Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современная физика и техника для студентов
.pdf
6 б. a = F/m ≈ Fg/m = g
7. v = s/Δt.
7.1. МЕХАНИКА 103
Re+ h
2
R
e
.
8. Гравитационная сила, действующая со стороны Солнца: F
2
m/r
= GM
o
,гдеrss— расстояние между центром Солнца и кора-
ss
блем. Гравитационная сила, действующая со стороны Земли: F
2
m/r
= GM
e
,гдеres— расстояние между центром Земли и кораблем.
es
gs
ge
=
=
Отношение равно
F
F
gs
ge
=
M
M
o
·
e
2
r
es
.
r
ss
9a. Рассмотрим систему координат, связанную с кораблем. Для малых временных интервалов (времен столкновения) ее можно считать
инерциальной. Величина импульса силы I
блем, I
= mv,гдеv — скорость атома. Из принципа действия–про-
a
тиводействия следует, что импульс силы I
атомом, равен I
. Чтобы найти массу атома золота, используем Пе-
a
, переданного атому кора-
a
, переданный кораблю
s
риодическую таблицу элементов. Атомная масса элемента Au равна
197. Тогда 1 моль золота, который содержит число Авогадро атомов,
имеет массу 197 грамм.
9б. Да. В течение малого времени столкновения внешними гравитационными силами можно пренебречь, поэтому полный импульс
сохраняется.
2
9 в. K = mv
/2. Нет. Кинетическая энергия не сохраняется при упру-
гих столкновениях (в нашем случае происходит абсолютно неупругое
столкновение: атом прилипает к приемнику).
10 a.L = r ×p = mr ×v =0.
10 б.L = mr × v, L = mrv sin φ = mR
11. F
= GMom/r2,гдеm — масса спутника, а r — расстояние между
g
Солнцем и Сатурном.
12. g
= GMT/R
T
2
,гдеMTи RT— масса и радиус Титана, соответ-
T
ственно.
v.
e
104 ГЛАВА 7
13. Fg= GMJm/r2,гдеr — расстояние между кораблем и центром
Юпитера, M
14 a. p = mv, K = mv
Чтобы найти массу молекулы аммиака NH
— масса Юпитера, а m — масса корабля.
J
2
/2.
, нужно найти ее моляр-
3
ную массу, т. е. массу числа Авогадро молекул.
14 б. L ≈ mR
15. M = ρV ,гдеρ — плотность льда, V =4πR
v.
J
3
/3 —объемядра
кометы.
16. ρ = M/V ,гдеM — масса «комы», а V —ееобъем.
17 a. S/Δt =4d
/T ,гдеda— расстояние между Солнцем и кометой
a
в точке афелия, а T — период кометы.
17 б. F
= GMcMo/d
a
2
, Fp= GMcMo/d
a
2
, Fa/Fp=(dp/da)2,гдеF
p
и Fp— гравитационные силы в точках афелия и перигелия, daи dp—
расстояния между Солнцем и кометой в точках афелия и перигелия.
18. M = ρV ,гдеM и V — масса и объем фрагмента.
2
K = Mv
19. F
а M
= GmMJ/(r + d)2, F2= GmMJ/r2,гдеr =20Мм, d =5км,
1
— масса Юпитера.
J
20 a. ρ = m/V , V =4πr
20 б. a = F
/m = GMe/(Re+ h)2= gR
g
20 в. p = mv, K = mv
/2,p= Mv, I = p.
− F1≈ 2GmMJd/r3.
F
2
3
/3, r =5мм.
2
/2.
2
/(Re+ h)2,гдеh =90км.
e
a
22. E = PΔt, P =40кВт/14.
23 a. v = ω
=2π/Te, Te=1сутки.
ω
e
23 б. a = v
2
+ h),гдеωe— угловая скорость вращения Земли,
e(Re
/(Re+ h).
7.1. МЕХАНИКА 105
23 в. Fg= GMem/(Re+ h)2, F = ma, F = Fg− Fa,гдеFa— сила,
действующая со стороны воздуха.
23 г. L = rp, L/p = r =(R
2
24. K = mv
/2, p = mv, K/p = v/2.
25. Плотность протона ρ = m
3
=4πr
26. K =(ρV )v
=1м
27. p = mv, K = mv
28. K = mv
/3, rp— радиус протона.
p
2
3
), а v — скорость движения воздуха.
/2,гдеρ — плотность воздуха, V —егообъем(V =
2
/2.
2
/2. Чтобы найти массу молекулы азота N2, использу-
+ h).
e
/V ,гдеmp— масса протона. V =
p
ем Периодическую систему элементов. 1 моль (28 г) молекулярного
азота содержит число Авогадро молекул.
2
29 a. p = mv, K = mv
/2.
29 б. I = p.
30. Рассмотрим движение модуля «Альфа» в системе координат, связанной с центром Земли.
GM
m
e
2
r
=
mv
2
r
,r= R
e
+ h.
Из этого следует, что
v =
GMe/r, ω = v/r, T =2π/ω =2πr/v, a = GMe/r
2
31. GMem/r2= mv2/r, v =GMe/r. Если увеличить r в9раз,
то v уменьшается в
√
9=3раза. ω = v/r. Если уменьшить v в3
раза, а r увеличить в 9 раз, то ω уменьшится в 27 раз. Ускорение a =
2
/r уменьшится в 81 раз (можно использовать также выражение
= v
a = GM
/r2). Период T =2π/ω увеличится в 27 раз.
e
√
32. Импульс p = mv уменьшится в
Угловой момент L = r
2
K = mv
/2 уменьшится в 9 раз.
увеличится в 3 раза. Кинетическая энергия
p
9=3раза (см. задачу 31).
106 ГЛАВА 7
33. ρ = m/v, m = w/g,гдеw — вес «Дестини».
34 a. F
= GMem/r2, r = Re+ h.
g
34 б. p = mv (см. задачу 30).
2
/2=p2/2m.
2
es
35. F
r = R
36. GM
= GMem/r2, F2= GMom/r
1
+ h,аres— среднее расстояние между Землей и Солнцем.
e
m/r2= mv2/r,гдеr — радиус геосинхронной орбиты. Под-
e
ставляем r = v/ω
Земли, T
= rp, K = mv
=1сутки. Тогда получим: v =(GMeωe)
e
2
/2.
L = rp, K = mv
,гдеωe=2π/Te— угловая скорость вращения
e
37. Согласно третьему закону Кеплера, T
3
38. V =4πr
/3,гдеr =1010св. лет.
39 б. v = ωr, r =50км.
2
39 в. L = Iω, I =2Mr
2
39 г. K = Iω
41 a. M
41 б. F
c
g
/2.
= ρV , V = π · 0, 42· 1, 8
= GMeMc/r2.
/5, M = ρV .
3
.
41 в. ω =2π/T.
, F1/F2= Mer
1
3
, p = mv, L =
2/A3
=1(
2
/Mor2,где
es
)2/(..)3.
42.
F
F
M
I
=
M
D
D
Дактиль.
43. ρ = m
g/Vg
44 a. d = 100 м.
44 б. V
44 в. m
44 г. F
/106.
g
/106.
g
= Gm
g
V
I
I
=
, где индексами «I»и«D»означеныИдаи
V
D
,гдеmgи Vg— масса и объем типичной частицы пыли.
2
/d2.
g
7.1. МЕХАНИКА 107
45. ω =2πf, T =1/f, m = ks/ω2.
46 a. x = A cos(ωt + φ),v
= Acos φ, v
= −Aω sin φ. В конечной точке vxi=0,поэтомуφ =0
xi
или φ = π. Выберем φ =0,т.к.приэтомx
A = x
=40нм, а координата x конца кантилевера определяется
i
= −Aω sin(ωt + φ).Приt =0,xi=
x
> 0. Таким образом,
i
выражением x = A cos ωt,гдеA и ω — известные величины. Подставляя t =1мс, найдем соответствующую координату кантилевера.
Выражение для скорости имеет вид v
= −Aω2cos ωt (или, иначе, ax= −ω2x).
a
x
= −Aω sinωt, а для ускорения
x
46 б. t = T/4,t=3T/4.
46 в. Рассмотрим уравнение x = A cos ωt =20нм. Из него следует,
что cos ωt =1/2. Тогда имеем следующие решения: ωt = π/3+2πk и
ωt =5π/3+2πk, k =0, 1, 2,...Прохождение через точку x =20нм
в первый раз соответствует фазе ωt = π/3, а во второй раз фазе 5π/3.
Разделив эти выражения на ω, получим соответствующее время.
max
= Aω.
47 a. v
47 б. Используем закон сохранения механической энергии:
x2+
1
mv
2
1
k
s
2
1
2
k
=
A2.
s
2
Разделив это выражение на m,получим
2
+ v2=(ωA)2,v2= ω2(A2− x2).
(ωx)
47 в. a
max
47 г. a = ω
= ω2A, F
2
|x|,F= ks|x|.
max
= ksA.
48. В положении равновесия эффективная упругая сила равна магнитной силе: k
= atf,tf= vf/a,гдеvfи tf— скорость и время в конце пути.
49. v
f
50. v
51. F
=2as, s = v
f
= mg,гдеFm— магнитная сила, а m — масса поезда.
m
|Δx| = Fm.
s
2
/2a.
f
108 ГЛАВА 7
52. P = Fav, Fa= P/v,гдеP — мощность, а Fa— сила сопротивления воздуха.
2
53. K = mv
dp
54.
dt
2
55 a. v
f
/2,p= mv.
= ma, dp/dt — суммарная сила, действующая на поезд.
=2as, a = v
2
f
/2s.
55 б.Пустьосьx направлена вдоль наклонной поверхности обратно
ускорению спутника.
= mg sin θ −Fe,Fx= max= −ma,
F
x
mg sin θ − F
= −ma, Fe= m(g sin θ + a),
e
где F
56. s =((v
57 a. v
57 б. v
58 a. Используем связь работы и кинетической энергии: W
+ W
личине затрачиваемой энергии, W
W
— внешняя сила.
e
+ vf)/2)tf= vftf/2,tf=2s/vf.
i
= atf,гдеtf=1c.
f
2
=2as,гдеs = 100 м.
f
+ Wg+
2
= mv
r
= Ui− Uf= −mgs sin θ,аWr— работа резистивных сил (дис-
g
/2,гдеWe— работа внешней силы, которая равна ве-
f
— работа гравитационной силы,
g
e
сипация энергии).
58 б. P
59. Начнем с 59б. В конце первой секунды v
После того, как движущая сила исчезает, v
v
f
59 a. Расстояние, пройденное за первую секунду, s = at
Полное расстояние s
= We/tf,гдеtf— время ускорения, найденное в задаче 56.
av
= atf,гдеtf=1c.
f
= v
− a(t
i
f
= tf+ vf/g sin θ.
f
−tf),гдеv
f
i
=0,v
= vf,a= g sin θ. Таким образом, t
i
= s+((v
i
+ v
)/2(t
f
− tf),где
f
,гдеtf=1c.
f
= vf,v
f
=0.
60 a. Сначала рассмотрим движение вверх по наклонной поверхности. В течение первых 10 м пути
= −Fe+ mg sin θ + μFn,
F
x
7.1. МЕХАНИКА 109
где Fn= mg cos θ, Fe— внешняя движущая сила (предполагается,
что ось x направлена противоположно ускорению ракеты). Далее
= max= −ma.
F
x
Таким образом,
− mg sin θ −μmg cos θ = ma,
F
e
откуда можно найти ускорение a в течение первых 10 м пути. Скорость ракеты после первых 10 м можно найти из выражения v
=2as,
f
где s =10м.
Теперь рассмотрим движение ракеты после исчезновения дви-
жущей силы (t =0) до момента остановки. Из уравнения F
= mg sin θ + μmg cos θ = ma
можно найти ускорение a, которое
=
x
направлено вниз по наклонной поверхности. Затем
= v
v
f
— время, за которое ракета полностью останавливается, а s—
где t
f
+ a
xi
tf, 0=−vf+ at
x
v
+ v
i
=
s
2
f
t
f
,t
f
v
=
= vf/a,
f
t
i
f
2
=
v
t
f
f
,
2
расстояние, пройденное ракетой за это время. При движении вниз по
наклонной плоскости имеем:
= mg sin θ −μmg cos θ = ma, (v
F
x
где s
t
60 б. Расстояние равно s
= s+10 м. Наконец, s=(v
= t
f
+2s/v
f
.
f
+ s=2s+10м.
60 в.10м.
61 a. Δt = s/v,гдеs = 4000 км=4·10
61 б. T = λ/v.
61 в. f =1/T .
)2=2as,
f
/2)(t
f
6
− t
f
м, v = 150 м/с.
). Таким образом,
f
110 ГЛАВА 7
62 a. m = ρAh,гдеm — масса волны, ρ — плотность морской воды,
2
h —высота,A — площадь волны. K = mv
62 б. U
= mgh/2, h/2 — высота центра масс волны.
g
/2.
62 в. p = mv.
+s
63. Δt = s/v +(s
s =2км, s
= 1000 км, s= 5000 км.
)/c,гдеv — скорость звука, c — скорость света,
64 a. λ = v/f.
64 б. T =1/f .
64 в. L = vτ,гдеτ — длительность импульса, v — скорость звука
вводе.
64 г. N = L/λ,гдеN — число длин волн в импульсе.
65. x-компонента полного углового момента должна сохраняться,
т. е. L
66. p(
= −/2.
x
νμ)=−p(ντ).
7.2. Электричество и магнетизм
1. E = kc|q|/r2,гдеq =2e/3.
2. V = k
3. F = k
4. Пусть ось x направлена по направлению электрического поля. Тогда сила Кулона, действующая на тау-лептон, имеет только компоненту x, F
Смещение также происходит только по оси x:
q/r.
c
|/r2,гдеq1=2e/3,q2= −e/3.
c|q1q2
= qEx= −eE, ускорение тау-лептона ax= −eE/m.
x
1
a
+
2
xi
t2,
x
= −vi.
где v
Δx = v
= vi=10км/c, а t — среднее время жизни тау-лептона.
xi
xi
5. Такое же, как и в задаче 4, только v
6. C =
A/s, V = Q/C, E = V/s,F = qE = eE, a = F/m.
0
Ускорение направлено от отрицательной пластины к положительной.
7.2. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ 111
7. F = qvB, q = e, a = F/m.
8. Сила Лоренца перпендикулярна скорости. Таким образом, мюон
движется по окружности с постоянной скоростью v. Пройденное рас-
стояние равно vt,гдеt — среднее время жизни мюона.
9. U =(k
/r)(q1q2+ q1q3+ q2q3),гдеqi— электрические заряды
c
кварков.
e2/r2,a= F/m.
c
13. E = k
14. V = k
209
15.
83
дом. Таким образом, F
16. ΔU =2mB,гдеm =2,1μ
17. τ
18. B =2m/r
q/r2,гдеq =2e.
c
q/r.
c
Bi — стабильный изотоп с максимальным электрическим заря-
= kcq2/r2,гдеq =83e.
max
.
n
= mB.
max
3
и направлено в положительном направлении оси z,
r =1нм.
3
19 a. B =2m/r
19 б. B = m/r
e2/r.
c
e2/r2.
c
20. F = k
21. k
и направлено вдоль оси z.
3
и направлено против оси z.
22. eV = K,гдеV =1МВ.
23. Пусть масса ядерного облака примерно равна массе двух ядер
свинца.
= m/V1,ρ2=2m/V2,
ρ
1
=2V1/V2=2(r1/r2)3=20,r2= r1/(10)
ρ
2/ρ1
где m — масса ядра свинца, V
облака. Далее
E
1
= kcq/r
2
,E2=2kcq/r
1
1
3
,
—егообъем,V2— объем ядерного
1
2
,E2/E1=2(r1/r2)2,
2
112 ГЛАВА 7
где E1— величина электрического поля вблизи ядра свинца, E2—
величина электрического поля вблизи ядерного облака, а q — элек-
трический заряд ядра свинца.
3
24. B =2m/r
,гдеm — магнитный момент, r =1мкм.
25. B
− B
=2mp/(r0− A)3,B
max
,гдеm0— магнитный момент магнита, r0— равновесное
min
=2m0/(r0+ A)3, ΔB = B
min
max
−
расстояние между магнитом и атомом, A — амплитуда колебаний
кантилевера.
26 a. m
(e)
μ
тальное и теоретическое значения m
26 б. ΔU
(e)
ΔU
− m
(t)
(t)
μ
=2m
− ΔU
≈ m
(t)
B, ΔU
μ
(t)
=2B(m
(t)
· 1, 3 · 10−6,гдеm
μ
=2m
− m
(e)
μ
(t)
μ
(e)
(e)
μ
(e)
μ
.
μ
и m
(t)
— эксперимен-
μ
B,
).
27. Как показано на рис. 16, магнитные поля усиливают друг друга
на нижней стороне и гасят друг друга на верхней.
28. Учитывая, что ток I в зазоре величиной 2 нм равен 2 пА, на-
ходим:
IΔL × n
B
p
−9
ΔL = −2 · 10
1
2
2
)
+ y
.
p
k (в метрах), n
29 a. τ = m ×B,где m =iμ
≈
μ
0
4π
=ixp/rp+jyp/rp,rp=(x
p
.
B
p
,
2
r
p
2
+
p
29 б. ΔU =(m
− mi)B,где mi=iμB,mf= −iμB, miи mf—
f
начальный и конечный магнитные моменты, т. е. магнитные моменты
до и после инверсии.
30. Q = CV .
31. Q = IΔt, I = jA,гдеj — плотность тока, Q — заряд, протекаю-
щий через поперечное сечение площадью A.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]