Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение задач математического моделирования в системе MathCAD. Учебное пособие
.pdf
f t x, ( )
a x
1
⋅ b x
2
⋅ x1⋅−
r x
3
⋅ m x
2
⋅− n x1⋅ x
2
⋅−
mc− x
3
⋅ mc c⋅+
:=
z
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
3
3.05
3.081
3.092
3.085
3.06
1
1.168
1.33
1.485
1.634
1.777
2
1.98
1.961
1.942
1.923
1.905
=
0
0.02 0.04
0.06 0.08
0.1
1
2
3
4
z
4
〈 〉
z
2
〈 〉
z
3
〈 〉
z
1
〈 〉
z:=rkfixed(x,0,0.1,5,f)
Графическая интерпретация:
Вывод: с быстрым ростом концентрации антител уменьшается количество вырабатываемых антител, количество плазматических клеток
остается неизменным.
101
2. Решение при t> , =0.1
905
.1
777
.1
06
.3
f t x, ( )
a x
1
⋅ b x
2
⋅ x
1
⋅−
r x
3
⋅ m x
2
⋅− n x
1
⋅ x
2
⋅−
a1 x
2
⋅ x1⋅ mc x
3
⋅− mc c⋅+
:=
-3
-3
ORIGIN:= 1
a:=3 b:=2 r:=5 m:=0.5
n:=0.3 с:=4 mc:=4 al:=4
x:=
-значение вектора х при t=t
z:=rkfixed(x,0,0.1,10,f)
1 2 3 4
1
2
3
4
5
=
z
6
7
8
9
10
11
0.3 3.06 1.777 1.905
0.37 2.801 2.6 3.96
0.44 2.186 4.057 5.975
0.51 1.334 6.099 7.619
0.58 0.596 8.533 8.345
0.65 0.195 11.028 8.092
0.72 0.053 13.297 7.361
0.79 0.015 15.239 6.608
0.86
0.93
1
0
5.078·10 16.878 5.987
2.281·10 18.271 5.505
1.332·10 19.47 5.139
-3
102
Графическая интерпретация:
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
5
10
15
20
z
4
〈 〉
z
2
〈 〉
z
3
〈 〉
z
1
〈 〉
Find
y q, w, ( )
0
40.0
4.0
42.777777777777777778
1.5
4.0
→
Вывод: при резком увеличении концентрации антител резко падает
количество вырабатываемых антител, а количество плазматических
клеток вначале возрастает, а затем падает.
Нахождение стационарных состояний
Делаем замену :
V=y, f=q, C=w, β=a, γ=b, Vγ=n, p=r, =
Given
a·y-b·q·y=0
r·w-m·q-n·y·q=0 математическая модель заболевания
в стационарном состоянии
-mc·w+mc·c=0
103
Программа решения математической модели заболевания
0
2
1
3
f t x, ( )
a x
1
⋅ b x
2
⋅ x
1
⋅−
r x
3
⋅ m x
2
⋅− n x
1
⋅ x
2
⋅−
mc− x
3
⋅ mc c⋅+
mi x
1
⋅ si x
4
⋅−
:=
z
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
3
3.05
3.081
3.092
3.085
3.06
1
1.168
1.33
1.485
1.634
1.777
2
1.98
1.961
1.942
1.923
1.905
0
1.211
2.437
3.672
4.907
6.135
=
для системы из четырех уравнений в Mathcad
ORIGIN:=1
a:=3 b:=2 r:=5 m:=0.5
n:=0.3с:=1 mi:=20 mc:=1
si:=0.01
x:=
z:=rkfixed(x,0,1,5,f)
-начальные значения
104
Графическая интерпретация решения:
135.6
905.1
777.1
06.3
f t x, ( )
a x
1
⋅ b x2⋅ x1⋅−
r x
3
⋅ m x
2
⋅− n x1⋅ x2⋅−
a1 x⋅( )
2
x1⋅ mc x3⋅− mc c⋅+
mi x
1
⋅ si x4⋅−
:=
8
〈 〉
2
z
6
〈 〉
3
z
4
〈 〉
4
z
〈 〉
5
z
2
0
0 0.02 0.04
0.06 0.08 0.1
〈 〉
1
ORIGIN:=1
al:=4
x:=
z:=rkfixed(x,0.1,1,10,f) - команда для решения дифференциальных
уравнений
105
1 2 3 4 5
0
0.2 0.4
0.6
0.8 1
10−
0
10
20
30
40
z
2
〈 〉
z
3
〈 〉
z
4
〈 〉
z
5
〈 〉
z
1
〈 〉
1
2
3
4
5
=
z
6
7
8
9
10
11
0.1 3.06 1.777 1.905 6.135
0.19 2.687 2.823 4.05 11.371
0.28 1.799 4.837 6.664 15.458
0.37 0.768 7.88 8.789 17.706
0.46 0.205 11.524 9.39 18.428
0.55 0.074 15.097 8.943 18.54
0.64 0.066 18.278 8.266 18.536
0.73 0.129 21.059 7.491 18.493
0.82 0.454 23.558 6.198 18.331
0.91 2.32 26.375 1.563 17.406
1 4.204 32.897 -5.984 9.274
Графическая интерпретация решения:
Расчет стационарного состояния:
Given
a·y-b·q·y=0
r·w-m·q-n·y·q=0
-mc·w+mc·c=0
mi·y-si·g=0
106
Система уравнений имеет два стационарных состояния (два столбика).
∑
=ni 1
≥
∑
=
n
i 1
∑
=
n
i 1
≤
Find y q, w, g, ( )
0
10.0
1.0
0
9.4444444444444444444
1.5
1.0
18888.888888888888889
→
3.2.4. Линейное программирование (задача о деталях)
При оптимизации экономических планов возникают задачи на
минимум линейной функции n переменных.
лупространство, ограниченное гиперплоскостью; все эти условия вместе определяют выпуклый n-мерный многогранник J, являющийся пересечением соответствующих полупространств. С математической
точки зрения условия (3.5) и (3.7) однотипны, но по традиции их записывают указанным образом. Условия типа равенств (3.6) выделяют из
n-мерного пространства 43-мерную плоскость. Ее пересечение с областью J дает выпуклый 43-мерный многогранник G; задача состоит в
том, чтобы найти минимум линейной функции (3.4) в многограннике
G.
па. На каждое изделие затрачивается 4; 3,4 и 2 кг металла при его за-
L(x)=
CX
(3.4)
При наличии линейных дополнительных условий трех типов:
0,1≤i≤n (3.5)
x
ax= b
ax
, 1≤j≤m (3.6)
b
, m≤j≤M (3.7)
Каждое из условий типа неравенств (3.5) или (3.7) определяет по-
Линейное программирование в решении экономических задач
Практическое задание
Изготовить 100 изделий трёх типов, не менее 20 для каждого ти-
107
пасе 340кг. А также 4,75; 11 и 2кг пластмассы при его запасе 700кг.
x
x
x
21175.4
24.34
700
340
x
40
x
30
x
30
ORIGIN 1:=
Найти оптимальное количество изготавливаемых изделий, дающую
наибольшую выработку в рублях, если стоимость изделий соответственно 4, 3, 2 рубля.
Постановка задачи
Задана линейная целевая функция = 4·x
ограничения в виде неравенств x
+ 3.4 · x+ 2 · x
4 · x
x
0; x0; x0 и равенства x
340; 4,75 · x
20; x20; x20;
+ 11 · x+ 2 · x
+ x+ x
+ 3 · x+ 2 · x
= 100
700;
и
Требуется найти максимум целевой функции.
Программа решения линейного программирования
экономических задач в Mathcad
- индексация начинается с единицы
- целевая функция
f(x):=4·
+3·
+2·
- матрица ограничений
M:=
- вектор ограничений
V:=
Given - открывает блок решения
M·x≤V - ограничения в матричном виде
108
x
20
x
20
x+ x+ x= 100
24
20
56
Р1
Р2
80
215
Г2
100
108
102
68
x
20
- ограничения
x:=Maximize(f,x) - команда для нахождения
максимума
x=
- значения оптимальной точки
f(x)=332 - значение функции оптимальной
точки
Вывод: таким образом, изготовление 56 изделий первого типа, 20
изделий второго типа, 24 изделий третьего типа дает наибольшую выработку в рублях = 332.
Варианты заданий
Задача 1
Заводы автомобильной фирмы расположены в трёх городах: Г1,
Г2, и Г3. Основные центры распределения расположены в городах Р1
и Р2. Объёмы производства указанных трёх заводов равняются 1000,
1300 и 1200 автомобилей ежеквартально. Величины квартального
спроса в центрах распределения составляют соответственно 2300 и
1400 автомобилей. Стоимость перевозки одного автомобиля между
заводами и центрами распределения приведена ниже:
109
Необходимо минимизировать транспортные расходы при пере-
Сырье
Запасы
А1
А4
С1
700 2 1 1 2
С2
720 3 2 1 0
С3
710 2 1 2 1
С4
750 3 1 2 2
С5
740 1 2 1 0
Прибыль
5 4 3 1
Вид
Запас
Число единиц ресурсов, затрачиваемых на из-
готовление единицы продукции
P1
P2
S1
18
1
3
S2
16
2
1
S3
5
-
1
S4
21
3
-
возке автомобилей.
Задача 2
Для изготовления продукции четырех видов А1,А2,А3,А4 необ-
ходимо сырьё С1,С2,С3,С4,С5. Запасы сырья каждого вида ограничены и представлены в условных единицах. Количество единиц сырья,
необходимое для изготовления 1 единицы каждого из видов продукции, задаётся таблицей:
В последней строке таблицы указана прибыль, получаемая предприятием от реализации 1 ед. каждого вида продукции. Требуется составить такой план выпуска продукции видов А1,А2,А3,А4, при котором прибыль предприятия от реализации всей продукции оказалась
бы максимальной.
Задача 3
Для изготовления двух видов продукции Р1 и Р2 используют четыре вида ресурсов S1, S2, S3 и S4. Запасы ресурсов, число единиц
ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, приведены в таблице:
ресурса
ресурса
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]