Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Рекуррентное оценивание вектора состояния динамических систем. Учебное пособие
.pdf
Для доказательства запишем (3.1.2) в виде
M
x
() ()() , 1,2,zj jxj j j,
откуда
В силу доказанного свойства (3.1.9) первое слагаемое этого выра-
жения обращается в нуль при
нуль при любых
j
(см. (3.1.6)). Из этих двух фактов следует (3.1.10).
4. Процессы
0, 1, 2,j
() () 0Mxj k
5. Процессы
,1,2,kj
() () 0Mzj k
Доказательство свойств 4, 5 представляется читателю в качестве
упражнения.
() () () () () ()
zjwk jMxjwk M jwk
()xj
, т. е.
()zj
, т. е.
kj
,kj
в силу некоррелированности процессов
k
,
,
не коррелированы для любых
k
не коррелированы для любых
.
, а второе слагаемое обращается в
для любых
для
,kj
. (3.1.11)
kj
kj
. (3.1.12)
3.1.2. Оптимальный алгоритм оценивания
вектора состояния (алгоритм №1)
1, 2 , ,k
()wk
, где
,
При построении алгоритма предположим, что известны: а) первый
(0) 0
m
x
системы; б) множество измерений
но свойство условного математического ожидания (1.1.41) позволяет
переписать правую часть предыдущего выражения в виде
и второй
В силу следствия 2.2.1 оптимальная текущая оценка определяется как
(0)
V
моменты вектора
x
(1), , ( 1)zzk
ˆ
( 1) ( 1) (1), , ( 1)xk M xk z zk
61
(0)
.
,
начального состояния
M
M
M
M
x
x
( 1) (1), , ( ) , ( 1) ( 1) (1), , ( )Mxk z zk zk Mxk z zk
(1|) (1) (1)|(1),,()zk k zk M zk z zk
где
уравнении процесс
поэтому отсутствует третье слагаемое суммы (1.1.41). Условное математическое ожидание
оптимальное предсказание
,()zk , т. е.
ˆ
Тогда выражение
есть разность между заданным измерением и предсказанным значением в момент
порождающим процессом (innovation process). В русскоязычной литературе используется название невязка измерения. В дальнейшем будем
использовать первое название.
Из (3.1.2) непосредственно следует, что
1k , эту разность в зарубежной литературе называют
ˆ
(1|) (1) (1)(1),,()zk k k M xk z zk
(1)(1|)
xk zk k
()xk
имеет нулевое математическое ожидание и
(1|) (1)(1),,()zk k M zk z zk
(1|) (1)(1|)zk k zk zk k
(1)|(1),,()
zk z zk
(1)zk
(3.1.14)
,
0, 1, ...k
по известным измерениям (1),z
.
ˆ
(3.1.13)
. Заметим, что в этом
можно трактовать как
(1)|(1),,()
Запись
предсказание вектора состояния
,()zk и обозначать
Получим явное выражение для
том свойств условного математического ожидания, получаем
xk z zk
ˆ
(1|) (1)|(1),,()
kkMxk z zk
1(1), ,()
kz zk
будем трактовать как оптимальное
ˆ
. (3.1.15)
(1)xk
(1|)
kk
62
по измерениям (1),z
. (3.1.16)
. Из выражения (3.1.1), с уче-
ˆ
M
x
x
(1|) (1,)()|(1),,()xk k M k k xk z zk
(1,)()|(1),,()
kkwkz zk .
Из свойства (3.1.10) следует некоррелированность вектора
торов
независимость. Поэтому второе слагаемое предыдущего выражения
примет вид
(1), (2), , ( )zz zk , но для гауссовских векторов это влечет их
()wk
и век-
(1)()|(1),,() (1|) ()0Mk wkz zk k kMwk
Тогда окончательно получаем
ˆˆ
Вернемся к выражению (3.1.15). Из свойства (3.1.12) и предполо-
жения (3.1.5) следует
выражение и выражение (3.1.17) позволяет переписать (3.1.15) в виде
ˆ
доказать основное утверждение об оптимальном оценивании в дискретных линейных системах.
положений 1–4 справедливо следующее.
отношением
0, 1, ...k , с начальным условием
(1|) (1)(1|) (1)(1|)()zk k k xk k H k k kxk
Выражения (3.1.13), (3.1.17), (3.1.18) позволяют сформулировать и
Утверждение 3.1.1. Для дискретной системы (3.1.1), (3.1.2) и пред-
Оптимальная оценка
1.
ˆˆ ˆ
kkkxkKkzkHkkxk ,
(1) (1,)() (1)(1) (1)(1)()
2. Матрица
kk kkxk
(1|) (1,)()
1Kk
размером mm определяется выражением
. (3.1.17)
1(1), () 1 0Mk z zk Mk
ˆˆ
ˆ
(1)xk
определяется рекуррентным со-
(0) 0x
.
. Это
. (3.1.18)
. (3.1.19)
(1) (1|) (1)Kk V k k k
(1)(1|) (1) (1)Hk V k kH k V k
63
1
, (3.1.20)
где
x
M
(1|) (1,)()(1,)Vk k k kVk k k
(1) (1)(1)(1|)Vk I Kk Hk Vk k
с начальным условием
3. Случайный процесс
(1,)()(1,)
kkVk kk
(0) (0)
VV
x
1(1)(1)kxkxk
w
; (3.1.21)
.
0,1, 2,k
(3.1.22)
.
ˆ
– ошибка оцени-
вания, является гауссовской последовательностью с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей (1)Vk
, определя-
емой (3.1.22).
4. Случайный процесс
1| ( 1) ( 1| )k k xk xk k
– ошибка
ˆ
предсказания, является гауссовской последовательностью с нулевым
математическим ожиданием и корреляционной матрицей
(1|)Vk k
определяемой (3.1.21).
Доказательство этого утверждения состоит из следующих шагов.
1. Полученное ранее соотношение (3.1.17) позволяет переписать
исходное выражение оптимальной оценки (3.1.13) в виде
ˆˆ
(1) (1,)() (1)(1|),
kkkxkMxkzkk
(3.1.23)
где
(1|) (1)(1|)zk k zk zk k
(1) (1)(1|)()zk Hk k kxk
. (3.1.24)
ˆ
ˆ
,
Так как
(1)xk
и (1|)zk k
– гауссовские случайные векторы с нуле-
вым математическим ожиданием, то согласно выражению (1.1.38)
условное математическое ожидание
(1)(1|)
xk zk k
можно за-
писать в виде
(1)(1|)Mxk zk k
(1) (1)(1|)
Vk V k zk k
xz z
1
64
, (3.1.25)
где в нижних индексах ковариационных матриц для простоты упуще-
ны аргументы у векторов. Обозначая
1
(1) (1) (1)
Kk V k V k
xz z
, (3.1.26)
приходим к выражению (3.1.19) доказываемой теоремы.
(1)Kk
2. Вычислим матрицу
(3.1.26). Для этого (1|)zk k
перепишем в виде
размером mn, определяемую
(1|) (1) (1)(1|)
zk k zk Hk xk k
( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1 | )
Hk xk k Hk xk k
где
1| ( 1) ( 1| )kkxk xkk – ошибка предсказания. Некорре-
лированность векторов 1|kk
ную матрицу (1) (1|)(1|)
Vk Mzk kz k k
z
(1) 1| 1,
Hk k k k
ˆ
и
ˆ
ˆ
1k
позволяет ковариацион-
записать (с учетом
(1.3.9), (1.3.11)) в виде
Vk Hk Vk kH k Vk
(1) (1)(1|) (1) (1)
где ( 1|) 1| ( 1|)Vk k M k k k k
z
– ковариационная матрица
, (3.1.27)
ошибки предсказания. Обратимся к ковариационной матрице
Vk
1
xz
, которую можно определить как
(1|) (1|)(1|)
Vk k Mxk kzk k
xz
ˆ
(1|) 1| (1) 1 1 .
Mxkk kkHk k k
Выполнив необходимые вычисления, получаем
(1) (1|) (1)
Vk Vk kHk
xz
. (3.1.28)
Подставляя (3.1.28), (3.1.27) в (3.1.26), получаем соотношение (3.1.20)
доказываемой теоремы.
65
3. Ошибку оценивания
1k
можно представить в виде
1 (1) (1|) (1)(1|)
kxk xkkKkzkk
(1)(1) 1| (1) 1,
Kk Hk k k Kk k
а ее ковариационную матрицу
(1) (1)(1)(1|) (1)(1)Vk IKk Hk Vk kIKk Hk
(1)(1) (1)Kk V k K k
Опуская для удобства в правой части (3.1.29) аргументы матриц, раскрывая скобки и группируя члены, получаем
Однако из уравнения (3.1.20) можно видеть, что
VH
что совпадает с (3.1.22) доказываемой теоремы.
4. Для доказательства (3.1.21) обратимся к выражению
из которого с учетом некоррелированности векторов
чаем соотношение (3.1.21) утверждения 3.1.1, и это завершает доказа-
тельство утверждения 3.1.1.
Рекуррентный алгоритм оценивания, описываемый уравнениями
(3.1.19)–(3.1.21), очень часто называется фильтром Калмана (и это
название будет использовано ниже).
Структурная схема фильтра Калмана. Одной из наиболее важ-
ных особенностей фильтра Калмана является его рекуррентная форма,
что делает этот фильтр исключительно полезным для оптимального
оценивания при обработке измерительной информации с использованием компьютеров.
Структурная схема фильтра Калмана, соответствующая уравнению
(3.1.19), приведена на рис. 3.1, где БЗ – блок задержки на один шаг.
(1)( )Vk I KHV VHK KHVH V K
. Следовательно,
1| (1,) (1,)()kk kk kkwk ,
ˆ
1Vk
определит выражение
. (3.1.29)
(1) (1)( 1)(1|)Vk I Kk HK Vk k
,
KHVH V
,()kwk
.
полу-
66
Фильтр Калмана работает по принципу «коррекции-предсказания»,
x
ˆ
(1)xk
т. е. текущая оценка
определяемого выражением
мой порождающим процессом (1|)zk k
помощью матрицы
(1)Kk
состоит из двух слагаемых: предсказания,
(1,)()kkxk
ˆ
, и коррекции, определяе-
(см.(3.1.24)), взвешенной с
. Эту матрицу называют весовой матрицей
фильтра или матрицей передачи фильтра Калмана.
Рис. 3.1. Структурная схема фильтра Калмана
Как видно из структурной схемы, для вычисления новой оценки
ˆ
(1)xk
необходимы:
вектор измерений
текущая оценка
(1)zk
;
ˆ
()
k
и ковариационная матрица
()Vk
ошибки
оценивания;
(1,)kk
матрицы модели системы
вычисление матрицы
(1)Kk
,
и
(1,)kk
(1)Vk
по схеме
(1)Hk
,
;
() (1|) (1) (1);
Vk Vk k Kk Vk
3.1.21 3.1.20 3.1.22
вычисления предиктор-слагаемого и корректор-слагаемого но-
(3.1.30)
вой оценки.
Сделаем
ной матрицы
любой весовой матрицы
жение (3.1.22) только в том случае, когда
важное замечание. Выражение (3.1.29) для ковариацион-
(1)Vk
ошибки оценивания
(1)Kk
. Однако оно преобразуется в выра-
1k
справедливо для
(1)Kk
является весовой
матрицей фильтра Калмана.
67
Вычислительные аспекты фильтра Калмана. Определение мат-
x
x
x
(1)Kk
рицы
nn , где n – число проекций вектора измерений
чаях встречаются модели с 10…14 проекциями вектора состояния
()xk
, но всего лишь с 2…4 проекциями вектора измерений. Поэтому
обращение матрицы малой размерности не вызывает существенных
вычислительных затрат при реализации фильтра Калмана.
Важной чертой фильтра является то, что матрица
сит от векторов измерений
(1)wk , поэтому может быть вычислена априори, и ее элементы со-
хранены на каком-нибудь носителе информации используемого компьютера до начала обработки измерительной информации. Затем, в
процессе обработки вектора измерений
(1)Kk
дить обработку очередного измерения в реальном масштабе времени,
т. е. «в темпе» поступления измерений. Очевидно, что матрицы, входящие в модель (3.1.1), (3.1.2), также могут храниться на каком-нибудь
носителе информации.
Пример 3.1.1. Дана скалярная система вида
(см. (3.1.20)) требует обращения матрицы размером
()zk
. Во многих слу-
(1)Kk
(1), , ( 1)zzk и возмущений (1), ,w
(1)zk
считывается матрица
ˆ
, и вычисляется новая оценка
(1) () ()
kxkwk
(1) (1) 1zk xk k
(1)xk
. Это позволит прово-
,
,
0, 1, ...,k
не зави-
в которой: а)
ность с нулевым средним и постоянной дисперсией
0, 1,k – гауссовская белая последовательность с нулевым сред-
ним и дисперсией
левым средним и дисперсией
Уравнение фильтра Калмана для такой системы имеет вид
(), 0,1,2,wk k – гауссовская белая последователь-
V
; б)
V
ˆˆ ˆ
kxkKkzkxk ;
(1) () (1)(1) ()
(0)
; в)
– гауссовская случайная величина с ну-
(0)
V
.
x
(1|) ()Vk k Vk V
2
68
;
1,k
2
()
Vk V
(1)
Kk
при начальных условиях:
2
()
Vk V V
ˆ
(0) (0) 0
xm
;
x
Vk
(1)
VV
,
(0) (0)
Зададим конкретное значение параметров: 1
25V ,
(1) 15(1)
Vk Kk
15V
. Тогда предыдущие уравнения принимают вид
(1|) ()25Vk k Vk
15 ( ) 25
Значение параметров алгоритма оценивания
k
0 … … 100.00
1 125.00 0.893 13.393
2 38.393 0.719 10.786
3 35.786 0.705 10.570
4 35.570 0.703 10.549
5 35.549 0.703 10.549
6 35.549 0.703 10.549
7 35.549 0.703 10.549
;
Vk
40
V
(1)Vk k
примера 3.1.1
(1)
Kk
,
(1)Kk
2
VVkV
2
Vk
Vk
0, 1,k
()
()
Vk V V
x
() 25
() 40
(1)Vk
,
; (0) 100V
.
(0) 100
V
x
;
.
В таблице представлены значения этих скалярных величин на первых семи шагах. Из последних строк таблицы видно наличие предель-
ных точек для этих величин. Предельное значение
(1) ()Vk Vk V
подставляя значение
Имеем квадратное уравнение
2
25 375 0VV
в последнее выражение.
. Так как
V
можно получить,
0V
, то
допустимым является только один корень этого квадратного уравне-
10.55V
ния, равный
передачи фильтра Калмана определяется как
. Тогда установившиеся значение коэффициента
V
25
K
V
0.703
40
,
.
69
Поэтому фильтр Калмана в установившемся состоянии (для 5k )
x
описывается уравнением
ˆˆ ˆ ˆ
( 1) ( ) 0.703 ( 1) ( ) 0.297 ( ) 0.703 ( 1)xk xk zk xk xk zk .
Это уравнение очень хорошо иллюстрирует вклад в «новую» оценку
ˆ
(1)xk
«старой» оценки
ˆ
()
k
и нового измерения
(1)zk
.
3.1.3. Оптимальный алгоритм оценивания
вектора состояния (алгоритм № 2)
С помощью различных векторно-матричных преобразований уравнения фильтра Калмана можно представить в некоторых эквивалентных видах. Несмотря на то что соотношения (3.1.19)–(3.1.22) достаточно удобны для реализации, приведем в качестве иллюстрации
предыдущего тезиса новую эквивалентную формулировку фильтра с
новым выражением для весовой матрицы
буются два матричных тождества, которые имеют также и самостоятельный интерес.
Матричное тождество 1
()( )PH HPH R P H R H H R
11 11 1
Матричное тождество 2
11 1
()()PHRHPPHHPHRHP
(1)Kk
. Для этого потре-
. (3.1.31)
. (3.1.32)
Доказательства этих тождеств приведены в [12, с. 216–217].
Используя (3.1.31), уравнение (3.1.20) можно переписать в виде
1
(1) (1|) (1) (1)(1)Kk V k k H k V k Hk
(1) (1).Hk V k
1
(3.1.33)
11
С другой стороны, из соотношений (3.1.20), (3.1.22), (3.1.32) имеем
(1) (1|) (1))(1)(1|)Vk Vk k Kk Hk Vk k
(1|) (1|) (1)Vk k Vk kH k
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]