Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современная физика и техника для студентов
.pdf
5.1. КРАТКИЙ ОБЗОР 53
32. Кинетическая энергия частицы равна
2
mv
K =
, (5.24)
2
а ее производная по времени —
dK
=F · v. (5.25)
dt
Скалярное произведениеF ·v называется мощностью силыF .
33. Работа по перемещению частицы из положения P
ние P
, совершенная силойFk, определяется как
f
P
f
· dr. (5.26)
W =
F
k
P
i
вположе-
i
Работа, совершенная суммарной силой, равна изменению кинетической энергии частицы:
− Ki. (5.27)
f
(см. (5.13)), действующей на частицу
34. Работа силы тяжести F
W = K
g
массой m,равна
= mg(yi− yf), (5.28)
W
g
и yf— начальное и конечное положение частицы (предполага-
где y
i
ется, что ось y направлена вертикально вверх). Функция
(y)=mgy +const (5.29)
U
g
называется потенциальной энергией.
35. Кинетическая энергия системы частиц равна сумме кинетических
энергий каждой частицы:
K =
. (5.30)
K
n
54 ГЛАВА 5
Формула для потенциальной энергии остается прежней, т.е. U (y)=
= mgy +const,гдеm — полная масса системы, а y — координата
центра масс.
36. Работа, затрачиваемая на деформацию пружины, т. е. работа силы
упругости вдоль оси пружины (оси x), равна
1
2
k
=
W
s
и xf— начальное и конечное положение конца пружины. Функ-
где x
i
(x
s
2
2
− x
), (5.31)
i
f
ция
1
U
s
(x)=
k
x2+const (5.32)
s
2
называется потенциальной энергией упругости пружины.
37. Механическая энергия E системы частиц (или просто твердого
тела) есть сумма ее кинетической и потенциальной энергии:
E = K + U. (5.33)
Если в системе действуют только упругие и гравитационные силы,
то полная механическая энергия сохраняется (закон сохранения меха-
нической энергии). Такие силы называются консервативными.Работа
по перемещению частицы, совершенная этими силами, зависит только от начального и конечного положения частицы.
38. Если частица вращается по окружности радиуса r, то ее ускоре-
ние складывается из двух компонентов: центростремительного ускорения a
, которое направлено к центру, и тангенциальногоat,направ-
c
ленного по касательной к окружности. Величина центростремительного ускорения выражается формулой
v
2
, (5.34)
=
a
c
r
где v — скорость частицы. Если скорость постоянна (v = const),то
касательная составляющая ускорения равна нулю.
39. Предположим, что частица вращается вокруг оси z,вплоско-
сти xy. Угловая координата частицы в этом случае равна
θ =kθ, (5.35)
5.1. КРАТКИЙ ОБЗОР 55
где θ — это угол между радиус-вектором r частицы и осью x.Угловое
перемещение можно описать с помощью вектораΔθ:
Δθ =θ
−θi=k(θf− θi). (5.36)
f
Угловая скорость ω определяется как
dθ
ω =
, (5.37)
dt
а ее модуль обозначается ω. Угловое ускорение α равно
dω
α =
40. Связь между величинами v, ω, a
v = rω, a
. (5.38)
dt
и α:
t
= rα (5.39)
t
41. Предположим, что твердое тело вращается вокруг оси z.Тогдаего
положение можно определить, измеряя угол θ между осью x иради-
ус–вектором любой точки тела, лежащей в плоскости xy.Формулы
для угловой координаты, перемещения, скорости и ускорения твердого тела остаются такими же, как и для частицы.
42. Вращательный момент τ
, порождаемый силойFk, есть векторное
k
произведение
= rk×Fk, (5.40)
τ
k
где r
— радиус-вектор точки, к которой приложена сила.
k
43. Момент инерции I частицы, вращающейся вокруг оси z:
2
I = m(x
+ y2). (5.41)
В случае твердого тела формула (5.41) выглядит следующим образом:
2
I =(x
+ y2)dm. (5.42)
56 ГЛАВА 5
44. Основной закон динамики вращательного движения:
τ
, (5.43)
α =
I
где τ — полный вращательный момент (векторная сумма всех момен-
тов), действующий на тело.
45. Угловой момент (момент количества движения) частицы равен
L = r ×p. (5.44)
Для твердого телаL равен
L = Iω. (5.45)
46. Производная углового момента по времени равна мгновенному
моменту силы (полному вращательному моменту):
dL
= τ. (5.46)
dt
Это же выражение можно использовать и для системы частиц.
47. Если полный момент силы в системе равен нулю, то угловой
момент остается неизменным по величине и направлению (закон со-
хранения углового момента).
48. Кинетическая энергия вращательного движения частицы или
твердого тела:
2
Iω
K =
. (5.47)
2
49. Условия статического равновесия тела:
τ =0,F =0. (5.48)
Здесь предполагается, что v
=0и ωi=0.
i
5.1. КРАТКИЙ ОБЗОР 57
50. Чтобы описать небесные явления в Солнечной системе, удобно использовать систему координат, связанную с центром Солнца
(в данном приближении ее можно считать инерциальной), а чтобы
описать движение спутника вокруг Земли, лучше перейти к системе,
связанной с центром Земли (в этом случае ее также можно считать
инерциальной).
51. Первый закон Кеплера: планеты вращаются вокруг Солнца по
эллиптическим орбитам. Третий закон Кеплера: отношение квадрата
периода T
2
к кубу главной полуоси R
3
одинаково для всех планет.
1
52. Если имеется груз на пружине, который движется только под
действием силыF = −ik
(x − x0), то закон движения выглядит
s
следующим образом:
x = x
+ A cos(ωt + φ). (5.49)
0
Это уравнение описывает гармонические колебания объекта с амплитудой A, угловой частотой ω и фазовой постоянной φ. Частота
колебаний определяется как
ω
f =
, (5.50)
2π
апериодT —
2π
1
=
T =
f
. (5.51)
ω
53. Процесс распространения колебаний в среде называется бегущей
волной. Если такой процесс можно описать при помощи гармонической функции (синус или косинус), то волна называется гармонической.
54. Наиболее простой пример гармонической бегущей волны — это
волна в туго натянутой струне. Если на одном конце струны появляются гармонические колебания (например, вдоль оси y), то они начи-
нают распространяться по струне в направлении оси x (см. рис. 7).
55. Координату y любой точки струны в этом случае можно найти
как
ωt
y(x, t)=A sin(kx −ωt + φ), 0 x
, (5.52)
k
58 ГЛАВА 5
Рис. 7. Гармоническая бегущая волна.
если волна распространяется в положительном направлении оси x,
или как
ωt
y(x, t)=A sin(kx + ωt + φ), −
x 0, (5.53)
k
если волна движется в противоположном направлении (предполагается, что волна возникает в начале координат, начиная с момента t =0).
56. Величина k называется волновым числом, ω — угловая частота,
φ — начальная фаза, A — амплитуда волны. Угол kx ± ωt + φ на-
зывается фазой волны. Эти параметры являются общими для всех
гармонических волн. Точки, в которых смещение от положения равновесия максимально, называются гребнями волны.
57. Частота гармонической волны:
ω
f =
. (5.54)
2π
58. Период гармонической волны:
2π
1
=
T =
f
. (5.55)
ω
5.1. КРАТКИЙ ОБЗОР 59
59. Длина волны λ — это расстояние между двумя соседними точками,
колеблющимися в одинаковой фазе:
2π
λ =
. (5.56)
k
60. Скорость распространения волны:
λ
ω
=
v =
k
= λf. (5.57)
T
61. Скорость волны в струне:
F
T
v =
, (5.58)
μ
где F
— сила натяжения струны, μ = m/L — линейная плотность
T
струны массой m и длиной L.
62. Энергия, переносимая волной в струне:
1
P =
μv(Aω)
2
63. Интенсивность звуковой волны I
ность P
, отнесенная к единице площади:
s
=
I
s
2
. (5.59)
— это переносимая ею мощ-
s
dP
s
. (5.60)
dA
Здесь предполагается, что поверхность dA перпендикулярна направлению распространения звуковой волны.
64. Уровень интенсивности звука β:
I
S
, (5.61)
I
SO
где I
SO
=10
β =10lg
−12
Вт/м2— порог слышимости.
60 ГЛАВА 5
65. Если источник и приемник звука движутся относительно друг
друга, то частота принимаемой волны равна
v ±v
v ∓v
0
f, (5.62)
s
=
f
где f — частота излучения источника (неподвижного), v — скорость
звука, v
— скорость приемника, vs— скорость движения источника.
0
Знаки в числителе соответствуют движению источника по направлению к приемнику (увеличение частоты), а знаки в знаменателе —
наоборот, движению источника от приемника.
66. Стоячая волна в струне описывается уравнением координаты y
точки струны:
y = A sin(kx + φ
67. Амплитуда стоячей волны A sin(kx + φ
)cos(ωt + φ2). (5.63)
1
) — это гармоническая
1
функция координаты x. Точки, в которых амплитуда всегда равна
нулю, называются узлами волны; точки, в которых амплитуда максимальна и равна A, называются пучностями волны. Точки между
двумя соседними узлами колеблются с одинаковой фазой (ωt + φ
или (ωt + φ
+ π).
2
)
2
68. Длина стоячей волны (λ =2π/k) — это расстояние между дву-
мя соседними точками с одинаковой амплитудой и фазой. У стоячей волны нет скорости, поскольку колебания «заполняют» всю
струну, а узлы и пучности не передвигаются по струне. Период волны равен T =2π/ω, а частота f =1/T = ω/2π.Воз-
можные частоты гармонических стоячих волн образуют дискретный набор значений f
, минимальная частота называется частотой
n
основной гармоники, а соответствующая стоячая волна — основной
волной. Все вместе частоты f
называются собственными часто-
n
тами.
69. Если струна закреплена с обоих концов, то частота ее основной
гармоники:
v
, (5.64)
=
f
1
2L
5.2. ЗАДАЧИ 61
где L — длина струны, а v — скорость бегущей волны в струне.
Выражение для собственных частот имеет вид
= nf1, где n =1, 2, 3,... (5.65)
f
n
Соответствующие собственные длины волн:
v
2L
=
λ
n
=
f
n
где n =1, 2, 3,... (5.66)
n
70. Для струны, закрепленной с одного конца, собственные частоты
определяются как
= nf1,n=1, 3, 5,..., (5.67)
f
n
где основная частота равна
v
. (5.68)
=
f
1
4L
Соответствующие собственные длины волн:
λ =
v
f
n
,n=1, 3, 5,... (5.69)
=
n
4L
5.2. Задачи
1. Тропосфера — это нижняя часть земной атмосферы, простирающаяся примерно на 10 км над поверхностью Земли. Найти отно-
сительное изменение ускорения свободного падения в тропосфере
(в процентах).
2. В 2001 году было открыто наличие бактерий в атмосфере на высоте
примерно 40 км. Ученые предполагают, что эти бактерии проникли из
космоса, поскольку ничто не способно перенести их на такую высоту
с поверхности Земли. Найдите гравитационную силу, действующую
на бактерию на высоте 40 км (массу бактерии принять равной 1
фемтограмму).
3. Зонд «Вояджер-2» был запущен в 1977 году. Он прошел рядом
с Юпитером, Сатурном, Ураном, Нептуном и на данный момент вышел за пределы Солнечной системы.
62 ГЛАВА 5
а) Скорость Вояджера-2 составляет порядка 60800 км/ч. Найдите
его скорость в единицах системы СИ.
б) Предполагая, что скорость зонда постоянна, найдите расстояние,
которое он проходит за год.
4. Проект «Космос-1», финансируемый неофициально организацией
«Planetary Society» (Планетарное Сообщество), разрабатывается для
того, чтобы использовать давление солнечного света при движении
кораблей с солнечным парусом подобно тому, как обычный парус
использует силу ветра.
а) Площадь паруса «Космоса-1» составляет около 720 квадратных
ярдов, а вес корабля равен 88 фунтам. Вычислить площадь и мас-
су в единицах системы СИ.
б) Какой должна быть сила солнечного ветра, действующая на па-
рус, чтобы уравновесить гравитационную силу, действующую на
корабль со стороны Земли на расстоянии 100 Мм от ее центра?
в) Предположим, что корабль с солнечным парусом движется в сто-
рону внешней границы Солнечной системы. На каком расстоя-
нии от центра Земли гравитационная сила, действующая на ко-
рабль со стороны Солнца, будет равна силе, действующей со
стороны Земли? (Солнце, Земля и корабль расположены на од-
ной прямой.)
5. Предполагается, что межзвездный зонд с солнечным парусом будет запущен в 2010 году. Его скорость будет достигать порядка
608 000 км/ч, что в 10 раз превышает скорость «Вояджера–2» (см. за-
дачу 3).
а) Найдите расстояние, которое будет проходить этот межзвездный
корабль за 1 год.
б) Вычислите импульс и кинетическую энергию зонда, если из-
вестно, что его масса равна 40 кг.
6. Корабль «Галилео», полет которого был в 1989 году, состоял из
орбитальной ступени весом 2400 кг и зонда весом 300 кг. «Галилео»
сначала направился в сторону Солнца, достиг Венеры, а затем повернул ОБРАТНО. Это было сделано для того, чтобы зонд набрал
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]