Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение задач математического моделирования в системе MathCAD. Учебное пособие
.pdf
Продолжение таблицы 1.2
Оператор
Обозначение
Клавиши
Описание
Векторное произведение
u·v
Ctrl+8
Векторное произведение векторов u и v
Суммирование
Ctrl+Shift+
Сумма членов Х для
выражением
Произведение для
Ctrl+Shift+
Произведение членов
бым выражением
Суммирование
ряда
$
Сумма членов Х бес-
Произведение для
да
#
Произведение членов
Предел функций в
lim
()
Ctrl+L
Предел функции f(X)
вычислений)
Предел функции
lim
()
Ctrl+B
Предел функции f(x)
вычислений)
Предел функции
lim
()
Ctrl+A
Предел функции f(x)
вычислений)
для конечного
ряда
конечного ряда
для бесконечного
бесконечного ря-
заданной точке
слева от заданной
точки
+4
i=m, m+1,…,n, причём
Х может быть любым
+3
Х для i=m, m+1,…,n,
где Х может быть лю-
конечного ряда
Х бесконечного ряда
при х стремящемся к а
(выполняется только в
режиме символьных
при х приближающемся к а слева (выполняется только в
режиме символьных
справа от заданной точки
при х приближающемся к а справа (выполняется только в
режиме символьных
21
Окончание таблицы 1.2
Оператор
Обозначение
Клавиши
Описание
режиме символьных вычислений)
Определённый
()
&
Определённый интеграл
интегрирования
Неопределён-
()
Ctrl+I
Вычисление в символь-
гральной функцииf(t)
Производная
менной t
()
?
Первая производная
n-я производная
менной t
)(tf
dt
dn
n
Ctrl+?
n-я производная функции
Сложение
X+Y
+
Скалярное, векторное
Xи Y
Вычитание
X-Y
-
Скалярное, векторное
ние Y из Х
Перевод строки
X+Y
Ctrl+Enter
Перенос части выраже-
ку
интеграл
ный интеграл
заданной функции по пере-
заданной функции по пере-
от подынтегральной
функции f(t) с нижним (а)
и верхним (b) пределами
ном виде неопределённого интеграла от подынте-
функции f(t) по переменной t
f(t) по переменной t
или матричное сложение
или матричное вычита-
Примеры вычислений с некоторыми операторами представлены
ниже:
I:=1…10
=55 2·
=110 3·
22
=165
ния на следующую стро-
=3.629×106
10!= 3.629×106 11·
f(x):=x·exp(-x)
()
sin
= 0.54 cos(x)=0.54 lim
=3.992×10
()= 1
7
(2 · + 1)
()= 1
()
= 3.623
x=:1
1
1.3. Построение графиков
Для построения графиков используется программный графический процессор, позволяющим строить самые разные графики.
Например, в декартовой и полярной системе координат, двумерные
поверхности, графики уровней и т.д. Графики любого вида можно
удалять, выделять, заносить в буфер обмена, извлекать их оттуда и
переносить в любое место документа. Их можно перетаскивать с места на место курсором мыши, а также растягивать по горизонтали, по
вертикали и по диагонали, цепляясь за специальные маркеры. Для
всех этих действий применяют обычные приемы, используемые в программах, которые работают под управлением системы Windows.
1.3.1. Работа с двумерными графиками
Для построения графиков используют шаблоны. Их можно получить двумя вариантами:
1) Использование команд главного меню:
Вставка ⇒ График ⇒Х-У - зависимость или полярные координаты
с последующей активизацией нужного вида графика.
2) Использованием математической панели:
Для этого следует выполнить 1щ. ЛКМ (один щелчок левой клавишей
мыши по кнопке с изображением графика).В появившейся палитре
«Графики» выбрать нужный тип графической зависимости (возможно
использование всплывающей подсказки). Выбранный вид графика
активизировать.
В результате на экране появляется шаблон, он представляет собой
прямоугольник с чёрными квадратиками по осям для декартовой системы координат, а для полярной системы – это круг с тремя чёрными
квадратиками слева и внизу. Чёрные квадратики – это «вакантные ме-
23
ста», или шаблоны данных, куда в дальнейшем вносится информация
для построения графика.
1.3.1.1. Типовое построение графиков в декартовой системе
Построение, как правило, осуществляется в три шага.
Шаг 1. Задание вида функции.
Шаг 2. Формирование значений аргумента. Аргументом может
быть дискретная переменная, переменная с индексом или выражение,
содержащее дискретную переменную. В последних версиях предлагается упрощенный способ задания аргумента без предварительного
определения ранжированной переменной. В этом случае пределы изменения независимой переменной задаются по умолчанию и находятся в диапазоне[-0,10].
Шаг 3. Построение графика. Этот сам состоит из нескольких по-
следовательных действий
1) Создание шаблона - прямоугольника с чёрными квадратиками.
2) Заполнение вакантных мест. В средний шаблон данных по
оси абсцисс заносят имя аргумента, а в средней по оси ординат – имена или определения функций. Если функций несколько, то их разделяют запятыми. В крайние шаблоны данных заносят предельные значения аргумента и функций, т.е. задают масштабы по осям. Можно
оставить эти шаблоны незаполненными, тогда масштабы по осям будут установлены автоматически.
3) 1щ. ЛКМ вне пределов графической области. На экране по-
явился график.
1.3.2. Типовое построение графиков в полярной системе
Положение точки в полярной системе координат определяется
длиной полярного радиуса (ro) и величиной полярного угла (fi). Уравнение ro = f(fi) определяет вид графической зависимости в этой системе.
Построение графика в полярной системе включает те же три шага, что и в декартовой системе.
Шаг 1. Задание видов функций.
Шаг 2. Формирование значений аргумента.
24
Шаг 3. Построение графика:
1) Создание шаблона - круга с чёрными квадратиками по осям.
2) Заполнение «вакантных мест».
В нижнем шаблоне размещают имя аргумента, а в левом - имя
или определение функции. Если функций несколько, то их разделяют
запятыми. Правые «вакантные места» отведены для указания верхних
и нижних пределов функций. Их можно не заполнять. Система
Mathcad сделает это автоматически.
1.3.3. Построение поверхностей с использованием
матрицы-аппликат
Типичный поверхностный график показывает значение функции
двух переменных. Чтобы создать такой график, необходимо сначала
создать матрицу, элементами которой являются значения этой функции, а затем построить поверхностный график этой функции.
Рассмотрим стандартные этапы создания графика поверхности:
1) Создание матрицы- аппликат:
• определить функцию двух переменных в виде функции поль-
зователя F(x,y):=выражение;
• задать количество точек по осям XиY(количество строк и
столбцов матрицы);
• определить дискретные аргументы Iи J, чтобы индексировать
точки;
• определитьx
как точки, равномерно расположенные на
iиyi
осях;
• задать матрицу - аппликат M
=F(xi,yj).
i,j
2) Построение графика.
Вызвать шаблон графика Surface Plot. Левый верхний угол шаблона помещается в место расположения курсора на поле документа.
Вызвать шаблон Surface Plot можно, выполнив команды:
Вставка Графика Surface Plot или сделав один щелчок по кнопке с изображением поверхности на палитре Графики, если
эта палитра присутствует на поле документа. В результате система
выдаст рамку с одним полем ввода. В это поле следует внести имя
матрицы - аппликат.
25
Для получения изображения необходимо щелкнуть мышкой вне
графической области, если работа ведётся в автоматическом режиме,
или нажать на клавиатуре клавишу F9. Система Mathcad даст пространственное изображение матрицы в виде двумерной сетки, находящейся в трёхмерном пространстве. Каждый элемент матрицы представляется как точка на высоте, пропорциональной значению элемента матрицы. Для задания поверхности функции двух переменных,
начиная с версии Mathcad 2000 предлагает новую графическую функцию CreateMesh.
Структура функции – CreateMesh (F,a,b,c,d), где F – имя функции; a,b- пределы измерения аргументов по оси Y. Количество точек
диапазона изменения аргументов равно 20 и определяется по умолчанию.
1.4. Символьные вычисления и оптимизация вычисления
Весьма важной возможностью Mathcad является способность выполнять символьные (аналитические) вычисления. Лучше всего для
этого использовать специальный оператор вывода символьных результатов и палитру символьных операций (кнопка с академической шапочкой). Выполняемые операции (знаком ⊕ отмечены операции, имеющиеся только в профессиональных версиях):
simplify -упрощение выражений;
expand -разложение выражения по степеням;
factor -разложение выражения на простые дроби;
complex -преобразования в комплексной форме;
assume -придание переменным заданных свойств и
ограничений;
series -разложение в ряд по заданным переменным;
float -преобразование в формат чисел с плавающей
точкой;
⊕parfac -разложение на элементарные дроби;
⊕coeffs -возвращает коэффициенты полинома;
⊕fourier -прямое преобразование Фурье;
⊕laplace - прямое преобразование Лапласа;
⊕ztrans -прямое z-преобразование;
⊕invfourier -обратное преобразование Фурье;
26
⊕invlaplace -обратное преобразование Лапласа;
x
n
x
n
⋅
)(
120
1
6
1
1
653
x
Oxx
x +⋅+
⋅−⋅
⊕invztrans -обратное z-преобразование;
T
⊕M
- транспонирование матрицы;
-1
⊕M
- инвертирование матрицы;
⊕M - вычисление детерминанта матрицы;
⊕Modifier - модифицированные команды:
assume - вводное слово для приведенных ниже опреде-
лений:
real -для var=real означает вещественное значение;
RealRange -для var=Range(a,b)означает принадлежность
вещественной к интервалу [a,b];
trig -задает направление тригонометрических пре-
образований.
Большую часть из этих операций можно выполнять и в командном режиме, используя команды, входящие в позицию Symbolics
главного меню. Последняя команда в этой позиции Evaluation Style…
выводит окно установки стиля вывода: снизу исходного выражения
(с пустой строкой и без нее), справа от исходного выражения, на его
месте и с комментарием или без него. Примеры символьных операций
в командном режиме (дифференцирование, интегрирование и разложение в ряд Тейлора):
Differentiate Integrate Expand to series…
n xn
x
sin(x)
by integration, yields converts to the series
)1(++
n
x
)1(
n
Следует обратить внимание на то, что часть операций выполняется над выделенным выражением, а часть – над выделенной переменной. В командном режиме символьных вычислений нельзя преобразовывать выражения, содержащие функции пользователя. Однако при
использовании оператора символьного вывода это возможно. В случае
типовых операций символьной математики на вычисление производной, интеграла решение осуществляется следующим образом:
27
f(x,n) :=x
x
n
xnx
f
dx
d
n
⋅→),
(
∫
+
→
+
)1(
),(
)1(
n
x
dxnxf
n
←
a
z
yx
zyxa
zyxFP
++
⋅+
←
=:)
,,(
Как уже отмечалось, Mathcad по существу является системой визуального программирования. Однако есть и палитра со средствами
обычного программирования:
Add Line - создает и при необходимости расширяет
жирную вертикальную линию, справа от
- локальное присваивание в теле модуля
if -создание условного выражения;
for - задание цикла с фиксированным числом по-
while - задание цикла типа «пока»;
otherwise - иной выбор (обычно применяется с операто-
break - прерывание;
continue - продолжение;
return - возврат;
onerror - обработка ошибок.
1) Оператор ←выполняет функции внутреннего, локального при-
n
1.5. Программирование в системе MathCAD.
Основные средства программирования
которой в шаблоне задается тело программного
блока;
программы;
вторений;
ром if);
сваивания. Пример его применения для задания программного
модуля (функции пользователя):
FP(1,5,3) = 0.563
FP(2,3,5) = 0.588
28
Оператор ifявляется оператором для создания условных выраже-
otherwisex
xifx
xabc0:)(<−=
210)20(
55)10(..1
0
:
)(
=+←
=∈
←
=
sumiss
sumnifor
s
n
sum
ний.
2) Выражение ifусловие. Если условие выполняется, то возвра-
щается значение выражения. Пример:
3) Совместно с этим оператором часто используются операторы
прерывания break и оператор иного выбора otherwise.
4) Применение оператора цикла for для вычислений. Оператор
for служит для организации циклов с заданным числом повто-
рений выражений, помещаемых в шаблон:
forVar∈Nmin..Nmax
Приведём пример (чисто учебный) вычисления суммы n членов
натурального ряда чисел с применением оператора for:
5) Оператор while служит для организации циклов, действующих
до тех пор, пока выполняется некоторое условие:
while условие
Приведём учебный пример на задание функции вычисления фак-
ториала F(n) с применением двухступенчатого программного модуля с
циклом while:
abs (-5) = 5 abs (5) = 5
29
6
10629.3)10(
6)3(1
1
)1(
1
:)(
×=
==
−←
−⋅←
←
=
Ff
Fnifbreak
nn
nff
while
nf
nF
841.0)1(841.0)1(1)0(
)sin(
01
:)(
=−==
=
=
SSS
otherwise
x
x
xifreturn
xS
6) Оператор иного выбора otherwise обычно используется сов-
местно с оператором if. Это поясняет следующая программная
конструкция:
f (x) := 1 ifx>0 возвращает 1, если х>0
-1 otherwise e возвращает -1 во всех иных случаях
7) Оператор продолжения используется для продолжения работы
после прерывания программы. Он также чаще всего используется
совместно с операторами задания циклов while и for, обеспечивая возврат в точку прерывания и продолжение вычислений.
8) Особый оператор return прерывает выполнение программы и
возвращает значение своего операнда, стоящего следом за ним.
Например, в выражении return 0 if x<0 будет возвращаться значение 0
при любом x<0. Приведём ниже пример использования оператораreturn для вычисления sin(x)/x в особой точке х=0:
Оператор обработки ошибок позволяет создавать конструкции
обработчиков ошибок:
Выражение_1 on error Выражение_2
Здесь, если при выполнении Выражение_1 возникает ошибка, то выполняется Выражение_2. Для обработки ошибок полезна и функция
error(S), которая при возникновении ошибки в программном модуле
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]