Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение задач математического моделирования в системе MathCAD. Учебное пособие
.pdf
-значение среднеквадратического критерия
y
m
x( )−( )
2
∑
0.135=
i 0 5
..:=
F x( )
1
x
x
2
:=
a linfit x y, F, ( ):=
a
2.772
0.752−
0.059
=
g x( )
2.079
1.504
1.047
0.708
0.487
0.384
=
y g x( )−( )
2
∑
3.355 103−×=
2.Построение параболической зависимости + · + ·
- вспомогательная функция
- команда для нахождения a
- значения найденных коэффициентов a
, a, a
, a, a
g(x):=2.772-0.752·x+0.059·x - найденная параболическая зависимость
- значение линейной зависимости в заданных
точках
- значение среднеквадратического
критерия
91
Графическая интерпретация:
1 2 3
4 5 6
0
0.5
1
1.5
2
2.5
y
i
m x
i
( )
g x
i
( )
x
i
1
log x( )
a linfit x y, F, ( ):=
a
2.12
2.292−
=
h x( ) 2.12 2.292 log x( )⋅−:=
h x( )
2.12
1.43
1.026
0.74
0.518
0.336
=
3. Построение логарифмической зависимости y =+ ·
F x( )
:=
- вспомогательная функция
- команда для нахождения коэффициентов
- найденные значения коэффициентов
- найденная логарифмическая зависимость
- значение логарифмической зависимости в
заданных точках
92
- значение среднеквадратического
y
h x( )−( )
2
∑
2.918 10
3−
×=
1
2
3
4
5
6
0
0.5
1
1.5
2
2.5
y
i
h x
i
( )
x
i
1
x
a
linfit x y, F, ( ):=
a
0.199
2.031
=
n x( ) 0.199
2.013
x
+:=
критерия
Графическая интерпретация:
4. Построение гиперболической зависимости y=
F x( )
:=
1
+
- найденные коэффициенты
93
n x( )
2.212
1.206
0.87
0.702
0.602
0.534
=
y n x( )−( )
2
∑
0.153=
1
2
3
4
5
6
0
0.5
1
1.5
2
2.5
y
i
n x
i
(
)
x
i
-значение среднеквадратического критерия
Графическая интерпретация :
Вывод: так как значение среднеквадратического критерия минимально
для логарифмической зависимости, то эта зависимость наилучшим
образом описывает исходные данные.
3.2.2. Уравнение Вольтерра-Лотка
В динамике популяций есть много примеров, когда изменение
численности популяций во времени носит колебательный характер.
Одним из самых известных примеров описания динамики взаимодействующих популяций являются уравнения Вольтерра-Лотка.
94
Рассмотрим модель взаимодействия хищников и их добычи, когда
№ a b c d 1 4 3 2 1 2 4 3 2 2 3 4
3.5 2 1
4 4 3.5 2 2
между особями одного вида нет соперничества. Пусть x1 и x2 - число
жертв и хищников соответственно. Предположим, что относительный
прирост жертв
равен a — bx , а , b > 0, где a - скорость размноже-
ния жертв в отсутствие хищников, — bx- потери от хищников.
Развитие популяции хищников зависит от количества пищи
(жертв), при отсутствии пищи (x1=0) относительная скорость измене-
ния популяции хищников равна
пенсирует убывание, и при x> 0 имеем
= c, c > 0 наличие пищи ком-
= c + dx
; d > 0.
Таким образом, система Вольтерра-Лотка имеет вид
=
x
x
= (c + dx
(
a bx
)
x
,где a, b, c, d > 0
)x
Постановка задачи:
Построить графики решения и фазовые портреты динамической
системы, моделирующей взаимодействие популяций:
x
= (a bx
x
= (c + dx
)x
)x
при заданных значениях параметров а, b , с, d. Исследовать поведение
решения, изменяя параметры в указанном диапазоне.
Варианты заданий:
95
5 4 3.5 3 1 6 4
3.5 3 2 7 4
3.5 4 4
8 4 3.5 4 3 9 5 4 2 1 10 5 4 3 1
11 5 4 2 2
12 5 4 2 3
13 5 4.5 2 1
14 4 3 2 3
15 4 3 2 4
16 4 3.5 2 3
17 5 3 2 1
18 5 3 3 1
19 4 3.5 2 4
20 4 3.5 3 3
21 4 3.5 3 4
22 4 3.5 2 2
96
Протокол решения задачи:
1
3
0 5 10 15
0
1
2
3
4
X
2
〈 〉
X
3
〈 〉
X
1
〈 〉
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad , содержащий
определение системы Вольтерра-Лотка, фазовый портрет системы при
a =4, b =2.5, d =1 и графики решения с начальным условием x 1 (0)=3,
x 2 (0)=1.
ORIGIN:=1
a:=4 b:=2.5c:=2 d:=1
x:=
F (t,x):=
-начальное условие
(
a b x
(c + d x) x
)
x
- вектор правых частей дифференциального
уравнения
x:=rkfixed(x,0,10,400,F) - вызов команды решения дифференциальных
уравнений на отрезке от 0 до 10,400-число дробления отрезка
Зависимость популяции жертв и хищников от времени:
97
Фазовая траектория:
0 1 2 3 4
0.5
1
1.5
2
2.5
3
X
3
〈 〉
X
2
〈 〉
3.2.3. Математическая модель заболевания
Построение простейшей модели заболевания.
Основными действующими факторами инфекционного заболева-
ния являются следующие величины:
1) Концентрация патогенных размножающихся антигенов V(t).
2) Концентрация антител F(t). Под антителами понимаются субстраты
иммунной системы, нейтрализующие антигены (иммуноглобулины,
рецепторы клеток).
3) Концентрация плазматических клеток C(t). Это популяция носителей продуцентов антител (иммунокомпетентные клетки и иммуноглобулин продуценты).
4) Относительная характеристика пораженного органа m(t).
Первое уравнение будет описывать изменение числа антигена в
организме:
(
=
),
где V – коэффициент, характеризующий количество антител, погибающих при взаимодействии с антителами;
98
– скорость размножения антигенов;
- характеризует потери антигенов при взаимодействии с антителами.
Второе уравнение описывает рост плазматических клеток:
= F(t
)V(
t )(C C
),
где α - коэффициент, учитывающий вероятность встречи антигенов;
- коэффициент, равный обратной величине их времени жизни;
- постоянный уровень плазмоклеток в здоровом организме;
τ - время, в течение которого осуществляется формирование каскада
плазматических клеток;
С – коэффициент, который характеризует генерацию антител плазма-
тическими клетками.
Третье уравнение описывает баланс числа антител, реагирую-
щих с антигеном:
= C (+ V)F,
где Ρ- скорость производства антител одной плазматической клеткой;
- коэффициент, обратно пропорциональный времени распада анти-
тел.
Четвертое уравнение описывает относительную характеристику поражения органа- мишени:
dm
= V
dt
m,
где σ- константа, своя для каждого заболевания;
- коэффициент пропорциональности.
99
Таким образом, приходим к следующей системе нелинейных
2
1
3
обыкновенных дифференциальных уравнений:
(
=
dF
dt
)
= C (+ V)F
dC
= F(t
dt
= V
которая должна решаться при начальных условиях
V(t)=V
F(t)=F
C(t)=C=c
m(t
) =
Программа решения математической модели заболевания
для системы из трех уравнений в Mathcad
1. Решение при t,=0.1
Делаем замену переменных:
V=, F=, C=, β=a, γ=b, Mf=m, Vγ=n, p=r, = , α=al
ORIGIN:= 1
a:=3 b:=2 r:=5 m:=0.5 n:=0.3 с:=1 mc:=1
)V(
t )(C C
m,
)
x:=
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]