
l
dl N
()
k
i
T
max ( ,θ), 1,...,
hd i m
()
k
i
T
них границ подобластей T
, l = (1,…,Nk), имеющихся на k-й итерации,
l
и дробит подобласти, которым соответствуют активные ограничения
в задаче (2.72) вычисления верхней границы. Нижнюю границу он
вычисляет сразу для всей области T.
Рассмотрим преимущества и недостатки методов ВГ и РГ. Снача-
ла остановимся на методе ВГ. Пусть на k-й итерации область T разбита на
подобластей
. Верхние границы
U
χ=
1,
k
функции гибкости известны для всех подобластей из предыдущих
итераций. Напомним, что метод ВГ использует следующую страте-
гию. Он разбивает подобласть
, если ей соответствует наиболь-
шая верхняя граница. Если для каждой подобласти разность
U
χ
−=
i
1,
T
θ∈
i
(2.91)
мала, то с большой вероятностью максимум функции
,θhd
(для
()
всей области T) принадлежит l-й подобласти. Поэтому разумно дробить l-ю подобласть для уточнения положения максимума. Однако,
если эти разности не малы, то l-ю подобласть может не содержать
максимум функции
,θhd . В этом случае выбор подобласти
()
)(k
T не
l
является разумным, так как дробления этой подобласти будет бесполезным. Поэтому на будущей p-й (p > k) итерации метод ВГ должен
будет вернуться к одной из подобластей, полученных на одной из
итераций до k-й итерации. Ясно, что чем больше будут разности
(2.91),
(
тем чаще метод ВГ будет выбирать неправильную подобласть
не содержащую максимум функции
,θhd ) для дробления и, сле-
()
довательно, будет делать больше бесполезных вычислений. В случае,
если разности (2.91) будут велики метод ВГ вообще может выродиться в процедуру полного перебора.
В то же время мы показали, что в методе РГ дробление всегда
улучшает верхнюю границу. Поэтому в отличие от метода ВГ метод
РГ избегает ненужных дроблений. Таким образом, можно ожидать,
что метод РГ будет иметь преимущество перед методом ВГ, если
верхняя граница функции гибкости, используемая в нем, не дает хо-
рошее приближение к максимуму функции
ласти
. В противном случае можно ожидать, что метод ВГ будет
,θhd в каждой подоб-
()
иметь преимущество. Сравнение этих методов дается в таблице.
112
Сравнение методов ВГ и РГ
()
k
l
*
(,) 0,
,
(,) 0,
(,)
d
χ
(,) 0
0,
32,
58.
gz d
gz d
Свойства
методов
Вычисление
верхней и нижней границ
Принцип
разбиения
Недостатки Алгоритм может разбивать подобла-
Преимущества Вычислительные затраты на опреде-
Отдельно для каждой подобласти
Алгоритм разбивает подобласть с
наибольшей верхней границей
сти, не имеющие максимума. Следовательно, он может делать ненужные
дробления. В предельном случае он
может выродиться в полный перебор
ление верхней и нижней границы не
зависят от числа подобластей
ВГ РГ
2.9. Вычисление индекса гибкости
Рассчитывает наибольшую
из верхних границ всех
подобластей
Алгоритм разбивает подобласти, имеющие активные
ограничения в задаче вычисления наибольшей из
верхних границ
Вычислительные затраты
на определение верхней и
нижней границы растут с
увеличением числа подобластей
Обычно на каждой итерации метод улучшает верхнюю и нижнюю границу
Согласно
му
, удовлетворяющему следующему условию:
δ
При фиксированном d величина
соотношению (1.58) индекс гибкости F равен некоторо-
dχδ≤
1
dχδ>
1
если
если
1
∗
δ≤δ
δ>δ
∗
.
δ
является функцией одного
переменного δ. Поэтому вычисление индекса гибкости F сводится к
решению одного уравнения с одним неизвестным:
dχδ=
1
.
2.10. Упражнения
Выполнить следующие задания:
1.
определить вид функции
–
gz
=− +θ≤
1
=−θ+−
2
=− + θ−
3
,θhd для следующих ограничений
()
113
1
d =
1
1
1
χ
13
fdz d
13
d
5
8
d
d
d
d
d
d
для
,θhd
()
1 θ3≤≤
и
, найти
χ
. Какие особенности имеет функция
()
1
? Является ли она многоэкстремальной? Является ли она
дифференцируемой?
–
найти верхнюю границу
–
найти вид
–
решить двухэтапную задачу оптимизации с данными ограниче-
()
d
1
для
ниями и целевой функцией
U
χ
и сравнить с
()
1
d≤≤
;
,,θ
≡
()
для
χ
()
1
d≤≤
;
.
2. Для химико-технологического процесса (пример 1) найти зна-
чение функции гибкости
χ
()
1
при
V =
A =
,
. Ограничения (1.10)
получаются подстановкой выражений (2.82)–(2.84) в ограничения
(1.16)–(1.20).
Указание. Предполагая, что ограничения (1.10) удовлетворяют ус-
ловию 1, использовать метод перебора (см. раздел 2.2). Для определения значения
,θhd решать задачу (2.1), используя любую програм-
()
му решения задачи нелинейного программирования. Является ли процесс гибким при данных значениях конструктивных переменных?
3. Доказать, что
кости
χ
()
2
[см. (2.54)].
U
χ
2
является верхней границей функции гиб-
()
Указание. Использовать неравенство (П.2).
4. Показать, что условия Куна-Таккера для задачи (2.1) имеют вид
(2.17)–(2.21).
5. Показать, что
χ
[см. (2.29)].
()
1
U
χ
1
есть верхняя граница функции гибкости
()
Указание. Использовать неравенство (П.2).
6. Доказать, что условие 4 гарантирует получение глобального
решения задачи (2.61) вычисления нижней границы в случае использования локальной программы решения задачи нелинейного программирования.
7. Сформулировать задачу вычисления нижней границы функции
гибкости
χ
[задача (2.61)].
()
2
Указание. Использовать те же соображения, которые были ис-
пользованы для получения задачи вычисления нижней границы
функции гибкости
χ
[задача (2.44)].
()
1
8. Рассмотреть задачу с ограничениями вида
114
0,5
30,
0,
=− + + − ≤
3
1
E
d
(2) 1
Пусть
ции
χ
E
d =
1
()
1
.
d =
;
gz d d
gz d
222
gz d
3121
E
2
θ
11 212
=− − − + + ≤
θ
θ
1
θ
1
33
=+ − − −≤
θθ 10.
0 θ4≤≤
;
1
0 θ4≤≤
; и
. Найти значение функ-
2
Указание. Линейные функции являются квазивыпуклыми. Поэтому условие 1 удовлетворяется. Следовательно, можно использовать
метод перебора (раздел 2.1). Для решения задачи (2.1) использовать
любую программы решения задачи линейного программирования
9. Показать, что вычисление значения функции
[
см. (2.48)] сводится к решению задачи (2.49).
,θhd
()
Указание. Использовать равенство (П.1) и теорему П.5.
115
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Halemane K.P., Grossmann I.E. Optimal Process Design under Un-
certainty // AIChE J. 1983. V.29. P. 425–433.
2. Beaumont B.P. Probability and random variables. Celtis: Horwood
Limited, 1986.
3. Bard, Y. Nonlinear Parameter Estimation. N.Y.: Academic Press, 1974.
4. Cramer H. Mathematical Methods of Statistics. N.Y.: Princeton
Univ. Press, 1946.
5. Charnes A., Cooper W.W. Chance constrained programming. Man-
agement Sci. 1959. V.6. P. 73.
6. Diwaker U.M., Kalagnanam J.R. An efficient sampling technique
for optimization under uncertainty // AIChE J. 1997. V.43. P. 440-447.
7.
Бодров В.И., Дворецкий С.И., Дворецкий Д.С. Оптимальное проектирование энерго-ресурсосберегающих процессов // Теоретические
основы химической технологии. 1997. Т. 31. № 5.
8. Swaney R.E., Grossmann I. E. An index for operational Flexibility
in chemical process design // AIChE J. 1985. V.31(4). P.621.
9. A unique approach for solving sub-problems in flexibility analysis.
G.M. Ostrovsky, L.E.K. Achenie, Y. Wang, Yu.M Volin // Chem. Eng.
Comm. 2002. V.189. P. 125–149.
10. Carnahan B., Luther H. A., Wilkes J.O. Applied Numerical Methods. N.Y.: John Wiley and Sohns, 1969.
11.
Островский Г.М., Волин Ю.М. Новые проблемы теории гибко-
сти химико-технологических процессов // Доклады Академии Наук.
2000.
С.370, 773–776.
12. Rooney W. C., Biegler L. T. Optimal process design with model parameter uncertainty and process variability // AIChE J. 2003. V.49. P. 438–449.
13.
Островский Г.М., Волин Ю.М. Современные методы оптимизации сложных систем; Методы глобальной оптимизации сложных
систем. М.: МИСиС, 2005.
14. Grossmann I.E., Floudas C.A. Active constraints strategy for flexibility
analysis in chemical processes // Comp. Chem. Eng. 1987. V.11. P. 675–693.
15.
Мину М. Математическое программирование: Пер. с англ. /
Под ред. А.И. Штерн. М.: Наука, 1990.
16. McCormick G.P. Nonlinear Programming Theory, Algorithms and
Applications. N.Y.: John Wiley and Sons, 1983.
17. McKinsey J. C. C. Introduction to the Theory of Games. N.Y.:
McGraw-Hill, 1952.
18. Maine P.Q., Polak E., Traham R. An Outer Approximation Algorithm for
Computer-Aided Design Problem. // J. Optim. Theory Appl. 1979. V.28.
С. 3.
116
Приложения
max max ( , ) max max ( , ) max ( , ),
fxy fxy fxy
min max ( , ) max min ( , ),
fxy fxy
min ,
0, 1,..., ,
gx i N
{ } 1,..., }
xxi N
( 1,..., }
xi N
min{ 0, 1,..., } min{ ( ) ( ) 0
0, , 1,...,
xx ij N
( 1,..., }
xi N
min{ 0, 1,..., } min{ ( ) 0}.
0, , 1,...,
xx ij N
Приложение 1. Дополнительные
математические сведения
Имеют
место следующие соотношения
xy yx xy
xx
==
yy
≥
,
(П.1)
(П.2)
где x и y – дискретные или непрерывные переменные. Равенство
(П.1) очевидно, а неравенство (П.2) доказано в [17].
Рассмотрим задачу
N
ffx
=
1
где
i
== и x
∑
1
=
i
i
()
i
i
– подвектор вектора x. Сначала рассмот-
рим случай, когда подвекторы
x
≤=
i
()
i
i
i
= не имеют общих пере-
менных. Поскольку в правой части каждая минимизация проводится
по своим переменным, то мы можем поменять порядок операций минимизации и суммирования. Поэтому мы имеем
NN
если
∑∑
xx
ii
==
ij
ii ii
fx gx i N fx gx
() ()
ii ii
11
=∀ =∩
≤= = ≤
i
.
, (П.3)
Рассмотрим теперь случай, когда подвекторы
i
общие переменные. Легко показать, что в этом случае имеет место
следующее неравенство
NN
если
∑∑
xx
ii
∃≠=∩ .
ii i i
fx gx i N fx gx
() () ()
ii ii
11
==
ij
≤= ≥ ≤
i
=
имеют
(П.4)
117
Теорема П.1. Рассмотрим задачи P
:min ,
Pf fx
:min .
Pf fx
21
DD
12
.
ff
12
ff
1
P
11
fx fx xD
21
DD
11 2
fx f fx f
12
min , min ,
0, , 0, ,
ffx f fx
xiI xiI
, , , .
iI kI x x xX
12
ff
}
21
:, 0,,
:, 0, .
DxxX x jJ
и P2 следующего вида:
1
Пусть область D
=
11
включает область D2 (т.е.
1
xD
∈
1
()
22
=
xD
∈
()
2
⊂
). Тогда сущест-
вует следующее неравенство:
≤
Доказательство. Рассмотрим два случая.
1. Минимум х
ласти D
. Поскольку х∗ является минимумом во всей области D1, то
2
∗
функции f(x) в области D
принадлежит также об-
1
он является минимумом для любой подобласти области D
включает точку х
2. Минимум х
D
. Поскольку х∗ есть решение задачи
2
∗
, поэтому
∗
функции f(x) в области D1 не принадлежит области
= .
, то существует следующее
неравенство:
min
xD
∈
,
.
.
2
и P2 следующего вида
1
Поскольку
⊂ , то мы имеем
≤∀∈
() ()
=≤ =
() ()
Теорема П.2. Рассмотрим задачи P
(П.5)
, которая
1
==
12
12
ϕ≤ ∈ ϕ≤ ∈
() ()
ii
∀∈ ∃ ∈ ϕ ≤ϕ ∀∈
() ()
xX xX
∈∈
12
12
() ()
ik
Существует следующее неравенство:
≤ . (П.6)
Доказательство. Рассмотрим следующие области:
DxxX x iI
=∈ ϕ≤∈
{()
11
=∈ ϕ≤∈
{()
118
1
i
1
j
}
Если
0
1
0 ( )
xiI
21
DD
max 0 0, ,
xxxX
0min 0,
minmax , {1,..., }
fxIn
, {1,..., },
xu iI n
u
max , 0, 1,..., .
xy i m
{
}
SyyYiI
min ( ),
ffx
2
k
если x ∈ D
xϕ≤ ,
()
, то x ∈ D1 Таким образом,
2
Ik ∈∀ , то
2
1
ϕ≤ ∀∈. Следовательно,
()
i
⊂ . В соответствии с тео-
ремой П.1 получаем неравенство (П.6).
Теорема П.3. Существуют следующие эквивалентные соотношения:
ϕ≤⇔ϕ≤∀∈ (П.7)
() ()
xX
∈
xfx fx∃≤⇔ ≤ (П.8)
() ()
x
где x – дискретные или непрерывные переменные.
Доказательство. Действительно, если максимум функции f(x) в
области Х меньше нуля, то и все значения функции f(x) в области Х
меньше нуля; верно и обратное утверждение. Таким образом, соотношение (П.7) верно. Аналогично, если существует точка, в которой
значение f(x) меньше нуля, то и минимум функции f(x) также меньше
нуля; верно и обратное утверждение, таким образом, соотношение
П.8) верно.
(
Теорема П.4. Следующая задача
=ϕ =
x
∈
iI
()
i
(П.9)
эквивалентна задаче
min ,
fu
=
,
где
– дополнительная переменная.
xu
≤∈=
ϕ
()
i
(П.10)
Доказательство. См. доказательство теоремы П.4 в [13].
Теорема П.5. Рассмотрим задачу
min ,
ffx
Пусть
=
∈
yY
ii
:,
=∈∈
()
xX
∈
ϕ
i
≤=
()
есть произвольное множество точек y
области Y. Тогда глобальный минимум задачи
=
xX
∈
(П.11)
(П.12)
119
i
xy i I
ϕ
ff
max , ,
i
xy xy
min ( )
ffx
min ( , ) 0, 1,..., ,
xy i m
ϕ
min ( ),
ffx
( , ) 0, 1,..., ,
xy i m
, 1,...,
yi m
,ixy
,ixy
*
,
xy
min ( , ) ( , ),
ii
xy xy y
ϕ
ϕ
ff
*
xxy y
fx f
i
,0,
()
i
≤∈ (П.13)
дает нижнюю границу задачи (П.11), т.е.
≤
. (П.14)
Доказательство. Поскольку для любых x имеет место неравенство
ϕ≥ϕ
()
ii
yY
∈
,
()
то на основании теоремы П.2 мы получаем неравенство (П.14).
Теорема П.6. Задача
∈
yY
= , (П.15)
x
≤=
i
эквивалентна задаче
где
i
=
ϕ≤ =
i
– вектор новых поисковых переменных, соответствую-
щий i-му ограничению, т.е. если
есть решение задачи (П.15).
x
Доказательство. Пусть
= (П.16)
i
,
xy Y
∈
i
есть решение задачи (П.16), то
– решение задачи (П.16),
решение задачи (П.15).
Поскольку
–
то
Подставим в задачу (П.9)
точка является допустимой в (П.16). Поскольку в точке минимума
120
≤
ii
∈
yY
≥
,
==
∀
,
. (П.17)
i
. В этой точке ()
= . Эта
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]