Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современная физика и техника для студентов
.pdf
5.2. ЗАДАЧИ 63
достаточную скорость и добрался до Юпитера, конечной точки полета. Рассмотрим встречу спутника с Землей на расстоянии порядка
1 Мм от ее поверхности.
а) Найдите величину гравитационной силы, с которой Земля дей-
ствует на спутник.
б) Найдите ускорение корабля.
7. Корабль «Дженезис» создается для того, чтобы собрать атомы солнечного ветра и доставить их на Землю. Расстояние, которое нужно
будет пройти при таком полете, составляет порядка 32 миллионов ки-
лометров, а сам полет будет длиться около 3 лет. Найдите среднюю
скорость корабля в единицах системы СИ.
8. «Дженезис» должен собрать атомы на расстоянии 147 миллионов
километров от центра Солнца и 1,6 миллионов километров от центра
Земли. Найдите отношение гравитационных сил, действующих на
корабль со стороны Солнца и Земли в этой области (рассмотреть
только модули сил).
9. Ученые предполагают, что «Дженезис» соберет атомы всех существующих в природе элементов. Допустим, что приемник «Дженези-
6
са» захватил атом золота, движущийся со скоростью 1, 6 · 10
км/ч
относительно космического корабля.
а) Найти модуль импульса силы, который сообщает атом кораблю.
б) Сохраняются ли полные импульсы корабля и атома в результате
столкновения?
в) Найти кинетическую энергию атома золота (относительно ко-
рабля) до столкновения. Сохраняется ли при столкновении ки-
нетическая энергия корабля, а также энергия атома?
10. Пусть атом железа в солнечном ветре движется со скоростью
6
1,6 · 10
км/ч относительно центра Земли.
а) Найти величину углового момента атома, если известно, что он
движется вдоль линии, проходящей через центр Земли.
б) Решить эту же задачу для случая, когда траектория частицы
представляет собой касательную к поверхности Земли.
64 ГЛАВА 5
11. Корабль «Кассини», который был запущен в 1997 году, достигнет Сатурна предположительно в 2004 году. Он предназначен для
исследования колец Сатурна и его луны. Найдите гравитационную
силу, действующую между Солнцем и вращающимся вокруг Сатурна
спутником весом 2000 кг. Расстояние между Солнцем и Сатурном
принять равным 9,5 а.е. (астрономических единиц).
12. «Кассини» должен доставить на одну из лун Сатурна (Титан)
зонд под названием «Гюйгенс». Найти ускорение свободного падения
вблизи поверхности Титана. Радиус Титана равен 2,6 Мм, а его масса
23
составляет 1,35 · 10
кг.
13. Космический корабль «Кассини» весом 5720 кг в декабре 2000 года прошел мимо Юпитера на расстоянии 9,6 миллионов километров
от центра планеты. Определить гравитационную силу между кораблем и Юпитером на этом расстоянии.
14. Фотографии, полученные «Кассини», подтвердили существование долговечных юпитерианских штормов, которые могут длиться
много лет или даже веков.
а) Найти импульс и кинетическую энергию молекулы аммиака
), если известно, что она движется со скоростью 480 км/ч
(NH
3
в атмосфере Юпитера.
б) Определить величину углового момента молекулы относительно
7
центра Юпитера. Радиус Юпитера равен 7, 18 · 10
м.
15. Ядро кометы — это небольшое небесное тело, состоящее из льда
и пыли. Найдите массу кометы, если ее ядро состоит из чистого льда
и представляет собой шар диаметром 3 км. Плотность льда равна
3
917 кг/м
.
16. Приближаясь к Солнцу, комета испускает газ и пыль под действием солнечного излучения и образует так называемую «кому». Найти
среднюю плотность комы, если ее масса составляет 10%отполной
массы кометы (см. задачу 15) и если кома имеет форму шара диаметром 100 мегаметров.
17. Как правило, комета вращается вокруг Солнца по сильно вытянутой эллиптической орбите. Периоды вращения некоторых комет
5.2. ЗАДАЧИ 65
составляют более 200 лет и могут достигать даже 107лет. Предположим, что перигелий (наиболее близкое расстояние от Солнца)
кометы равен 3 а. е., а афелий (максимальное расстояние от Солнца)
5
составляет 10
а. е.
а) В первом приближении можно считать, что комета совершает
колебания между двумя крайними точками. Найти среднюю ско-
рость кометы в этом случае.
б) Найти отношение гравитационных сил в точках афелия и пери-
гелия между кометой и Солнцем.
18. В июле 1994 года комета Шумейкера–Леви столкнулась с Юпитером. Было выяснено, что еще задолго до столкновения ядро кометы
разделилось на 20 фрагментов. Найти кинетическую энергию и величину импульса фрагмента перед столкновением, если известно, что
каждый фрагмент представляет собой сферу из льда диаметром 1 км,
которая «врезается» в поверхность планеты со скоростью 60 км/c.
Определить момент силы, сообщаемый фрагментом Юпитеру. Плот-
3
ность льда равна 917 кг/м
.
19. Установлено, что ядро кометы Шумейкера–Леви разделилось
на части под воздействием «приливных сил» (т. е. вследствие неравномерности значения гравитационной силы в разных частях тела)
на расстоянии около 20 Мм от Юпитера. Определить различие меж-
ду величиной гравитационной силы, возникающей в двух частицах
под воздействием Юпитера, если частицы имеют одинаковую массу
m и они обе расположены на поверхности кометы, но одна из них
ближе к центру Юпитера на 5 км.
20. Около 10 раз в год Земля проходит через рои частиц космической
пыли, что является причиной возникновения «метеоритных дождей».
Кусочек такой космической пыли называется «метеорным телом».
Типичный размер метеорного тела составляет около 1 см, а его масса
равна 1 г. Такие тела сгорают в земной атмосфере, образуя метеоры
(«падающие звезды»). Обычно метеорное тело начинает светиться на
высоте 90 км над поверхностью Земли.
а) Найти плотность метеорного тела.
б) Найти ускорение метеорного тела на высоте 90 км.
66 ГЛАВА 5
в) Вычислить величину импульса и кинетическую энергию типич-
ного метеорного тела, если известно, что оно испытывает соуда-
рения с частицами атмосферы на скорости 50 км/с.
21. Беспилотный летательный аппарат на солнечных батареях «Ге-
5
лиос» достигнет, как предполагают, высоты 10
корд высоты для винтового самолета составляет 8 ·10
футов. Текущий ре-
4
футов. Найти
различие между этими высотами в метрах.
22. 62 000 солнечных элементов «Гелиоса» вырабатывают около
40 кВт энергии, которая используется для того, чтобы приводить
в движение 14 пропеллеров. Сколько энергии потребуется для того,
чтобы вращать один пропеллер в течение часа?
23. Предположим, что летательный аппарат «Гелиос» находится на
5
высоте 10
футов точно над экватором.
а) Найти скорость «Гелиоса» относительно центра Земли.
б) Найти ускорение «Гелиоса» относительно центра Земли.
в) Найти отношение гравитационной силы, действующей на аппа-
рат со стороны Земли, к силе, действующей на него со стороны
воздуха. (Замечание: равнодействующая сила, действующая на
«Гелиос», равна сумме гравитационной силы и силы, действую-
щей со стороны воздуха.)
г) Найти отношение углового момента самолета к его импульсу
(в метрах).
24. Аппарат «Гелиос» летит со скоростью 150 миль в час относительно Земли. Найти отношение его кинетической энергии к величине
импульса (в м/c) относительно Земли.
25. В экспериментах по бомбардировке покоящихся ионов свинца
высокоэнергетичным пучком движущихся ионов того же самого материала плотность вещества в 20 раз превышает плотность обычного
ядерного (протонного) вещества. Найти плотность, которая достига-
3
ется в таких экспериментах (в кг/м
). Радиус протона равен 1,5 фем-
тометра.
26. Сезон ураганов в Атлантике обычно длится с июня по декабрь.
Чаще всего формируется два или три крупных урагана со скоростью
5.2. ЗАДАЧИ 67
ветра более 180 км/ч. Какова кинетическая энергия (в Дж) одного
3
кубометра (1 м
Плотность воздуха принять равной 1,3 кг/м
27. Используя данные задачи 26, найти величину импульса 1 м
) воздуха, если он движется со скоростью 200 км/ч.
3
.
3
воз-
духа (в Н·c(ньютон·секунда)).
28. Крупный ураган способен «поддерживать» скорость ветра, превышающая 180 км/ч. Найти кинетическую энергию (в Дж) молекулы
азота, движущейся с такой скоростью.
29. Космическая станция «NEAR» приземлилась на астероиде Эрос.
Скорость приземления этого корабля весом 500 кг не превышала
1,8 м/с. Найти:
а) импульс и кинетическую энергию корабля;
б) момент силы, сообщенный кораблю поверхностью Эроса.
30. Допустим, что модуль «Альфа» международной космической
станции (МКС) вращается вокруг Земли на высоте 370 км. Най-
ти линейную скорость, угловую скорость, ускорение и период обращения модуля, если известно, что он движется по круговой орбите.
31. Если расстояние между МКС «Альфа» и центром Земли увеличить в 9 раз, то как изменится линейная скорость, угловая скорость,
ускорение и период обращения «Альфы»?
32. Если расстояние между МКС «Альфа» и центром Земли увеличить в 9 раз, то как изменится импульс, угловой момент и кинетическая энергия «Альфы»?
33. Главная исследовательская лаборатория и командный центр «Альфы» называется «Дестини». Его диаметр равен 4,2 м, а длина — 8,4 м.
3
Какова средняя плотность «Дестини» (в кг/м
), если ее вес состав-
ляет 13 620 кг?
34. Используя данные задач 30 и 33,найти:
а) гравитационную силу между Землей и «Дестини»;
б) импульс, угловой момент, и кинетическую энергию «Дестини».
68 ГЛАВА 5
35. Найти отношение гравитационной силы, действующей на «Альфу», к средней силе, действующей со стороны Солнца на «Альфу».
Высоту полета «Альфы» принять равной 370 км.
36. Средство выведения на орбиту «Боинг–Дельта-4», по оценкам
экспертов, сможет нести полезную нагрузку 13 000 кг. Предположим,
что Дельта–4 доставляет массу 13 тонн на геосинхронную орбиту
(период геосинхронной орбиты равен одному дню). Найти конечный
импульс, угловой момент и кинетическую энергию груза.
37. В 2000 году астрономы открыли между Нептуном и Плутоном маленькую планету, которую назвали Плутино (номер по каталогу 2000EB173). Плутино, диаметр которого составляет около
640 км, вращается вокруг Солнца с периодом 240 лет. Найдите
длину большой полуоси орбиты Плутино в астрономических единицах (а. е.).
38. Наиболее удаленные галактики, наблюдаемые учеными в настоящее время, расположены на расстояниях в десятки миллиардов све-
10
товых лет (10
3
).
(в м
39. Астероид размером 100 км и плотностью около 2,5 г/см
св. лет). Найдите объем видимой части Вселенной
3
делает
вокруг собственной оси 5 оборотов в сутки. Предполагая, что астероид имеет сферическую форму, найти в системе координат, связанной
с центром астероида:
а) угловую скорость астероида (в рад/с);
б) скорость точки на экваторе астероида;
в) величину углового момента (момент инерции однородного шара
2
равен 2mr
/5);
г) кинетическую энергию вращения.
40. Решить задачу 39:
а) для очень большого астероида размером 800 км, который делает
2 оборота в сутки;
б) для очень маленького астероида размером 50 м, который делает
500 оборотов в сутки.
5.2. ЗАДАЧИ 69
41. Астероид Касталия имеет так называемую скрещивающуюся орбиту с Землей. В 1989 году радар зафиксировал его на расстоянии
от Земли, равном одиннадцати лунным расстояниям. Было найдено,
что Касталия имеет размеры 1,8 ×0,8 ×0,8 км, ее плотность равна
3
2,1 г/см
, а собственный период вращения составляет около 4 часов.
На основе этих данных найти:
а) массу Касталии (предполагая, что астероид имеет цилиндриче-
скую форму);
б) гравитационную силу между Землей и Касталией на расстоянии,
равном одиннадцати лунным;
в) угловую скорость вращения Касталии.
42. На пути к Юпитеру зонд «Галилео» прошел через главный пояс
астероидов (между орбитами Марса и Юпитера). Неожиданно для
всех он зафиксировал астероид с собственным спутником, получившим название Дактиль. Этим астероидом оказалась Ида. Размеры
3
Иды примерно 60 ×20 ×20 км, а ее плотность равна 2,5 г/см
.Размер Дактиля равен 1,4 км. Найти отношение гравитационных сил,
действующих со стороны Солнца на эти два небесных тела, если
их плотность одинакова; Ида имеет форму цилиндра, а Дактиль —
форму шара.
43. Темное пространство в нашей галактике, носящей название Млечный Путь, образуется из-за «облаков» межзвездной пыли. Типичная
частица пыли, которая задерживает видимый свет, имеет продолговатую форму и размеры около 0,4 ×0,2 ×0,2 мкм. Она состоит из
−14
каменистого ядра и ледяной оболочки и имеет массу порядка 10
г.
Найти среднюю плотность частицы, если она имеет форму цилиндра.
6м3
44. Было выяснено, что в среднем на каждые 10
звездного пространства приходится одна частица пыли. Используя данные задачи 43, найти:
а) среднее расстояние между ближайшими частицами;
б) какую часть межзвездного пространства занимают частицы пы-
ли;
в) среднюю плотность вещества в межзвездном пространстве;
70 ГЛАВА 5
г) среднюю гравитационную силу между ближайшими частицами
пыли.
45. Кантилевер, используемый в магнитной резонансной силовой микроскопии, представляет из себя очень маленькую балку, закрепленную с одного конца. Другой конец свободен и может совершать гармонические колебания подобно грузу на пружине. Его движение можно описать с помощью эффективной массы и эффективной жесткости
пружины.
Рассмотрим очень тонкий кремниевый кантилевер, толщина которого равна 60нм, а длина 200 мкм. Найдите угловую частоту, период и эффективную массу кантилевера, если частота его вибраций составляет 1,7 кГц, а эффективная жесткость пружины равна
−6
6,5 · 10
Н/м.
46. Пусть конец кантилевера (см. задачу 45) осциллирует относительно оси x вблизи положения равновесия. В начальный момент
времени конец кронштейна находится в крайнем положении, координата которого равна x =40нм.
а) Найдите координату, скорость и ускорение конца кантилевера
вмоментвремениt =1мс.
б) В какой момент времени конец кантилевера проходит через по-
ложение равновесия в первый раз, во второй раз?
в) В какой момент времени конец кантилевера проходит через точ-
ку x =20нм в первый раз, во второй раз?
47. Конец кантилевера (см. задачу 45) совершает колебания с амплитудой 30 нм.
а) Какова максимальная скорость конца кантилевера?
б) Какова его скорость на расстоянии 10 нм от положения равнове-
сия?
в) Найти амплитудные значения ускорения и равнодействующей
силы, действующей на конец кантилевера.
г) Чему равны ускорение и равнодействующая сила на расстоянии
10 нм от положения равновесия?
5.2. ЗАДАЧИ 71
48. Предположим, что магнитный момент одиночного протона действует на маленький магнит, прикрепленный к концу кантилевера,
−19
ссилой6 ·10
Н. Найдите смещение конца от положения равновесия, если известно, что сила действует в направлении максимально
возможного смещения конца кантилевера (используйте условия задачи 45).
49. Транспорт на магнитной подушке (который как бы «парит» над
землей под воздействием магнитных сил) может развивать скорость
до 500 км/ч. Сколько времени потребуется такому поезду для достижения этой скорости, если его ускорение составляет 1/5 ускорения
свободного падения? Начальная скорость поезда равна нулю.
50. В задаче 49 найдите расстояние, пройденное поездом до того, как
он достигнет скорости 500 км/ч.
51. В задаче 49 найдите магнитную силу, которая необходима для
поднятия над землей поезда массой 55 000 кг.
52. В задаче 49 найдите силу сопротивления воздуха при движении
поезда, если известно, что на скорости 500 км/ч он теряет на преодоление сопротивления воздуха энергию, равную 10 МВт.
53. В задаче 49 найдите кинетическую энергию и импульс поезда
весом 55 000 кг, движущегося со скоростью 500 км/ч.
54. В задаче 49 найдите величину изменения импульса при ускорении поезда весом 55000 кг. Какая связь существует между этим
изменением и силой?
55. Исследования показали, что стоимость запуска спутника можно значительно уменьшить, если ракета, запускающая его, ускоряется по наклонной плоскости до того, как включаются ее двигатели.
При этом ракета должна развить скорость 950 км/ч, — именно в
этом случае обеспечивается необходимая экономия средств. Предположим, что ракета-носитель вместе с полезным грузом имеет массу
2000 кг и ускоряется по наклонной плоскости, составляющей с гори-
◦
зонтом угол 30
(это можно сделать, например, в горах). Длина пути,
проходимого ракетой, равна 1 км.
а) Какое ускорение необходимо придать ракете для того, чтобы она
набрала скорость 950 км/ч?
72 ГЛАВА 5
б) Какую внешнюю силу необходимо приложить к ракете для того,
чтобы она приобрела нужное ускорение? (Трением и сопротивлением воздуха пренебречь.)
56. В задаче 55 вычислить сколько времени потребуется ракете для
достижения скорости 950 км/ч.
57. В задаче 55 найдите скорость ракеты-носителя:
а) после первой секунды движения;
б) после того, как она пройдет 100 м пути.
58. Предположим, что в системе (см. задачу 55) существуют резистивные силы (сопротивление воздуха, трение). На преодоление этих
сил тратится энергия, равная 100 МДж.
а) Какую энергию необходимо затратить, чтобы разогнать ракету
до скорости 950 км/ч?
б) Какова средняя мощность движущей силы?
59. Предположим, что движущая сила (см. задачу 55) исчезает после
первой секунды движения.
а) Найти полное расстояние, которое проходит ракета до остановки
(трением и сопротивлением воздуха пренебречь).
б) Какое время затрачивается на прохождение этого расстояния?
60. Предположим, что движущая сила (см. задачу 55) исчезает после первых 10 м движения. При этом в системе существует трение,
сила которого F
= μFn,гдеμ =0, 1,аFn— сила реакции опоры.
r
Тогда движение ракеты можно описать следующим образом: сначала она ускоряется под действием движущей силы, затем по инерции
движется вверх по наклонной плоскости, а после остановки ракета
начинает скатываться обратно.
а) Какое время проходит с момента исчезновения движущей силы
до возвращения ракеты в начальное положение?
б) Найти путь, который ракета проходит в течение этого времени.
в) Найти перемещение ракеты в течение этого времени.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]