Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Рекуррентное оценивание вектора состояния динамических систем. Учебное пособие
.pdf
4.1.2. Алгоритмы оценивания для модели
x
x
x
jk
x
x
со скалярными измерениями
В этой модели измерения
(1), 0,1,zk k являются скаляр-
ными величинами. Для явного отображения этого факта запишем модели системы и измерений в следующем виде:
(1) ()
kxkx
где
z скалярное измерение в момент 1k; 1kh
1k
размером
случайная скалярная величина – шум измерения. Приведенная
1k
1 m (аналог матрицы
zhx
11 1kk k
(1)Hk
, (4.1.13)
, (4.1.14)
при векторных измерениях);
вектор-строка
модель получила широкое распространение на практике, и она описывает различные схемы оценивания с последовательной обработкой
каждого нового измерения (чаще всего в реальном масштабе времени).
Предположим следующее.
1. Вектор состояния
есть гауссовский случайный m-мерный век-
тор с вектором математического ожидания и корреляционной матрицей:
Вектор
не зависит от
2. Шум измерения
mMx
[]
x
k
;
k
1
V M xm xm
xxx
,0,1,2,
1
,0,1,
k
()()
k
.
представляет собой скалярную
. (4.1.15)
гауссовскую белую последовательность со следующими числовыми
характеристиками:
22
[]0
M;
1
k
M
kk
11
; [ ] 0
M при
jk
. (4.1.16)
При высказанных предположениях с учетом уравнений (4.1.13),
(4.1.14) и соотношений (3.1.20), (3.1.21) из утверждения 3.1.1 непосредственно получаем
Алгоритм 1 оптимального оценивания стационарного вектора со-
стояния по скалярным измерениям
, описываемый следующими урав-
нениями:
ˆˆ ˆ
kxkKkzhxk
(4.1.17)
(1) () (1) ()
11
kk
kxm
для
0, 1, 2, , (0)
ˆ
;
91
Vkh
x
x
x
x
x
(1)
Kk
hVkh
()
kkk
111
1
k
. (4.1.18)
2
()
Заметим, что
m
сти
, и при его вычислении отсутствует вычисление обратной мат-
(1) (1) ()
Vk Kk h Vk
(4.1.19)
(1)Kk
является уже не матрицей, а вектором размерно-
1
k
0, 1, 2, , (0)
kVV
для
рицы (сравните (4.1.18) с (4.1.6)). Изложенному алгоритму соответствует последовательность вычислений
() ( 1) ( 1).
Vk Kk Vk
(4.1.20)
(4.1.18) (4.1.19)
Алгоритм 2 оптимального оценивания стационарного вектора со-
стояния по скалярным измерениям, описываемый следующими урав-
нениями:
ˆˆ ˆ
kxkKkzhxk
(4.1.21)
(1) () (1) ()
Vkh h Vk
(1) ()
Vk Vk
hVkh
kkk
11
kk
kxm
для
() ()
11
kk
()
111
0, 1, 2, , (0) ;
2
ˆ
. (4.1.22)
.
(1)
Vk h
1
k
(1)
Kk
2
k
для
1
0, 1, 2, , (0)
kVV
. (4.1.23)
Объединяя (4.1.21), (4.1.23), получаем более «компактную» запись алгоритма 2:
(1)
Vk h
ˆˆ ˆ
(1) () ()
kxk zhxk
2
k
92
1
k
11
kk
1
; (4.1.24)
Vkh h Vk
x
x
x
H
(1) ()
Vk Vk
hVkh
kkk
с точкой «старта»:
11
kk
ˆ
(0)
()
111
для
2
m
; (0)
VV
0,1,2,...k
(4.1.25)
. (4.1.26)
() ()
Этот алгоритм соответствует следующей последовательности вычислений:
() ( 1) ( 1).
Vk Vk Kk
(4.1.27)
(4.1.22) (4.1.23)
В заключение заметим, что рекуррентные алгоритмы оценивания
стационарного вектора состояния по скалярным наблюдениям включают умножение матрицы на вектор, но не содержат обращение
матриц.
4.2. РЕКУРРЕНТНЫЕ АЛГОРИТМЫ
И РЕШЕНИЕ ПЛОХО ОБУСЛОВЛЕННЫХ СЛАУ
В настоящем разделе покажем связь между регуляризированными
решениями плохо обусловленных систем линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ) и оценками, построенными рекуррентными алгоритмами, рассмотренными в разделе 4.1.
4.2.1. Матричные модели динамических систем
Модели со стационарным вектором состояния допускают представление в виде СЛАУ. Первоначально рассмотрим модель (4.1.1),
(4.1.2). Введем
(1)
H
z
(1)
(2)
H
*
Hk
()
()
k
;
zk
()
z
(2)
93
; ( )k
zk
()
,
k
H
x
H
где
матриц
()Hk
– матрица размером
(), 1,2, ,Hi i k
()nk m
*
(), ()zk k
;
, строки которой составлены из
– векторы размерности nk ,
составленные из векторов измерений и шумов. Тогда уравнение (4.1.2)
k измерений можно записать в виде
для
() () ()
kx k z k
Следовательно, построение оценки
наличии
k измерений сводится к решению СЛАУ вида
ˆ
()
k
ˆ
()() ()
kxk z k
. (4.2.1)
для вектора состояния x при
. (4.2.2)
По аналогии для модели (4.1.13), (4.1.14) введем
Hk
где
hi k ;
,1,2,,
i
()
()Hk
– матрица размером km, строками которой являются
h
1
h
2
;
h
k
(), ()zk k
zk
()
– векторы размерности k . Тогда (4.1.14)
z
1
z
2
;
()kk
z
k
1
2
, (4.2.3)
можно записать в виде системы (4.2.1), и опять приходим к необходимости решать СЛАУ (4.2.2). Какие трудности могут при этом встречаться?
Во-первых, система (4.2.2) из-за погрешностей измерений правой
части, как правило, является несовместной. Это означает, что отсутствует вектор, обращающий систему (4.2.2) в тождество, т. е. система
не имеет решения.
Во-вторых, матрица
(число обусловленности матрицы
погрешности правой части
()Hk
может быть плохо обусловленной
34
10 ...10 ). Это означает, что малые
()zk
могут вызвать существенные ошибки
в построенном решении СЛАУ (подробнее см. [4, 6, 7]), из-за которых
это решение является неприемлемым.
94
Вопрос: что же делать? Ответ: необходимо перейти к регуляризи-
x
x
x
x
x
x
рованным решениям, при построении которых не возникнет названных выше трудностей.
4.2.2. Регуляризирующие алгоритмы решения
плохо обусловленных СЛАУ
Для построения решения плохо обусловленной СЛАУ используют
различные (как детерминированные, так и статистические) регуляризи-
рующие алгоритмы (подробнее [4, 6, 7]). Суть этих алгоритмов состоит в использовании априорной информации о «гладкости» искомого
решения. Это позволяет «сузить» множество возможных решений,
«отбросив» неустойчивые, «негладкие» решения.
Применительно к рассматриваемой задаче решения СЛАУ (4.2.2) в
качестве регуляризированного (устойчивого
()xk
, доставляющий минимум сглаживающему функционалу
[] () ()
Fx Hkxzk x x
) решения берется вектор
22
WW
zx
, (4.2.4)
0
где запись
(1.1.5));
ром
тора
()()nk nk
()zk
2
x означает «взвешенную» норму
W
параметр регуляризации. Квадратная матрица zW разме-
содержит информацию о погрешностях измерения век-
и часто задается как
ная матрица вектора шума
1
WV
z
()k
. Квадратная матрица
, где
()
k
Wx
вектора x (см.
– корреляцион-
V
()k
W размером
mm задает априорную информацию о гладкости искомого решения.
Так, задав
WI , вводим ограничения только на величину нормы ис-
комого решения, что соответствует регуляризации нулевого порядка.
Вектор
иногда называют «пробным» решением и он содержит ко-
0
ординаты априори наиболее вероятного решения.
Заметим, что первое слагаемое функционала характеризует адекватность вектора
заданному вектору измерений
емое – адекватность априорной информации, задаваемой
()zk
, второе слага-
и xW .
0
Вклад этих двух слагаемых в общую величину сглаживающего функционала «регулируется» выбором величины параметра регуляризации
95
.
Можно показать, что вектор
H
x
x
x
x
x
H
x
ционалу (4.2.4), является решением системы уравнений
Если величину
наименьшим значением
наименьших квадратов, которые доставляют минимум функционалу
**2
() ()
zk Hkx
исходных данных. При стремлении
стемы (4.2.5) является вектор
ся априорной информацией. Другими словами, при уменьшении
уменьшается систематическая ошибка регуляризированного решения,
но увеличивается случайная ошибка, т. е. ухудшается устойчивость
решения к погрешностям задания правой части. При возрастании
наблюдается обратная картина.
Таким образом, величина параметра
ляризированного решения и его выбор, несмотря на предложенные алгоритмы [4, 6, 7], остается основной проблемой при использовании
регуляризирующих алгоритмов на практике.
Предположим, что вектор шума
устремить к нулю, то получаем вектор
. Но решение
W
z
() () ()
kWHk Wxk
() ()
Hk Wzk Wx
xx среди всех решений метода
()xk
, доставляющий минимум функ-
z
0
, т. е. решение полностью определяет-
0
z
2
W
()xk
неустойчиво к погрешностям
к бесконечности решением си-
()k
x
определяет точность регу-
подчиняется нормальному
. (4.2.5)
0
()xk
с
распределению
ским вектором с математическим ожиданием
матрицей
V . Тогда решение системы
NV
() () ()
(4.2.6)
, а искомое решение x является гауссов-
()0,k
kV HkV xk
Hk V zk Vm
11
()
k
() ()
11
k
()
96
x
m и корреляционной
Б
x
дает байесовскую оценку Б()xk вектора состояния x (построенную по
x
x
k измерениям), которая минимизирует функционал (2.1.4) при квадра-
тичной функции потерь (2.1.3). Следовательно, байесовское решение
также является регуляризированным решением, но для его построения требуется полная априорная информация о первых двух моментах
вектора шума и искомого решения.
4.2.3. Рекуррентный алгоритм вычисления
регуляризированного решения
Вычисление регуляризированного решения
лении нового вектора измерений
(1)zk
требует пересчета матрицы и
(1)xk
при поступ-
правой части системы (4.2.5) и решения новой системы. Это обусловливает значительные вычислительные затраты на обработку одного
нового измерения.
Вопрос:
можно ли вычислить регуляризированное решение
рекуррентным способом?
Ответ дает следующее
()xk
Утверждение 4.2.1. Предположим, что модель измерений является
скалярной, и ковариационная матрица
имеет диагональную
V
()k
структуру
Тогда вектор
Pk Pk
V
ˆ
()
k
, определяемый рекуррентными соотношениями
ˆˆ ˆ
() ( 1) ( 1)
xk xk z hxk
() ( 1)
diag , , ,
()
k
(1) (1)
Pk h hPk
22 2
. (4.2.7)
12
T
()
Pkh
k
kk
2
k
kk
2
kk k
(1)
hPk h
k
; (4.2.8)
, 1, ..., ,kn
(4.2.9)
с точкой «старта»
ˆ
(0) ;
x
0
(0) ( )
PW
1
(4.2.10)
x
97
совпадает с вектором регуляризированного решения
x
x
x
()xk
, определя-
емого системой (4.2.5).
Доказательство приведено в [5].
Результаты утверждения, с одной стороны, дают эффективный алгоритм вычисления регуляризированного решения, который не требует
обращения матриц и решения систем уравнений, а с другой – показывают, что оценка стационарного вектора состояния дискретной системы, получаемая рекуррентными алгоритмами (3.1.20)–(3.1.22) или
(3.1.23), (3.1.24), является регуляризированным решением соответствующей системы
уравнений при определенным образом заданной точке
старта рекуррентного алгоритма.
Пример 4.2.1. Вектор состояния размерности 20 (проекции которо-
го показаны на рис. 4.1) системы, описываемой моделью (4.1.13),
1, 2, , 100k
(4.1.14), измерялся в моменты
нем шума 5 %. Матрица
7
210 , т. е. система (4.2.2) очень плохо обусловлена. На рис. 4.2 пока-
(100)H
имела число обусловленности
заны графики относительной СКО, определяемой как
с относительным уров-
22
ˆ
()
xk x
для двух стартовых точек (см. (4.2.10)):
график 1 – точка старта
W
);
x
график 2 – точка старта
ˆ
(0) 0x
ˆ
x
(0) 0
(0) 10
;
;
(0) 10
8
(т. е.
(т. е.
;
;
10
10
1
8
W Ι ).
Из этого рисунка видно, что и положение, и величина минимумов,
соответствующая различным стартовым точкам, совпадают, но затем
после точки минимума относительные ошибки решения увеличивают-
ся (особенно для
на графике 2). Следовательно, для получе-
10
8
ния «оптимальной» оценки стационарного вектора состояния не обя-
зательно использовать все имеющиеся измерения (в нашем случае это
100 измерений). На рис. 4.1 кривая 1 – точные значения проекций вектора
; кривая 2 отображает проекции решения
ного на шестой итерации при
ˆ
10
. На кривой 3 видны осцилляции, характерные для не-
(10)x
8
1
10
; график 3 – проекции решения
ˆ
10
(6)x
1
, получен-
устойчивых решений.
98
Рис. 4.1. Проекции решений
Рис. 4.2. Зависимость ошибки
от номера шага
В заключение заметим, что точность регуляризированного решения, построенного рекуррентным алгоритмом, зависит от двух величин, которые может задавать пользователь: параметр регуляризации
и количество шагов
ритма. Удачный выбор величины
неудачный выбор параметра
Действительно, взяв
СКО даже при существенно отличающихся значениях
k
до момента останова рекуррентного алго-
stop
k
позволяет «компенсировать»
stop
. Это хорошо иллюстрирует рис. 4.1.
6k
stop
, получаем минимальную относительную
(на 8 поряд-
ков).
Поэтому возникает вопрос: как вычислить оптимальное количе-
ство шагов
k , минимизирующее ошибку регуляризированного реше-
opt
ния? Ответ будет дан в теме 5. «Точностные характеристики и задачи
синтеза рекуррентных алгоритмов оценивания».
4.3. СРАВНЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ АЛГОРИТМОВ
ПОСТРОЕНИЯ РАЗЛИЧНЫХ ОЦЕНОК
СТАЦИОНАРНОГО ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ
В этом разделе приводятся рекуррентные алгоритмы построения
оценок вектора состояния на основе:
байесовского метода;
99
x
x
H
x
x
метода максимума апостериорной вероятности;
метода наименьших квадратов;
метода максимума правдоподобия.
В основе построения этих алгоритмов лежит минимизация функ-
ционала (4.2.4). Априорная информация, используемая каждым из перечисленных выше методов, определяет вид и содержание матриц
W и вектора
ритмов будет осуществляться для модели скалярных измерений
(4.1.13), (4.1.14), которая в матричной записи имеет вид
, входящих в функционал (4.2.4). Построение алго-
0
W ,
z
где векторы
(4.2.3).
**
(), ()zk k и матрица
() () ()
kx k z k
()Hk
, (4.3.1)
определяется выражениями
4.3.1. Рекуррентный алгоритм оценивания
байесовским методом
В качестве байесовской оценки для решения xсистемы уравнений
(4.3.1), построенной по вектору измерений
()xk
, доставляющий минимум функционалу
Б
[]L
где
что:
лению
левым средним и корреляционной матрицей
– допустимая функция потерь (см. раздел 2.1). Предположим,
искомый вектор состояния подчиняется нормальному распреде-
Nm V
вектор шума
kMM Lxkxzk
() () ()
(,)
;
x
x
zk
()k
не зависит от x и является гауссовским с ну-
V
diag , , ...,
*
()
k
()
22 2
. (4.3.3)
12
*
(),zk принимается вектор
ˆ
k
, (4.3.2)
Тогда, используя следствие 3.2.2 и выражение (1.3.5), можно показать,
что вектор
()xk
является решением системы
Б
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]