Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современная физика и техника для студентов
.pdf
6.2. ЗАДАЧИ 93
Рис. 10. Массив Альбаха. Стрелками показано направление отдельных магнитных моментов.
При этом от зонда к поверхности начинает течь небольшой туннельный ток величиной около 2 пА (электроны как бы «перепрыгивают»
с поверхности на зонд). Рассмотрим систему координат, начало которой расположено на проводящей поверхности, а ось z направлена
вдоль зонда (см. рис. 11).
Найдите магнитное поле (в векторной записи) в точке P
=36 нм, yP=64нм, zP=0), создаваемое током между по-
(x
P
верхностью и зондом. Зазор между зондом и поверхностью равен
2 нм.
Рис. 11. Вольфрамовый зонд вблизи проводящей поверхности.
94 ГЛАВА 6
29. Поместим парамагнитный атом в точку P (см. задачу 28). Его
магнитный момент имеет величину 1 магнетон Бора (μ
) и направлен
B
вдоль оси x в ее положительном направлении.
а) Найти орбитальный магнитный момент на атоме (в векторной
записи), создаваемый магнитным полем туннельного тока.
б) Найти изменение магнитной энергии атома, вызванной его вза-
имодействием с туннельным током, если направление атомного
магнитного момента изменяется на прямо противоположное.
30. В задаче 28 рассмотрим зонд и образец как конденсатор, емкость
−16
которого равна 10
Ф. Найти заряд на конце зонда, если напряже-
ние между ним и поверхностью образца составляет 1 В.
31. Установлено, что проводящие нанотрубки могут выдерживать
13
электрический ток плотностью до 10
А/м2, что в 1000 раз превышает значение для меди. Рассмотрим проводящий провод, сделанный из углеродных нанотрубок. По проводу течет ток плотностью
2
j =1ТА/м
проходит через поперечное сечение площадью 1 мм
(где Т значит «тера», 1012). Какой заряд в проводе
2
за 10 секунд?
32. Возьмем небольшой сегмент провода (см. задачу 31) длиной 1 см
и поместим его в начало координат. По проводу течет ток в положительном направлении оси z. Найти (в векторной записи):
а) магнитное поле, создаваемое сегментом в точке P (10 см, 15 см,
20 см);
б) силу Лоренца, действующую на электрон, находящийся в точ-
ке P , со стороны провода, если известно, что электрон движется
5
в положительном направлении оси z со скоростью 10
м/с.
33. Рассмотрим круговой контур радиусом 1 см, по которому течет
ток. Контур состоит из провода, сделанного из углеродных нанотрубок.
а) Какова будет величина магнитного момента такого контура?
б) Найти магнитное поле (в векторной записи) в точке P (10 см,
15 см, 20 см), если известно, что контур находится в начале
координат, а ток течет в плоскости xy против часовой стрелки
относительно направления оси z (правило правого винта).
6.2. ЗАДАЧИ 95
в) Найти вращательный момент атома (в векторной записи) в точке
P , если атом имеет магнитный момент, равный двум магнетонам
Бора, и направление, совпадающее с положительным направлением оси z.
34. Поместим квадратный контур с током в однородное магнитное
поле величиной 1 Тл. Плоскость контура перпендикулярна линиям
магнитного поля, а сторона квадратной рамки равна 1 см. Контур
сделан из материала, описанного в задаче 31.
а) Как изменится абсолютное значение потенциальной магнитной
энергии, если направление тока в контуре изменить на противоположное?
б) Какова величина вращательного момента контура в магнитном
поле 1 Тл?
35. Чтобы воплотить в жизнь идею квантовых расчетов, ученые предложили использовать цепочку ионов теллура, нанесенных на кремниевую подложку. Для того, чтобы управлять каждым ионом в отдельности образец при этом помещают в неоднородное магнитное
поле. Предположим, что величина магнитного поля на левом конце
цепочки составляет 5 Тл, а для каждого следующего иона она уве-
−4
личивается на 5 · 10
Тл (см. рис. 12, где серыми точками показаны
ионы теллура, а стрелки обозначают магнитное поле на ионах).
Пусть цепочка содержит 100 ионов. Рассмотрим два состояния
иона: 1) магнитный момент иона направлен по направлению магнитного поля; 2) магнитный момент направлен против поля. Найдите
разность в магнитной потенциальной энергии между этими двумя
состояниями:
а) для крайнего левого иона;
б) для соседнего с крайним левым иона;
в) для крайнего правого иона.
Магнитный момент иона теллура равен магнетону Бора (μ
).
B
36. Рассмотрим цепочку ионов (см. задачу 35) в однородном магнитном поле. Чтобы «выбрать» ион, вдоль цепочки перемещают маленький сферический магнит, который останавливается точно над тем
ионом, который нам нужен (см. рис.13).
96 ГЛАВА 6
Рис. 12. Неоднородное магнитное поле на цепочке ионов.
Величина μ0m/V называется магнитной индукцией магнита, где
m — магнитный момент магнита, а V — его объем. Предположим, что
магнитная индукция равна 2,2 Тл, радиус магнита равен 5 нм, а рас-
стояние между центром магнита и выбранным ионом равно 15 нм.
Найти:
а) магнитное поле, создаваемое магнитом на выбранном ионе;
б) максимальную величину вращательного момента, создаваемого
магнитом на выбранном ионе;
в) максимальное изменение магнитной энергии выбранного иона,
связанное с направлением его магнитного момента.
37. Чтобы осуществлять квантовые вычисления, был предложен следующий метод: на поверхности кристалла кремния размещается цепочка сложных молекул (их обозначение N@C
). Такие молекулы
60
можно с большой точностью расположить на поверхности с помощью сканирующей туннельной микроскопии. Молекулы C
ввыше-
60
приведенной формуле можно рассматривать как маленькие ловушки
(≈ 1 нм) для парамагнитных атомов азота. Чтобы создать неоднородное магнитное поле вблизи атомов азота, было предложено использовать провода с особой микроструктурой.
Расположим на поверхности два провода как показано на рис. 14.
Пусть по ним течет ток 1 А в положительном направлении оси y (на
6.2. ЗАДАЧИ 97
Рис. 13. Движущийся магнит «выбирает» ион на поверхности образца.
нас). Расстояние между проводами Δ=1мкм, а диаметр провода
d =1мкм. Найти магнитное поле (в векторной записи), создаваемое
проводами:
а) в начале координат (т.е. в точке, лежащей на одинаковом рас-
стоянии от проводов);
б) на атоме азота в точке x = a (a =1, 14 нм);
в)вточкеx = −a.
38. Рассмотрим три соседних атома азота, находящихся в точках x =0, x = a и x =2a (см. задачу 37). Найти разность между
магнитной энергией для этих атомов, если известно, что их магнитные моменты направлены в положительном направлении оси z.
Магнитный момент атома азота равен 3μ
.
B
39. Яркость (испускаемая световая мощность) Солнца равна при-
26
мерно 4 · 10
Вт. Найти энергию, которую излучает Солнце
за 1 год.
40. В задаче 39 найти интенсивность электромагнитного излучения
11
Солнца на расстоянии 0,1 а. е. от его центра (1 а. е.≈ 1,5 · 10
м).
98 ГЛАВА 6
Рис. 14. Большими окружностями показано поперечное сечение проводов,
а маленькими — цепочка молекул.
41. Большая полуось орбиты астероида Афина равна 0,97 а. е.
Рассмотрим часть его поверхности, перпендикулярную падающему свету. Предположим, что поверхность астероида поглощает весь
падающий свет. Найти давление электромагнитного излучения Солнца на поверхность астероида, если расстояние между ним и Солнцем, равно 0,9 а. е. Световая мощность, излучаемая Солнцем равна
26
4 · 10
Вт.
42. Наблюдения космоса с помощью рентгеновских лучей указывают на то, что во Вселенной существуют магнетары (нейтронные звезды, которые создают гигантские магнитные поля, ин-
11
дуктивность которого может достигать 10
Тл). Предположим,
что вблизи поверхности магнетара движется электрон со скоростью 100 км/c. Найти максимальное значение силы Лоренца, которая действует на электрон, если индукция магнитного поля рав-
11
на 10
Тл.
43. В задаче 42 найти наибольший вращательный момент, который
действует на внутренний магнитный момент электрона, равный одному магнетону Бора.
44. Было выяснено, что импульсы жесткого рентгеновского излучения можно удерживать в кристаллическом резонаторе, который состоит из двух пластинок, сделанных из кремния и расположенных
друг от друга на расстоянии 15 см. Предположим, что между пластин-
6.2. ЗАДАЧИ 99
ками движется импульс длительностью 10
−10
c и частотой 4 ·1018Гц.
Найти:
а) длину волны рентгеновского излучения;
б) период рентгеновских лучей;
в) длину импульса;
г) число длин волн в импульсе.
45. В задаче 44 допустим, что после каждого отражения от пластинки
энергия импульса уменьшается на 30 %.
a) Сколько отражений испытает импульс прежде, чем он потеряет
более 90 % начальной энергии?
б) Найти длину пути, который проходит импульс до того, как его
энергия уменьшится более чем на 90 %.
в) Сколько времени потребуется импульсу для прохождения рас-
стояния, найденного в пункте (2)?
46. Оптические стоячие волны, возникающие между двумя зеркалами, могут удерживать нейтральные атомы в пучностях волны. Найти
расстояние между двумя соседними центрами захвата, если частота
14
света равна 3,5 ·10
Гц.
47. В экспериментах по «остановке света» ученые облучают газовую смесь рубидий–гелий «контрольным пучком», который изменяет свойства газа. В присутствии контрольного пучка в газ от другого источника света посылается «сигнальный световой импульс»
длительностью τ . При прохождении через газ скорость сигнального импульса падает примерно до 900 м/с. Когда сигнал достаточно «сжат» внутри газа, контрольный пучок выключают и свет
в газе («контрольный» и «сигнальный») исчезает. При повторном
облучении газа контрольным пучком снова появляется сигнальный
световой импульс длительностью τ. Другими словами, сигнальный
импульс, по существу, «останавливается», а затем «освобождается»
газом.
a) Найти длину сигнального импульса до того, как он входит в газ.
б) Найти эту же длину при прохождении импульса через газ.
100 ГЛАВА 6
48. Галактика Млечный Путь имеет две маленькие сателлитные
галактики, которые называются Магеллановы Облака. Меньшая из
них (Малое Магелланово Облако) отстоит от Солнца примерно
на 200 000 световых лет. Космический телескоп «Хаббл» регулярно
делает четкие снимки звезд в Малом Магеллановом Облаке. Найти
число длин волн, умещающихся между звездой в Малом Магеллановом Облаке и телескопом, если свет, который регистрирует телескоп,
имеет длину волны 600 нм.
49. Галактические кластеры — это самые большие структурные эле-
менты Вселенной. Внутри кластера пространство обычно заполнено
горячим газом. Этот газ излучает рентгеновские лучи, которые можно
зарегистрировать при помощи рентгеновских телескопов. В 2002 году спутником «Chandra X-ray Observatory» был открыт наиболее удаленный галактический кластер 3C294. Его размер, по некоторым
5
оценкам, равен 6 · 10
св. лет. Как давно кластером были испущены
лучи, которые зафиксировал спутник, если угловая протяженность
−5
кластера равна 6 ·10
рад?
50. Недавно из стекловолокна и меди был создан композитный материал, имеющий отрицательный показатель преломления для микроволн с частотой примерно 5 ГГц.
Отрицательный показатель преломления в законе Снеллиуса означает,
что угол преломления в этом случае
также отрицателен, т. е преломленная волна распространяется по ту
же сторону от нормали, что и падающая.
Рис. 15. Точечный источник микроволн, расположенный на расстоянии s от пластинки толщиной
w (w>s).
a) Найти длину волны микроволн
с частотой 5 ГГц.
б) Поместим точечный источник
микроволн на расстоянии s
от композитной пластинки толщиной w, имеющей показатель
6.2. ЗАДАЧИ 101
преломления n = −1 (см. рис. 15). Найдите графически изображение точечного источника внутри пластинки и расстояние
между источником и изображением.
в) Найдите конечное изображение источника за пределами пла-
стинки и расстояние между источником и изображением.
7.1. Механика
ГЛАВА 7
Ответы и решения
1. Ускорение свободного падения вблизи Земли g = GMe/R
соте h это ускорение равно g
= GMe/(Re+ h)2. Относительное
2
.Навы-
e
изменение ускорения свободного падения (в процентах):
g −g
g
× 100 ≈
200h
R
e
.
2. Гравитационная сила, действующая на бактерию на высоте h:
= GMem/(Re+ h)2= mg
F
g
Re+ h
R
2
e
,
где m — масса бактерии.
3 б. s = vΔt,гдеv — скорость зонда, а Δt =1год.
4 б. F = F
= GMem/r
g
2
,гдеres— расстояние между центром Земли
es
и кораблем, а m — масса корабля.
4 в. GM
m/r
e
= GMom/r
es
2
Солнца и кораблем, r
2
,гдеrss— расстояние между центром
ss
— расстояние между центром Земли и кора-
es
блем.
5 а. s = vΔt.
2
5 б. p = mv, K = mv
6 a. F
= GMem/(r
g
/2.
2
+ h)=mg
e
Re+ h
2
R
e
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]