Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение задач математического моделирования в системе MathCAD. Учебное пособие
.pdf
2. В системе функционирует реактор идеального вытеснения.
Уравнение математического описания реактора идеального вы-
теснения в стационарном состоянии имеет следующий вид:
= kx
= kx
, (3.12)
x
, (3.13)
x
где S - площадь поперечного сечения, l - текущая длина реактора, k -
константа скорости реакции.
Поскольку реактор функционирует в рециркуляционной системе,
то в общем случае граничные условия для системы уравнений
(3.12,3.13) имеют следующий вид:
где
(
l = 0)= Gx
Fx
(
l = 0)= Gx
Fx
,
- концентрации реагентов А и В в рецикле
()
()
+ Rx
+ Rx
,
,
Рассматривается режим, когда рециркулирует только непрореагировавший исходный реагент А.
Так как концентрации реагентов в рецикле измеряется в мольных
долях, на режиме с рециркуляцией только компонента А
= 1,
= 0,
поэтому граничные условия записываются так:
(
x
l = 0)= (Gx
(
l = 0)= Gx
x
()
()
+ R)/F,
/F.
Общее решение системы уравнений (3.12, 3.13) имеет следующий
вид:
)
(
(l)
x
(l)
x
= c
= c
/(1 c
/(1 c
где = /, ,
e
(
e
),
)
) c
,
– произвольные постоянные.
121
Подставляя в них граничные условия, получим следующие выра-
жения для концентраций и
на выходе реактора при I = L (L–
длина реактора):
x=
x= x
/()
(/())
/()
(R/(R + G)) .
,
Докажем, что на этом режиме существует оптимальная величина
рецикла
, при которой количество целевого продукта С в единицу
времени на выходе системы принимает максимальное значение. Целевая функция – количество продукта С в единицу времени на выходе
системы будет иметь вид
=
=
где
– концентрация конечного продукта С в реакторе.
Учитывая, что концентрация конечного продукта
,
опреде-
ляется выражением
x
= 1 xx
и подставляя выражения для определения концентраций
и
, полу-
чаем следующий вид целевой функции:
= G + 2R
(/(
)
/()
.
Задание. Найти максимум функции:
2R
= G + 2R
1 Ge
(/(
)
/(2R + G)
Решение в MathCad:
G:=0.2 V:=1 K:=5 S:=0.1 L:=1
122
x:=0.01,0.11..1
Φ
R
( ) G 2R+
2 R⋅
1 G
e
K− S⋅ L⋅ R⋅( )
R G+( )
2
2 R⋅ G+( )
⋅−
−:=
Φ x( )
0.192
0.2
0.2
0.2
0.199
0.199
0.198
0.198
0.197
0.196
=
x
0.01
0.11
0.21
0.31
0.41
0.51
0.61
0.71
0.81
0.91
=
х:=0
Given
p:=Maximize(Ф,х)
p=0.178
Ф(p)=0.2
123
Библиографический список
1. Математическое моделирование и оптимизация химических
технологических процессов: практическое руководство /В.А. Холодов
[и др.]. – СПб.: АНД НПД Профессионал, 2003. – 480 с.
2. Плисс, А.И. MathCAD 2002. Математический практикум:
учебник / А.И. Плисс, Н.А. Сливина. – М.: Финансы и статистика,
2000. – 560 с.
3. Васильков Ю.В. Компьютерные технологии вычислений в
математическом моделировании / Ю.В. Васильков, Н.Н. Василькова.–
М.: Финансы и статистика, 2002. – 256 с.
4. Бояринов, А.И. Методы оптимизации в химии и химической
технологии / А.И. Бояринов, В.В. Кафаров. – М.: Химия, 1976. – 312 с.
124
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ........................................................................................................ 3
1. Система MathCAD .......................................................................... 4
1.1 Работа с математической системой MathCAD .............................. 4
1.1.1 Первый запуск системы ......................................................... 4
1.1.2 Пользователи системы MathCAD .......................................... 4
1.1.3 Палитры математических знаков и документы
MathCAD .................................................................................. 7
1.1.4 Работа с формульным редактором ....................................... 8
1.1.5 Вызов всторенных функций ................................................. 10
1.1.6 Элементы графической визуализации ................................ 11
1.1.7 Ошибки в вычислениях и отладка вычислений ................. 12
1.1.8 Работа с центром управления ресурсами и справкой .......... 13
1.2 Основные объекты входного языка MathCAD ............................ 14
1.2.1 Алфавит, константы и переменные .................................... 14
1.2.2 Операторы сравнения и логические операторы ................ 17
1.3 Построение графиков ..................................................................... 23
1.3.1 Работа с двумерными графиками ........................................ 23
1.3.1.1 Типовое построение графиков в декартовой
системе .......................................................................... 24
1.3.2 Типовое построение графиков в полярной системе ......... 24
1.3.3 Построение поверхностей с использованием матрицы-
аппликат ................................................................................ 25
1.4 Символьные вычисления и оптимизация вычисления ............... 26
1.5 Программирование в системе MathCAD основные средства
программирования ........................................................................ 28
1.6 Решение задач вычислительной математики вMathCAD ........... 31
1.6.1 Решение систем линейных уравнений ................................ 31
1.6.2 Решение нелинейных уравнений и систем ........................ 31
1.6.2.1 Функция поиска корня нелинейного уравнения
root ................................................................................... 31
1.6.2.2 Функция поиска всех корней многочлена
polyroots ........................................................................... 32
1.6.2.3 Директива Given для подготовки блока решения
125
Системы уравнений ........................................................ 32
1.6.2.4 Функция Find и Minerr для решения систем
Нелинейных уравнений ................................................. 33
1.6.2.5 Реализация итерационных вычислений ...................... 33
1.6.3 Сплайн-интерполяция .......................................................... 34
1.6.4 Аппроксимация функций, заданных таблично ................. 34
1.6.5 Решение задач оптимизации нелинейного программиро-
вания ...................................................................................... 36
1.6.5.1 Решение дифференциального уравнения первого
порядка ........................................................................... 38
1.6.5.2 Решение систем обыкновенных дифференциальных
уравнений ....................................................................... 39
2. Решение задач прикладной математики ............................................. 42
2.1 Решение уравнения с одним неизвестным .................................. 42
2.1.1 Определение корня заданного уравнения 9-lnx-x=0 гра-
фическим способом в системе MathCAD ........................... 42
2.1.2 Метод итераций .................................................................... 44
2.1.3 Метод касательных (метод Ньютона) ................................ 44
2.2 Решение системы линейных уравнений. Линейная алгебра ..... 45
2.2.1 Решение системы линейных уравнений методом обратной
матрицы .................................................................................. 45
2.2.2 Решение системы линейных уравнений с помощью ко-
манды lsolve ........................................................................... 47
2.2.3 Матричные операции ........................................................... 47
2.3 Решение систем нелинейных уравнений .................................... 49
2.3.1 Метод итераций .................................................................... 49
2.3.2 Решение системы нелинейных уравнений с помощью
команд MathCAD .................................................................. 52
2.4 Решение задач аппроксимации .................................................... 53
2.4.1 Линейная аппроксимация .................................................... 53
2.4.2 Параболическая аппроксимация ......................................... 54
2.5 Вычисления определенных интегралов ...................................... 56
2.5.1 Метод левых прямоугольников ........................................... 57
2.5.2 Метод правых прямоугольников ........................................ 58
126
2.5.3 Метод трапеций ......................................................................... 58
2.5.4 Метод первообразной ............................................................. 58
2.5.5 Вычисления интеграла с помощью системы
MathCAD ............................................................................................... 59
2.6 Решение дифференциальных уравнений с помощью системы
MathCAD ................................................................................................ 60
2.7 Решение систем дифференциальных уравнений с помощью
системы MathCAD ................................................................................. 62
2.8 Построение интерполяционных полиномов Ньютона и
Лагранжа ............................................................................................... 65
3. Решение задач математического моделирования .............................. 68
3.1 Поиск экстремумов функций ........................................................ 68
3.1.1 Определение локальных экстремумов графическим спо-
собом ..................................................................................... 68
3.1.2 Аналитический метод определения экстремумов функций
одной переменной ................................................................ 71
3.1.3 Поиск экстремумов функции одной переменной с помо-
щью команд MathCAD ......................................................... 74
3.1.4 Поиск экстремума функции двух переменных с использо-
вание системы MathCAD ...................................................... 75
3.1.5 Поиск экстремума функции от двух переменных методом
градиента ................................................................................ 78
3.1.6 Линейное программирование ............................................. 85
3.1.7 Поиск экстремумов функций при наличии ограничений с
помощью системы MathCAD ............................................... 87
3.2 Решение задач математического моделирования ....................... 88
3.2.1 Выбор эмпирической зависимости ..................................... 88
3.2.2 Уравнение Вольтерра-Лотка ............................................... 94
3.2.3 Математическая модель заболевания ................................ 98
3.2.4 Линейное программирование (задача о деталях) ............ 107
3.2.5 Математическое моделирование реакции A→B→C в
реакторе идеального смешения ......................................... 113
3.2.6 Поиск оптимальной величины рецикла в реакторе
идеального смешения с рециклом ..................................... 118
127
УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ
Подписано в печать 16.11.2017
Формат 60×84 1/16
Бумага офсетная
Печать ризографическая
7,44 усл. печ. л.
8,0 уч.-изд. л.
Тираж 50 экз.
Заказ
Отпечатано в офсетной лаборатории Казанского национального
420015, Казань, К. Маркса, 68
Станислав Иванович Дуев
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
В СИСТЕМЕ MATHCAD
Ответственный за выпуск проф. Н. К. Нуриев
Издательство Казанского национального исследовательского
технологического университета
исследовательского технологического университета
128
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]