Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Рекуррентное оценивание вектора состояния динамических систем. Учебное пособие
.pdf
5.1.2. Систематическая и случайная ошибки
x
x
x
x
x
оценивания стационарного вектора состояния
Ошибку оценивания
1k
вектора состояния на
представим в виде суммы векторов систематической
1k
ной
ошибок (см. (5.1.1), (5.1.2)):
ˆ
1(1) (1) 1kxkxbk k
(1)k
-м шаге
(1)bk
и случай-
(5.1.15)
Если точка старта алгоритма (4.1.5) или (4.1.10) задается выражением
ˆ
(0)
m , то
(1)0bk
для всех k , т. е. оценка
смещенной. В противном случае вектор смещения
ˆ
(1)xk
(1)bk
является не-
определя-
ется уравнением
bxm
где
ˆ
(0) (0)
– вектор смещения в точке старта;
(1,0) (1)(1).
kIKjHj
b
Вектор случайной ошибки
риационную матрицу
bk k b
b
k
0
j
1k
имеет нулевое среднее и кова-
, определяемую выражениями (5.1.11),
(1)Vk
, (5.1.16)
(5.1.17)
(1) (1,0)(0)
(5.1.12). Среднеквадратическая ошибка оценивания
2
(1) (1)kMxkx
ˆ
(5.1.18)
определяется выражением
2
(1) (1) (1)kbk SpVk
. (5.1.19)
Остановимся более подробно на модели скалярных измерений. Часто оцениваемый вектор состояния состоит из параметров динамической системы, которые при определенных допущениях можно считать
детерминированными. Поэтому задание первых двух моментов
m ,
V , определяющих точку старта рекуррентных алгоритмов, рассмот-
ренных в разделе 4.1.2, становится достаточно неопределенным. Во
многих случаях точку старта задают соотношениями
111
ˆ
x
x
x
x
x
x
где
достаточно большая положительная константа. Даже если век-
(0) 0x
;
(0)VI
, (5.1.20)
тор состояния является гауссовским вектором, то на практике очень
часто отсутствует достоверная информация о значениях моментов
m ,
V . И в этих случаях задание точки старта носит произвольный ха-
рактер.
Очевидно, что при таком произвольном задании точки старта ре-
(1)Vk
куррентного алгоритма матрица
онной матрицей случайной ошибки оценивания
уже не является ковариаци-
1k
, а среднеквад-
ратическая ошибка (СКО) оценивания будет больше по сравнению с
(,)
СКО алгоритма с «оптимальной» точкой старта
mV . Поэтому
x
определим числовые характеристики рекуррентного алгоритма оценивания с произвольной точкой старта. Для этого перепишем уравнения
(4.1.24), (4.1.25) в виде
(1)
ˆˆ ˆ
(1) () ()
kxk zhxk
(1) ()
Pk Pk
Pk h
1
k
11
2
1
k
() ()
Pkh h Pk
2
kk k
kk
11
kk
()
hPkh
11 1
; (5.1.21)
, (5.1.22)
с точкой старта
ˆ
(0)
где
произвольный m-вектор;
0
матрица размером
mm
x
0
, а остальные обозначения даны в разделе 4.1.2.
Систематическую ошибку оценивания
(0)PV
;
V
– положительно определенная
0
, (5.1.23)
0
(1)bk
можно представить
в виде (сравните с (5.1.16))
(1) (1)(0)bk Bk b
, (5.1.24)
(0)bxx
где
точке старта). Матрицу
Утверждение 5.1.1. Матрица смещения
– вектор «начального» смещения (или смещение в
0
(1)Bk
назовем матрицей смещения.
(1)Bk
для алгоритма
(5.1.21), (5.1.22) определяется выражением
112
k
B
(1)
Bk I
j
0
2
jj j
и допускает рекуррентное вычисление
()
Pjh h
jj
11
()
hPjh
11 1
(5.1.25)
(1) ()
2
kk k
0, 1, 2,k
kI Bk
()
Pkh h
11 1
11
kk
hPkh
()
(0)BI
;
. (5.1.27)
, (5.1.26)
Доказательство теоремы приводится в [5].
Для ковариационной матрицы
вания
1k
справедливо следующее
Утверждение 5.1.2. Если шум измерения
случайной ошибки оцени-
(1)Vk
{ , 0, 1, 2, }
1
k
k
яв-
ляется скалярной белой последовательностью с числовыми характеристиками
22
;
(1)Vk
M
11kk
, (5.1.28)
определяется рекуррентным со-
[]0
M
1
k
то ковариационная матрица
отношением
(1)( )()( )
Vk I g h VkI g h
2T
gg
111
kkk
11 11
kk kk
,
0, 1, 2, ; (0) 0 ,kVI
(5.1.29)
()
где вектор
вычисляется как
1kg
g
1
k
Pkh
2
11 1
kk k
1
k
()
hPkh
.
Доказательство теоремы приводится в [5].
113
5.2. ТОЧНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
x
И ЗАДАЧИ СИНТЕЗА
РЕКУРРЕНТНЫХ АЛГОРИТМОВ ОЦЕНИВАНИЯ
Несмотря на информативность характеристик
()bk
и
(),Vk
для
анализа и синтеза рекуррентных алгоритмов желательно иметь набор
скалярных величин, характеризующих точность оценивания и имеющих простой физический смысл. Такие величины в дальнейшем будем
называть точностными характеристиками. Введем набор точностных
характеристик рекуррентных алгоритмов оценивания стационарного
вектора состояния дискретной системы и сформулируем задачи синтеза алгоритмов с заданными точностными характеристиками.
5.2.1. Точностные характеристики
рекуррентных алгоритмов
Вычислить на практике вектор
«начального смещения»
скалярную величину
[1]
где
ром
()bk
– вектор смещения, обусловленный единичным векто-
«начального» смещения
11m
вектора
()bk
, определяемую как
b
()
k
()bk
невозможно из-за незнания
(0)b
(см. (5.1.24)). Поэтому введем
2
[1]
()
bk
, (5.2.1)
2
1
m
1
(0)
b . Можно показать, что
MM
1
Величину
kBk
() ()
b
()bk
можно рассматривать как коэффициент передачи
M
ij
11
квадрата нормы вектора «начального» смещения
мы вектора смещения
()bk
оценки
ˆ
()
k . Справедливы следующие
2
. (5.2.2)
,
ij
(0)
b в квадрат нор-
пределы:
114
M
x
lim
k
b
0
() 1
k
;
lim
k
() 0
k
b
, (5.2.3)
и функция
()bn является не возрастающей.
Введем величину
()
Sp V k
()
k
, (5.2.4)
2
k
которую можно трактовать как коэффициент передачи дисперсии шу-
ма в величину
алгоритм вычисления
1
kSpIghVkIghSpgg
() ( ) ( 1)( ) .
2
k
Используя введенные величины ()
ошибку решения
2
() ()
kSpVk
():k
kk kk k k
ˆ
()
k можно аппроксимировать выражением
() () (0) ()
kkb k
bk
. Из выражения (5.1.29) следует
()k
b
k и
2
, среднеквадратическую
2
. (5.2.6)
T
(5.2.5)
Знак приближенного равенства обусловлен аппроксимацией величины
2
(1)bk
аппроксимации пренебрежительно мала:
первым слагаемым (хотя относительная погрешность такой
3
10 ). Используя выраже-
ние (5.2.6) можно провести анализ рекуррентного алгоритма оценивания (5.1.21), (5.1.22).
Пример 5.2.1. Для модели измерений, описанной в примере 4.2.1
7
210
(число обусловленности матрицы измерений
ные характеристики
()bk
,
. На рис. 5.1 показаны графики
()k
(кривая 1 соответствует стартовой матрице
8
10VI), а на рис. 5.2 – графики
0
()bk
Поведение
,
()k
еще раз подчеркивает известное противо-
при тех же значениях 0V . ♦
k
), вычислим точност-
10VI
, кривая 2 –
0
()bk
речие между разрешающей способностью алгоритма (чем меньше
115
()bk
, тем меньше систематическая ошибка и выше разрешающая
способность) и устойчивостью (чем больше
, тем хуже устойчи-
()k
вость) рекуррентного алгоритма оценивания.
Рис. 5.1. Значения
()bk
Рис. 5.2. Значения
()k
Задание.
чины скалярного множителя
Объясните зависимость амплитуды графиков 1, 2 от вели-
(10 и 108) стартовой матрицы 0V .
5.3. СИНТЕЗ РЕКУРРЕНТНЫХ АЛГОРИТМОВ
ОЦЕНИВАНИЯ СТАЦИОНАРНОГО
ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ
Обратимся к задаче определения номера шага, на котором рекуррентный алгоритм обладает определенными значениями точностных
характеристик. Такая задача является уже задачей синтеза рекуррентного алгоритма оценивания.
Как было показано в примере 4.2.1, минимум выборочной СКО
оценивания
некотором шаге с номером
которого обработка новых измерений только увеличивает ошибку оце-
нивания. Следовательно, дальнейшая обработка измерений не имеет
смысла, и работу рекуррентного алгоритма необходимо завершить.
стационарного вектора состояния может достигаться на
k
(в указанном примере
opt
116
opt
6k
), после
Таким образом, возникает задача синтеза рекуррентного алго-
ритма оценивания стационарного вектора состояния. Эту задачу мож-
но сформулировать следующим образом:
Определить номер шага, на котором рекуррентный
алгоритм обладает требуемыми значениями точностных
характеристик.
Важным свойством введенных в разделе 5.2.1 точностных характеристик является возможность «априорного» их вычисления, т.е. до
начала работы самого рекуррентного алгоритма. Это обусловлено
тем, что сами измерения
z в вычислениях точностных характеристик
k
не участвуют.
Учитывая противоречивый характер зависимости систематической
и случайной ошибок оценивания от номера шага, сформулируем следующие задачи синтеза.
Задача А
min ( ) (0) ( )
k
kb k
bk
0
2
2
. (5.2.7)
Задача B
min ( ) ( )
0
k
22
kb k
max max
b
. (5.2.8)
Задача С
min ( )
k
k
при ограничениях
b
0
()k
. (5.2.9)
max
Задача D
min ( )
0
k
при ограничениях
k
()
bb
max
k
. (5.2.10)
Остановимся на «физической» сущности сформулированных задач.
Решение задачи А (обозначим его как Ak ) дает номер шага рекур-
рентного алгоритма, на котором достигается
стационарного вектора состояния
. Однако в качестве априорной ин-
минимум СКО оценивания
формации необходимо задать: а) значение квадрата нормы вектора
начального смещения
2
; б) дисперсию шума
(0)b
. В ряде случаев
k
эти величины неизвестны.
117
Решение задачи В (обозначим Bk ) дает номер шага рекуррентного
A
D
алгоритма, на котором
классах векторов состояний и шумов
достигается минимум СКО оценивания на
, задаваемых следующими огра-
ничениями:
2
(0)bb
2
max
22
;
. (5.2.11)
maxk
Заметим, что в отличие от задачи
2
(0)b
2
,
, а достаточно указать только верхние границы для значе-
k
А здесь не требуется задания
ний этих величин. Однако при этом возможно, что СКО оценивания
()
k
будет больше СКО оценивания
B
()
k
, что является своеобраз-
ной «платой» за отсутствие «точной» априорной информации о вели-
2
,
2
.
k
k ) минимизирует норму система-
C
чинах
(0)b
Решение задачи С (обозначим
тической ошибки оценивания при требуемой устойчивости алгорит-
ма к шуму измерения
.
Решение задачи D (обозначим Dk ) минимизирует норму случайной
ошибки оценивания при требуемой разрешающей способности алго-
ритма
.
Возникает вопрос
: как вычислить решения сформулированных ва-
риационных задач?
Для решения задач (5.2.7) и (5.2.8) можно использовать любой ал-
k
горитм одномерной минимизации функционала. Функция ()
явля-
b
ется не возрастающей и это свойство позволяет определить решение
задачи
Аналогично решение задачи
С как корень нелинейного уравнения
()
k
. (5.2.12)
C
max
определяется как корень нелинейного
уравнения
()
k
bD b
max
. (5.2.13)
Знак «
ся среди целых значений аргумента функций
» в двух последних уравнениях указывает, что решение ищет-
.
118
(), ()
kk
b
Пример 5.2.2. Решая задачу В, выполним синтез рекуррентного ал-
x
B
горитма (4.2.8), (4.2.9) для обработки измерений, соответствующих
модели системы (4.1.13), (4.1.14) и описанных в примере 5.2.1.
Так как
ˆ
(0) 0x
, а
2
75x
, то величина
2
b принималась рав-
max
ной 100 (т. е. вносилась 25 %-я ошибка). Точные значения дисперсий
2
0.14
и поэтому
k
30 %-я ошибка). На рис. 5.3 график
ошибки оценивания
ˆ
() ()100 ()0.2
kk k
. Хотя поведение этих двух графиков разли-
b
чается, но по точке минимума зависимости
ласть минимальных ошибок оценивания и определить (решая задачу
2
0.2 (т. е. в задании дисперсии вносилась
max
1 отражает величину квадрата
kx
2
, а график 2 – зависимость
ˆ
()
k можно оценить об-
ˆ
()
В)
номер шага прекращения работы рекуррентного алгоритма. В этом
примере 5
k . ♦
Рис. 5.3. Графическое решение задачи В синтеза
рекуррентного алгоритма оценивания
Отметим, что сформулированные вариационные задачи синтеза
наполняют задачу выбора момента останова содержательным смыслом
в терминах измерительных систем, а их решение позволяет в определенной степени «скомпенсировать» неудачный выбор точки «старта»
рекуррентного алгоритма.
119
Вопросы и задачи для самопроверки
D
x
B
B
1. Дайте определение систематической и случайной ошибок оцени-
вания нестационарного вектора состояния.
2. Дайте определения систематических ошибок задания векторов
возмущения и управления.
()bk
3. Что характеризует точностная характеристика
ного алгоритма оценивания?
4. Что характеризует точностная характеристика
ного алгоритма оценивания?
5. Как ведут себя точностные характеристики ()
увеличении количества шагов рекуррентного алгоритма оценивания?
6. Что понимается под задачей синтеза рекуррентного алгоритма
оценивания?
7. Почему на практике вариационную задачу
А синтеза рекуррент-
ного алгоритма оценивания невозможно решить?
8. Чем отличаются формулировки вариационных задач
рекуррентного алгоритма оценивания?
9. Сущность формулировки вариационной задачи
рентного алгоритма оценивания.
10. Сущность формулировки вариационной задачи
куррентного алгоритма оценивания?
11. Пусть в условиях примера 5.3.1 величина
нится количество шагов
k – решение вариационной задачи В (объяс-
2
ните почему).
12. Пусть в условиях примера 5.3.1 величина
нится количество шагов
k – решение вариационной задачи В (объяс-
2
max
ните почему).
рекуррент-
()k
рекуррент-
k
b
, ()k
при
А, В синтеза
С синтеза рекур-
синтеза ре-
= 200. Как изме-
0.4. Как изме-
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]