Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение задач математического моделирования в системе MathCAD. Учебное пособие
.pdf
Рис.3.3. Участок графика функции y(x), содержащий минимум
0=
dx
dR
3.1.2 Аналитический метод определения экстремумов функций одной переменной
Дана функция одной переменной R(x). Проведем аналитическое
исследование для данной функции:
Необходимым условием существования экстремума у функции
одной переменной R(x) является: производная в точке экстремума
равна нулю либо она не существует, поэтому необходимо решить по-
лученное уравнение с одним неизвестным
.
Решением являются точки, подозрительные на экстремумы.
а) Проверить, являются ли эти точки экстремумами:
Если в этой точке значение больше, чем в соседних точках (x*- ε),
(x*-+ε), где ε – сколь угодно малое число, то в этой точке находится
максимум:
R(x*)>R(x*-ε)
R(x*)>R(x*+ε). Если эти условия выполнены, то в точке x* суще-
ствует максимум.
Если в этой точке значение меньше, чем в соседних точках, где ε
– сколь угодно малое число, то в этой точке находится минимум:
71
R(x*)<R(x*-ε)
dx
dR
2
2
dx
Rd
2
2
dx
R
d
2
2
dx
R
d
Рис.3.4. Пример функции, для которой в точке экстре-
R(x*)<R(x*+ε) , в x* - минимум.
Проверку на максимум и минимум можно выполнить с помощью
производной
. Если при переходе через точку, подозрительную на
экстремум, производная меняет знак с «+» на «-», то в этой точке
максимум. Если при переходе через точку, подозрительную на экстремум, производная меняет знак с «-» на «+», то в этой точке минимум.
Для проверки можно взять вторую производную в подозритель-
ной точке
находится max; если
. Если вторая производная меньше нуля, то в этой точке
>0 - в этой точке находится min. Если
=0- необходима проверка производных более высокого порядка.
Замечание. Возможны случаи, когда в точке экстремума произ-
водная не существует. Такой случай приведен на рис. 3.4.
R(x)
мума производная не существует
72
В точке производная
dx
dR
0=
dx
dR
x
x*
R(x)
Рис.3.5. Пример функции R(x), когда функция в точке x*
не существует, но в этой точке достига-
ется максимум.
Рассмотрим случай, когда производная равна нулю, но экстремума нет. Это точка перегиба (рис. 3.5)
равна нулю, но экстремума нет
при x=x
*
Аналитическое исследование функции на экстремумы
Для заданной функции y(x) = 0,9x
3
– 6x2 + x –5 найти точки экс-
тремума. Определить, какой экстремум в найденных точках – максимум или минимум.
z(x):=2.7x
2
-12x+1 - производная функции y ( x );
x:=-5 - начальное приближение;
root(z(x),x) = 0.085 - решение уравнения z ( x )=0;
x:= 4 - начальное приближение;
root(z(x),x) = 4.359 - решение уравнения z ( x )=0.
73
Значение функции y(x):
y x( ) 0.9x36x2− x+ 5−:=
x
0:=
Giv e n
p
Maximize y x, ( ):=
p 0.085=
y p( ) 4.958−
=
x 8:=
Giv e n
p Minimize y x, ( )
:=
p 4.359=
y p( ) 40.104−=
y(- 1) = -12.9 - до точки экстремума;
y(0.085) = - 4.958 - в точке экстремума;
y(1) = -9.1 - после точки экстремума.
Так как до точки, подозрительной на экстремум, функция возрас-
тает, а после этой точки убывает, то искомая точка является точкой
максимума.
Значение функции y(x):
y(3) = -31.7 - до точки экстремума;
y(4.359) = -40.104 - в точке экстремума;
y(6) = -20.6 - после точки экстремума.
Так как до точки, подозрительной на экстремум, функция убыва-
ет, а после этой точки возрастает, то искомая точка является точкой
минимума.
3.1.3. Поиск экстремумов функции одной переменной с помощью
команд MathCAD
Задание найти экстремумы функции y ( x ) = 0,9 x
3
- 6 x 2 + x –5.
Пример выполнения задания:
-целевая функция одной переменной;
- начальное приближение переменной x
для поиска максимума;
- команда для поиска максимума функции y(x);
- точка максимума функции y(x);
-значение функции в точке максимума;
- начальное приближение переменной x
для поиска максимума;
- команда для поиска минимума функции y(x);
- точка минимума функции y(x);
- значение функции в точке минимума;
74
3.1.4. Поиск экстремума функции двух переменных
с использованием системы MathCAD
Построить поверхность и линии постоянного уровня, протабули-
ровать функцию двух переменных и найти минимум функции.
Пример выполнения задания в MathCAD:
f(x,y):= 4.5x
2
+ xy + 1.5y
2 _
8x + y – 2 - целевая функция от двух
переменных;
x:= -4, -3, .. 4 - задан интервал для переменой x с шагом 1;
y:= -4, -3, .. 4 - задан интервал для переменой y с шагом 1;
В столбец вписаны значения переменных x и y, а также определе-
ны значения функции f(x,y) при заданных x и y. Мы протабулировали
функцию на заданном интервале.
Для построения линий постоянного уровня необходимо на панели
инструментов Format открыть панель Graph и на ней выбрать “Surface
Plot” (поверхностный график).
75
Для построения поверхности нужно на панели Graph выбрать
ContourPlot (контурный график). Чтобы на линиях постоянного уров-
ня были значения функции, необходимо дважды щелкнуть кнопку
мыши в поле графика и получить меню. В появившемся окне меню
открыть вкладку Special и выбрать пункт Numbered.
После изменения параметров щелкнуть кнопку «Применить».
Найдем минимум целевой функции.
f(x,y):= 4.5x
2
+ xy + 1.5y
2 _
8x + y – 2 - целевая функция.
Далее задаются начальные приближения поиска экстремума по
каждой переменной:
x:=0.9 - начальное приближение для переменной x;
y:=-0.7 - начальное приближение для переменной у;
Given
p:=Minimize(f,x,y) - команда поиска минимума функции f
с переменными x,y;
p =
.
- вектор, координатами которого является точ-
.
ка,
в которой функция f (x,y) достигает миниму-
ма;
f(p
) = -6.173 - значение функции f ( x , y ) в точке минимума.
0,p1
Аналитическое исследование на экстремум функции
двух переменных[4]
76
Для того чтобы найти экстремум, нужно взять частные производные. В результате получится система уравнений. Решением этой системы будет точка, подозрительная на экстремум.
Чтобы найти производную, необходимо выделить все выражения
и нажать SHIFT + F 9:
9.0x + y – 8 - частная производная по x ;
x + 3.0y + 1- частная производная по y .
Для нахождения точки, подозрительной на экстремум, необходимо решить следующую систему уравнений:
x:= 0;
y:= 0 - задаем начальное приближение для поиска точки, подозри-
тельной на экстремум.
Given
Система уравнений, состоящих из частных производных:
x + 3.0y + 1 = 0;
9.0x + y – 8 = 0.
Для того чтобы приравнять уравнения к нулю, нужно на панели
«Математика» выбрать панель Boolean и использовать знак равенства.
0.962
Find(x,y
)
=
- точка, подозрительная на экстремум с коор-
-0.654
динатами x и y.
С целью проверки есть ли в этой точке экстремум и какой он (max
или min), надо взять вторые производные и смешанную производную
от функции f (x,y).
9.0-значение второй производной по x;
3.0-значение второй производной по y;
77
26.00-значение смешанной производной;
)(
1
iii
xhgradRxx −=
+
,
1
i
j
i
j
i
j
dx
dR
hxx −=
+
j
x
(1)
Так как вторая производная по переменной x больше нуля
(9,0 > 0) и условие (1) выполняется, то в точке, подозрительной на
экстремум, с координатами
0.962
существует минимум, и значение
-0.654
функции в этой точке равно (–6,173).
3.1.5. Поиск экстремума функции от двух переменных
методом градиента
Метод градиента в чистом виде формирует шаг по переменным
как функцию от градиента R(x) в текущей точке поиска. Простейший
алгоритм поиска minR(x) записывается в векторной форме следующим образом [6]:
,
или в скалярном виде:
j=1,…,n.
Величина рабочего шага в направлении градиента h gradR(x) зависит от величины градиента, который заранее учесть трудно, и от
коэффициента пропорциональности шага h, с помощью которого
можно управлять эффективностью метода.
Поиск каждой новой точки состоит из двух этапов:
- оценка градиента R(x) путем вычисления частных производных
от R(x) по каждой переменной
;
- рабочий шаг по всем переменным одновременно.
Величина h сильно влияет на эффективность метода. Используются различные алгоритмы коррекции h. Наибольшее распространение получили следующие алгоритмы:
78
hconsth
i
==
(без коррекции);
2/
1−
=
ii
hh
)()(
1−
<
ii
xRxR
1−=ii
hh
)()(
1−>ii
xRxR
i
nin
ii
i
g
xxxRxgx
xR
dx
dR )
,.....,,....,(),.....,,....,(
11
−+
≈
i
g
ε
<
)(x
gradR
9.0x + y -8 - значение частной производной по x;
d
dx
(4.5 x+ x y + 1.5 y8 x + y 2)
, если
;
, при поиске максимума.
Для оценки частных производных используются разностные методы, например метод замены производной
,
, если
где
- пробный шаг по i-й переменной, выбираемый достаточно
малым для разностной оценки производной. Условием окончания поиска может являться малость модуля градиента R(x), т.е.
Задание. Найти минимум функции от двух переменных методом
градиента. Поиск продолжить до тех пор, пока модуль градиента
функции не будет меньше заданной точности eps = 0,05.
Пример выполнения задания в MathCAD.
=
0
- задаются координаты начальной точки;
1
h:=0.5 - задается начальное значение шага для поиска
экстремума;
2 _
8x + y – 2 - целевая функция;
f(x,y):= 4.5x
2
+ xy + 1.5y
Вычисляются частные производные функции f (x,y):
d
(4.5 x+ x y + 1.5 y8 x + y 2)
dx
Используя панель инструментов «Исчисление» (Calculus Toolbar),
набрать данное выражение и нажать SHIFT + F 9.
x + 3.0y +1 - значение частной производной по x;
79
gradf(x,y) :=
.
.
Определяется выражение для нахождения градиента функции
f(x,y).
Итерация № 1 (номер приближения)
gradM:= gradf(0,-1)
Определяется градиент целевой функции в начальной точке.
gradM =
- значение градиента функции в начальной точке;
|gradM| = 9.22 - вычисляется модуль градиента по формуле:
()
где R – целевая функция;
x – вектор, в котором x
… xn - переменные.
1,x2
f(0,-1) = -1.5 - вычисляется значение функции в начальной точке
поиска.
4.5
x h gradM =
0
На следующем шаге, вычисляется новое приближение (координаты точки):
- в векторной форме x
- в скалярной форме
i+1
= xi – h * gradR(xi) или
=
, = 1, … ,
f(4.5,0) = 53.125
Поскольку значение функции в новой точке поиска оказалось
больше, чем в начальной точке, шаг следует считать неудачным. Шаг
делится пополам: h = h /2.
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]