Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение задач математического моделирования в системе MathCAD. Учебное пособие
.pdf
Прибыль, получаемая от единицы продукции Р1 и Р2-
X1
X2
C1
300
200
C2
200
350
C3
250
400
соответственно 2 и 3 рубля. Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от её реализации будет максимальной.
Задача 4
В городе имеется 3 склада муки С1, С2, С3 и 2 хлебозавода X1 и
X2. Ежедневно на 1-ый хлебозавод доставляют 80т. муки, на 2-ой –
70т. муки. При этом с 1-го склада вывозят 50т., со 2-го склада 60т., с
3-его склада 40т. ежедневно.
Определить количество продукции, которую следует перевести из
каждого исходного пункта в каждый пункт назначения с тем, чтобы
суммарные транспортные расходы были минимальными.
Задача 5
Мебельный цех выпускает стулья двух видов. Один стул 1-го вида стоит 8 руб., а на его изготовление расходуется 2 пог. м досок, 0,5 м
обивочной ткани и 2 чел/ч. Стул 2-го вида стоит 12 руб.,а на его изготовление расходуется 4 пог. м досок, 0,25 м обивочной ткани и
2,5 чел/ч. На складе имеется 440 пог. м досок, 65 м обивочной ткани.
Ресурс рабочей силы 320 чел/ч. Спланировать производство так, чтобы прибыль была наибольшей.
Задача 6
Химическое предприятие может выпускать продукцию по трём
технологическим способам. При этом за 1час по 1-му способу она выпускает 20 единиц продукции, по 2-му – 25 единиц, по 3-му – 30 единиц. Объём ресурсов, расходуемых за 1 час, и количество ресурсов
приведены в таблице:
111
Способ
производ-
Факторы
сырье
станоч.
рабо-
энергия
транс-
про-
ходы
1 2 3 7 2 1 4
2 1 4 3 1 0 2
3 3 2 4 3 1 1
Ресурсы
67
87
77
57
47
57
Сырье
Запасы
А1
А2
А3
А4
С1
100 2 1 1 2
С2
120 3 2 1 0
С3
110 2 1 2 1
С4
150 3 1 2 2
С5
140 1 2 1 0
Прибыль
5 4 3 1
ства
парк
чая
сила
порт
чие
рас-
Спланировать работу предприятия так, чтобы получить максимальное количество продукции.
Задача 7
Для изготовления продукции четырех видов А1,А2,А3,А4 необ-
ходимо сырьё С1,С2,С3,С4,С5. Запасы сырья каждого вида ограничены и представлены в условных единицах. Количество единиц сырья,
необходимое для изготовления 1 единицы каждого из видов продукции, задаётся таблицей:
приятием от реализации 1 ед. каждого вида продукции. Требуется составить такой план выпуска продукции видов А1,А2,А3,А4, при котором прибыль предприятия от реализации всей продукции оказалась
бы максимальной.
первому методу он выпускает 4 автомобиля, по второму – 5 автомобилей, по третьему – 10 автомобилей в сутки. Объём ресурсов, расхо-
В последней строке таблицы указана прибыль, получаемая пред-
Задача 8
Завод может выпускать автомобили по трём технологиям. По
112
дуемых за сутки, и количество имеющихся ресурсов представлены в
Технология
Факторы
сырье
энергия
дополни-
вание
оборудова-
прочее
1 2 2 0 2 0 2 1 1 1 1
1
3 3 5 1 3
0
Ресурсы
200
160
150
142
100
→В→
→В→
→
→
таблице:
производ-
ства
Спланировать работу завода из условия получения максимума
производства, если известно, что общее время работы предприятия
составляет не > 10 суток, то есть максимум продукции.
3.2.5. Математическое моделирование реакции А
в реакторе идеального смешения
Задача.
Найти изменения концентраций веществ х1,x2,х3 во времени и
построить графики этих функций, а также построить фазовую траекторию.
G-количество реагирующей смеси,
V-объем реактора.
В реакторе идеального смешения протекает реакция А
k1 - константа скорости реакции А
k2 - константа скорости реакции В
x1 - концентрация исходного вещества,
x2 - концентрация промежуточного вещества,
x3 - концентрация конечного продукта
x1
- концентрация исходного реагента на входе в реактор.
Математическая модель стационарного состояния имеет вид
x1
·
-x1·x1-
·x1=0,
тельное
оборудо-
ние
С
С.
В,
С,
113
k1· x1-k2·x2-
V
G
V
G
V
G
V
G
V
G
V
G
·x2=0,
если концентрация реагентов измеряется в мольных долях, то x1=1.
Нахождение стационарного состояния в MathCad
Запишем исходные значения параметров и переменных:
k1:=20 k2:=10 a:=1 b:=1 G:=0.7 V:=5
Запишем уравнения реакций 1 и 2, затем приравниваем их к нулю
для нахождения стационарного состояния (используя знак = из Булевой алгебры):
х1:=0.5 х2:=0.5
Given
-k1·(x1)-
k1·(x1)
-k2·(x2)-
x1=0
x2=0
vec:=Find(x1, x2)
vec=
.×
.
– стационарное состояние (точка покоя)
Математическая модель реактора идеального смешения в дина-
мическом состоянии имеет вид
=
= k1·(x1)-k2·(x2)-
-k1·(x1)-
x1
x2
Решение в MathCad:
.
n:=20 y:=
-начальные значения (х1=0.5, х2=0.5)
.
f(x,y):=
k1(y
k1
)
(
y
k2
)
(
)y
(
)
y
(
)y
114
Найдем значения концентрации веществ на определенном вре-
менном отрезке с помощью функций rkfixed:
z:= rkfixed(у,0,2,n,f), где у - вектор начальных условий (концентрация
х1 и х2), 0 и 2-граничные точки интервала(временного), n-количество
точек, в которых ищется значение, f-функция, возвращающая значение в виде вектора из n- элементов, содержащих производные функций.
В результате решения получается матрица, содержащая три столбца.
Матрица значений:
Стационарное состояние получаем при t=1.4.
115
Построение графиков функций
Изменение концентрации вещества 1
Изменение концентрации вещества 2
Фазовая траектория
116
z
3
〈 〉
1 z
1
〈 〉
− z
2
〈 〉
−:=
z
3
〈 〉
0
0
123
456
7
8
9
0
0.601
0.834
0.924
0.958
0.971
0.976
0.978
0.979
...
=
Концентрация конечного продукта
-концентрация конечного продукта
117
3.2.6. Поиск оптимальной величины рецикла в реакторе
+
()
+
= 0,
+
()
= 0.
= 1
,
Положим, что исходные реагенты подаются в систему в стехиометри-
+
0.25
+
+
2
, (3.9)
=
+
. (3.10)
идеального смешения с рециклом
1. В системе функционирует реактор идеального смешения, в ко-
тором протекает реакция второго порядка A+B→C. Рассматривается
режим, при котором рециркулирует только непрореагировавший исходный реагент А. В стационарном состоянии математическое описание реактора на этом режиме будет иметь следующий вид:
(3.8)
Полагаем, что инертные вещества отсутствуют в реакторе, а кон-
центрации реагентов во всех потоках измеряются в мольных долях,
поэтому концентрацию конечного продукта C -
в реакторе можно
определить так:
где x1, x2–концентрации исходных реагентов.
Поскольку в рецикле присутствует только реагент А, то концен-
трация реагента А в рецикле равна единице; x
*=1.
1
(0)
ческом соотношении x
(0)
= x
1
. Тогда концентрации реагентов А и В
2
из системы уравнений можно выразить следующим образом:
= 0.5
+
118
Докажем, что на этом режиме существует оптимальная величина
=
= (+ )
,
y R( ) R G+( ) 1
R G+( ) 2 V⋅ K⋅ 0.25
R G+( )
V K⋅
R
R G+( )
+
2
⋅
G
2V K⋅
+
−
V K⋅
+
⋅:=
рецикла
, при которой количество целевого продукта С в единицу
времени на выходе системы принимает максимальное значение. Целевая функция – количество продукта С в единицу времени на выходе
системы будет иметь следующий вид:
где
– концентрация конечного продукта С в реакторе.
Подставив выражения для концентраций в целевую функцию, по-
лучим ее выражение в виде:
=(+
1 +
)
2
,(
)
Задание. Найти максимум функции:
= (+ )(1 +
+
2
0,25
(
+
Решение в системе MathCad:
G:=0.2 V:=1 K:=5
x:=0,0.01..1
+ + )
)
) + (+ )
+
. (3.11)
+
)
2
119
y x( )
0.151
0.157
0.161
0.164
0.166
0.168
0.17
0.171
0.171
0.172
0.173
0.173
...
=
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.15
0.16
0.17
0.18
y x( )
x
Графическая интерпретация:
x:=0.17
Given
p:=Maximize(y,x)
p=0.17
y(p)=0.174
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]