Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение задач математического моделирования в системе MathCAD. Учебное пособие
.pdf
z - матрица решения (здесь вектор - это значение аргумента х в
точках х
в точках x
, где ищется решение, вектор - решения, т.е. значение уi
i
, i =1,2..10).
i
Графическая интерпретация решения:
Варианты заданий
61
2
1
yy =
′
2.7. Решение систем дифференциальных уравнений с помощью
системы MathCad
Задано дифференциальное уравнение второго порядка y“+y=sin(x)
с начальным условием y (0)=0, y ’(0)=1. Его можно свести к системе
двух дифференциальных уравнений первого порядка путем замены
переменных: y = y
,
1
, тогда получим следующую систему
уравнений:
С начальными условиями y
(0) =0, y2 (0)=1 или в нормальном ви-
1
де:
62
Решим эту систему дифференциальных уравнений на отрезке
[a,b].
Протокол решения задачи в MathCad:
z - матрица решения (здесь вектор z
в точках х
в точках x
, где ищется решение, z
i
, i=1,2..10, z
i
<3>
Это вектор производной у’).
<1>
<2>
- это значение аргумента х
вектор - решения, т.е. значение уi
63
Графическая интерпретация решения:
Варианты заданий
64
Составить программу для решения заданного уравнения в си-
стеме Mathcad.
2.8.Построение интерполяционных полиномов
Ньютона и Лагранжа
С помощью интерполяционной формулы Ньютона вычислить
значение заданной функции в произвольной промежуточной точке и в
одной из узловых точек, выяснить погрешность вычисления.
Протокол решения:
x:=
Интерполяция с помощью многочлена Ньютона
i:=0..n-1 h:=2
Расчет конечных разностей 1-го и 2-го порядка
u:=0..n-2 s:=0..n-3
y:=
n:=3
65
y
-76
-1
75
6− 4−
2−
0
50−
50
y
i
P2 t( )
x
i
t,
2y
y
y
: = y
-конечные разности 1-го порядка
y
- конечные разности 2-го порядка
y
P2(t):=y
= 2y
=
Полином Ньютона 2-й степени:
+
(t x
+
!
(t x
)
(t x
)
)
Построение графика интерполяционного полинома Ньютона:
Значение интерполяционного полинома в узлах интерполяции
P2(x
) = 44P2(x
Погрешности в узлах таблицы
)
P2(x
y
)
= 32P2
= 0 P2(x
(
)
x
= 33
)
= 0 P2(x
y
66
)
y
= 0
6− 4−
2−
0
50−
50
L2 z( )
y
i
z xi,
Построение интерполяционного полинома Лагранжа:
Интерполяция полиномом Лагранжа 2-й степени:
L2(z):=y
)
(
)
(
)
+ y
)
(
(
)
(
)
(
)
+ y
)
(
(
(
(
Графическая интерполяция решения:
67
)
)
(
(
)
)
3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ
3.1. Поиск экстремумов функций
Задания к лабораторным работам:
1) Функция одной переменной
2) Функция двух переменных
гдеα, β, γ, θ- номер группы; μ, ν–цифры, обозначающие номер студен-
та по списку.
Замечание. При записи чисел в системе MathCAD в качестве раз-
делителя целой и дробной части используется точка.
3.1.1 Определение локальных экстремумов графическим
способом
Оптимизация – получение наилучших результатов при заданных
условиях (найти максимальную прибыль работы предприятия, минимизировать отходы производства) и т.д. При решении задачи оптимизации должен быть задан критерий оптимизации или целевая функция: R(x
, x2, ….,xn), где x1, x2,…, x
1
варьируемые параметры.
n -
Целевая функция должна иметь количественную оценку (напри-
мер, целевая функция - прибыль).У целевой функции должны быть
степени свободы, варьируемые параметры, значения которые необходимо менять и найти среди них такие значения x
*, x2*…xn*, при ко-
1
торых целевая функция R принимает максимальное (минимальное)
значение.
Задача оптимизации сводится к математической задаче поиска
экстремума функции многих переменных. В общем случае на варьируемые параметры могут быть наложены ограничения типа равенств
или неравенств.
68
Локальные и глобальные экстремумы.
x
b
a
A
R
У функции могут быть экстремумы двух типов: максимумы и ми-
нимумы.
Локальным экстремумом называется экстремум, который являет-
ся экстремумом в какой-то ограниченной области.
На рисунке функция имеет пять локальных максимумов и четыре
локальных минимума. Например, в точке a достигается локальный
максимум, а в точке b – локальный минимум. Глобальным является
экстремум на всей области определения переменной (например, в точке a существует глобальный максимум). Глобального минимума данная функция не имеет, так как функция убывает и может иметь любое
меньшее значение.
Задача оптимизации – найти все локальные экстремумы и среди
них выбрать глобальный.
Графическое определение экстремума.
Для того чтобы графически определить экстремум, надо построить график этой функции, найти все локальные экстремумы и выявить
среди них глобальный.
К примеру, необходимо протабулировать функцию
y(x) = 0,9x3– 6x2 + x – 5 на интервале, где находятся максимум
(рис. 3.2) и минимум (рис. 3.3). Построить график заданной функции
(рис. 3.1).
69
Пример выполнения задания в MathCAD
: = 10, 9. .20 – интересующая нас область значений функции
()0.9
6+ 5 – функция y(x)
Рис.3.1. График функции y(x)
- область значений, содержащая максимум
Рис.3.2.Участок графика функции y(x), содержащий максимум
- область значений функции, содержащая максимум.
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]