Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Рекуррентное оценивание вектора состояния динамических систем. Учебное пособие
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Ю.Е. ВОСКОБОЙНИКОВ
РЕКУРРЕНТНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ
ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Утверждено
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
НОВОСИБИРСК
2014
УДК 681.5.015.4(075.8)
В 762
Рецензенты:
д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой Г.Г. Асташенков,
НГАСУ (Сибстрин)
д-р техн. наук, проф. А.А. Воевода, НГТУ
Работа подготовлена на кафедре автоматики для студентов V курса,
а также магистрантов и аспирантов АВТФ
Воскобойников Ю.Е.
В 762 Рекуррентное оценивание вектора состояния динамических
систем
: учеб. пособие / Ю.Е. Воскобойников. – Новосибирск:
Изд-во НГТУ, 2014. – 136 с.
ISBN 978-5-7782-2486-5
В пособии достаточно полно излагаются теоретические основы построения
рекуррентных алгоритмов оценивания вектора состояния, получивших название фильтра Калмана. Оригинальным является материал по построению рекуррентных алгоритмов решения плохо обусловленных систем линейных уравнений и синтез рекуррентных алгоритмов оценивания, исходя из требуемых
точностных характеристик. Особое внимание уделяется построению алгоритмов оценивания в
критерий для обнаружения момента расходимости фильтра Калмана и рассмотрен метод построения адаптивного фильтра Калмана. Изложение материала сопровождается большим количеством примеров, а приводимые задания и контрольные вопросы позволяют лучше усвоить изучаемый учебный материал.
Адресовано студентам старших курсов, магистрантам, аспирантам, а также
может представлять
неров, занимающихся вопросами идентификации, фильтрации и обработки
экспериментальных данных.
условиях априорной неопределенности. Предложен новый
интерес для широкого круга научных сотрудников и инже-
ISBN 978-5-7782-2486-5 Воскобойников Ю.Е., 2014
Новосибирский государственный
технический университет, 2014
УДК 681.5.015.4(075.8)
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ................................................................................................................... 6
Тема 1. Необходимые сведения линейной алгебры, теории веро-
ятностей и модели динамических систем ........................................ 7
1.1. Элементы линейной алгебры и теории вероятностей ............................. 7
1.1.1. Нормы и квадратичные формы ...................................................................... 7
1.1.2. Случайные векторные величины и их числовые характеристики ........... 12
1.1.3. Система случайных векторов и их числовые характеристики ................. 18
1.1.4. Нормально распределенные случайные векторные величины ................ 21
1.1.5. Моделирование случайных величин в пакете MathCAD ......................... 25
1.2. Случайные процессы и их характеристики ............................................ 30
1.2.1. Определение случайного процесса ............................................................. 30
1.2.2. Числовые характеристики случайного процесса ....................................... 31
1.3. Модели динамических систем в пространстве состояний ................... 34
1.3.1. Непрерывные линейные системы ................................................................ 34
1.3.2. Дискретные линейные системы ................................................................... 38
1.3.3. Дискретизация линейных непрерывных систем ........................................ 39
1.3.4. Статистические характеристики дискретной линейной системы ............ 43
1.3.5. Наблюдаемость дискретных динамических систем ................................... 45
Вопросы и задания для самопроверки ............................................................ 47
Тема 2. Задача оптимального оценивания и основные теоремы
оценивания .......................................................................................... 49
2.1. Задача оптимального оценивания и допустимые функции потерь ....... 49
2.2. Основные теоремы оптимального оценивания ...................................... 52
Вопросы и задачи для самопроверки ............................................................. 57
Тема 3. Рекуррентные алгоритмы оценивания нестационарного
вектора состояния дискретных систем .......................................... 58
3.1. Построение рекуррентных алгоритмов оценивания ............................. 58
3.1.1. Основные предположения и статистические свойства процессов
дискретной системы .................................................................................... 59
3
3.1.2. Оптимальный алгоритм оценивания вектора состояния (алго-
ритм № 1) .................................................................................................... 61
3.1.3. Оптимальный алгоритм оценивания вектора состояния (алго-
ритм № 2) .................................................................................................... 70
3.2. Рекуррентные алгоритмы оценивания при ненулевых математи-
ческих ожиданиях процессов системы .................................................... 71
3.3. Рекуррентные алгоритмы оценивания в нелинейных дискретных
системах ..................................................................................................... 78
3.3.1. Локально линеаризованная модель нелинейной системы ........................ 79
3.3.2. Рекуррентный алгоритм оценивания вектора состояния нелиней-
ной системы ................................................................................................. 81
Вопросы и задачи для самопроверки ............................................................. 87
Тема 4. Рекуррентные алгоритмы оценивания стационарного
вектора состояния дискретных систем .......................................... 88
4.1. Рекуррентные алгоритмы оценивания стационарного вектора
состояния ................................................................................................... 88
4.1.1. Алгоритмы оценивания для модели векторных измерений ..................... 88
4.1.2. Алгоритмы оценивания для модели со скалярными измерениями ......... 91
4.2. Рекуррентные алгоритмы и решение плохо обусловленных
СЛАУ ......................................................................................................... 93
4.2.1. Матричные модели динамических систем ................................................. 93
4.2.2. Регуляризирующие алгоритмы решения плохо обусловленных
СЛАУ ............................................................................................................ 95
4.2.3. Рекуррентный алгоритм вычисления регуляризированного решения .......... 97
4.3. Сравнение рекуррентных алгоритмов построения различных
оценок стационарного вектора состояния .............................................. 99
4.3.1. Рекуррентный алгоритм оценивания байесовским методом ................. 100
4.3.2. Рекуррентный алгоритм оценивания методом максимума апосте-
риорной вероятности ................................................................................. 101
4.3.3. Рекуррентный алгоритм оценивания методом наименьших квад-
ратов ........................................................................................................... 103
4.3.4. Рекуррентный алгоритм оценивания методом максимального
правдоподобия ........................................................................................... 104
Вопросы и задачи для самопроверки ........................................................... 105
Тема 5. Точностные характеристики и задачи синтеза рекуррент-
ных алгоритмов оценивания ......................................................... 107
5.1. Систематическая и случайная ошибки рекуррентных алгорит-
мов оценивания вектора состояния дискретной системы.................. 107
5.1.1. Систематическая и случайная ошибки оценивания нестационар-
ного вектора состояния ............................................................................. 107
5.1.2. Систематическая и случайная ошибки оценивания стационарно-
го вектора состояния ................................................................................. 111
4
5.2. Точностные характеристики и задачи синтеза рекуррентных
алгоритмов оценивания ......................................................................... 114
5.2.1. Точностные характеристики рекуррентных алгоритмов ........................ 114
5.3. Синтез рекуррентных алгоритмов оценивания стационарного
вектора состояния ................................................................................... 116
Вопросы и задачи для самопроверки ........................................................... 120
Тема 6. Рекуррентные алгоритмы оценивания при неполной
априорной информации .................................................................. 121
6.1. Задание моментов априорного распределения вектора состоя-
ния на основе метода рандомизации ................................................... 121
6.2. Расходимость фильтра Калмана ............................................................ 124
6.2.1. Точность задания априорной информации и расходимость филь-
тра Калмана ................................................................................................ 124
6.2.2. Критерий проверки адекватности моделей .............................................. 125
6.3. Адаптивные фильтры Калмана .............................................................. 127
6.3.1. Адаптивные алгоритмы оценивания нестационарного состояния ........ 127
6.3.2. Адаптивные алгоритмы оценивания стационарного вектора
состояния ......................................................................................... 130
Вопросы и задачи для самопроверки ........................................................... 131
Заключение ........................................................................................................... 133
Библиографический список ................................................................................ 134
5
ВВЕДЕНИЕ
В настоящем учебном пособии рассматривается решение задачи
построения оценки для вектора состояния динамической системы по
зашумленным результатам косвенных измерений. Достаточно общая
форма записи уравнений динамики системы и измерений позволяет
свести к задаче оценивания вектора состояния многие задачи автоматического управления и обработки данных. Так, в задачах идентифи-
кации параметров системы
цируемых параметров (постоянных или изменяющихся во времени).
В задачах фильтрации вектор состояния формируется из параметров
процесса (как правило, из значений производных).
В пособии излагаются теоретические основы построения рекуррентных алгоритмов оценивания вектора состояния дискретной динамической системы. Новым является материал по анализу и синтезу рекуррентных
характеристик. Особое внимание уделяется алгоритмам оценивания в
условиях априорной неопределенности, а также построению адаптивных алгоритмов оценивания.
Изложение материала сопровождается большим количеством примеров, а приводимые задания и контрольные вопросы позволяют лучше усвоить изучаемый учебный материал.
алгоритмов оценивания на основе введенных точностных
вектор состояния состоит из идентифи-
x
x
Тема 1. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ
ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Рассматриваются известные, но, возможно, забытые определения и
понятия, необходимые для изложения и понимания материала последующих тем (рекомендуемая литература [1, 3, 10, 12, 13]).
1.1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
В разделе приводятся необходимые сведения и определения из ли-
нейной алгебры и теории вероятностей [1, 3, 12].
1.1.1. Нормы и квадратичные формы
Евклидова норма вектора xопределяется выражением
1/ 2
n
где
– i -я проекция вектора x. Скалярное произведение
i
векторов размерности
xx
n
определяется выражением
(, )
yxy
2
1
i
n
i
, (1.1.1)
i
. (1.1.2)
ii
1
(, )xy
двух
Нулевым вектором называется вектор, все координаты которого
равны нулю, он будет обозначаться
0
. Нулевой матрицей (обозначае-
7
мой [0]) называется матрица, все элементы которой равны 0. Евклидова
x
x
x
x
x
x
x
норма матрицы определяется выражением
1/ 2
2
. (1.1.3)
,
ij
(, )xy
, но
,
-й элемент
,ij
Произведение
произведение
y
векторов дает скалярную величину
y дает уже матрицу размером nn
которой определяется как
размером
nn , а
– вектор размерности n, то скалярное произведе-
nm
Aa
11
ij
y (докажите это!). Если A – матрица
ij
ние вида
(, )
Ax x A x a x x
T
nn
11
ij
,
ij i j
, (1.1.4)
где символ T означает операцию транспонирования, называется квад-
ратичной формой. Для записи квадратичной формы также будет ис-
пользоваться обозначение
2
(, ),
xAx (1.1.5)
A
и в этом случае ее можно интерпретировать как «взвешенную» норму
вектора
. Если для любого ненулевого вектора x форма
,0xAx
то матрица A называется неотрицательно определенной, если
,0xAx
1A
ства
, то A называется положительно определенной. Матрица
называется обратной для матрицы ,A если выполняются тожде-
11
AA A A I
, где I – единичная матрица, у которой на
главной диагонали стоят единицы, а остальные равны нулю, т. е.
,
10 0
01 0
I
00 1
8
.
0
Ненулевые векторы x, для которых место
A
x
x
x
нуль-пространство матрицы A и их совокупность обозначается
ker
, т. е.
0Ax
, составляют
Если нуль-пространство матрицы
ров, то матрица A называется вырожденной и ее ранг определяется
rank( ) dim ker( )Am A , где
как
нуль-пространства матрицы А.
Пример 1.1.1. Дана матрица
этой матрицы состоит из векторов
ное число. Проверим:
значения
Важной характеристикой при решении систем линейных алгебраи-
ческих уравнений (СЛАУ)
(будем обозначать как
ной и имеет обратную матрицу, то
. Очевидно, что
2
ker ( ) : 0AxAx . (1.1.6)
A
состоит из ненулевых векто-
nm
dim ker( )A означает размерность
20
A
ker( )A
0
20
10
x
2
dim ker( ) 1A ,
Kf
является число обусловленности
()cond K
). Если матрица K является квадрат-
()cond K K K
. Тогда нуль-пространство
10
0
20 0
10 0 0
, где
2
x
2
x
2
rank ( ) 1A
1
. (1.1.7)
произволь-
2
0
для любого
. ♦
Основные свойства числа обусловленности:
1()cond K
матрица с одинаковыми элементами на главной диагонали;
()cond K
, если K – вырожденная матрица);
() ()cond cK c cond K
1
() ()cond K cond K
(при этом
, если константа 0c;
(это непосредственно следует из (1.1.7)).
9
()1cond K
, если K – диагональная
Пример 1.1.2. Рассмотрим матрицу
f
f
f
f
12 3
123
Ka
32 1
. Видно, если
0a , то матрица становится вырожденной. Определим зависимость
числа обусловленности этой матрицы от величины
a
. На рис. 1.1 по-
казан график такой зависимости. Видно, что при малых значениях
10
10a число обусловленности возрастает до 1110 . ♦
Рис. 1.1. Зависимость числа обусловленности
от величины а
Возникает вопрос: плохо или хорошо, когда матрица решаемой системы имеет большое число обусловленности? Ответ на вопрос дает
следующее неравенство:
cond K
()
f
, (1.1.8)
где
– вектор решения системы
– вектор решения системы
частью
). Видно, что чем больше число обусловленности, тем с
Kf
(с «точной» правой частью f);
Kf
(с «зашумленной» правой
большим «коэффициентом усиления» относительная ошибка задания
правой части
отношение
f
переходит в относительную
f
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]