Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Рекуррентное оценивание вектора состояния динамических систем. Учебное пособие
.pdf
(1)
x
x
k
t
1( 1) 0
k
(1,)
kk d
bk k
k
t
(1,) .
t
01
1
2
b
t
2
b
t
b
Следовательно, динамика системы в пространстве состояний описывается как
22
1
(1) () () ()
kxkkuk
t
01
tt
22
tt
b
.
b
Модель измерений имеет вид
10
(1) (1) (1).
zk xk k
01
Заметим, что последовательности
(1)k
– случайный вектор с двумя проекциями. ♦
()k
()uk
,
являются скалярными, а
Пример 1.3.3. Выполним моделирование дискретной динамической
системы, рассмотренной в примере 1.3.2. Напомним, что модель дискретной системы описывалась следующим матричным соотношением:
22
1
(1) () () ()
kxkkuk
t
01
tt
22
tt
b
. (1.3.15)
b
Модель измерения имеет вид
10
(1) (1) (1)
zk xk k
Случайный вектор шума измерения
01
(1)k
имеет две проекции.
. (1.3.16)
На рис. 1.11 приведен документ MathCAD, в котором выполнено
моделирование уравнений (1.3.15), (1.3.16). Заметим: а) управление
41
() 20 ()uk x k
()uk
задавалось равным
вектора состояния
()xk равна 1, проекции 2()xk равна 16; ошибки измерения распреде-
1
()xk
; б) дисперсия ошибки измерения проекции
, где
1
()xk
– первая проекция
1
лены по нормальному закону.
Рис. 1.11. Фрагмент документа MathCAD моделиро-
вания системы
На рис. 1.12, а показаны графики проекций вектора состояния
(сплошной – проекция
ций вектора измерения (сплошной – проекция
()xk ); на рис. 1.12, б показаны графики проек-
1
()zk). ♦
1
а б
Рис. 1.12. Графики процессов в пространстве состояний
42
1.3.4. Статистические характеристики
x
x
x
x
x
дискретной линейной системы
Рассмотрим некоторые характеристики дискретной системы
(1.3.10), (1.3.11), позволяющие достаточно полно описать поведение
системы при статистических воздействиях на систему. Предположим
следующее.
Управляющая последовательность
1.
ванной, т. е. ее ковариационная матрица равна нулевой матрице.
2.
Возмущающая последовательность
белым шумом с математическим ожиданием
()
Vk
матрицей
3.
Вектор начального состояния
распределению
4.
Векторы
.
w
Nm V
((0),(0))
xx
(0)
и
()wk
,
.
0,1,k
Тогда из свойства 1.1.2 следует, что вектор состояний
1, 2 , ,k
подчиняется нормальному распределению и для его полно-
го вероятностного описания достаточно вычислить вектор математиче-
()
mk
ского ожидания
и корреляционную матрицу
x
непосредственно следует:
()uk
является детерминиро-
()wk
является гауссовским
()
mk
и корреляционной
w
(0)
подчиняется нормальному
, не коррелированы.
()Vk
. Из (1.1.34)
()xk
,
(1) (1,)()
mk k kmk
xx
kkmk kkuk
(1,)() (1,)()
. (1.3.17)
w
Введем «центрированные» случайные векторы
() () ()
kxkmk
() () ()
wk wk m k
;
x
(1.3.18)
w
и получим следующее выражение:
(1) (1,)() (1,)()
kkkxkkkk
43
. (1.3.19)
Вычислим ковариационную матрицу
x
x
M
x
(1) (1)(1)
Vk xk x k
x
Из этого определения непосредственно следует:
T
.
( 1) ( 1, ) ( ) ( 1, ) ( 1, ) ( ) ( 1, )
Vk kkVk kk kkVk kk
xx w
(1,) ()(1,) (1,) () (1,).
kkVk kk kkVk kk
wwx
Вычислим взаимную корреляционную матрицу ()
T
() ()
xk w k
. Приведем следующие выражения:
(1,)() (1,)()jjxj jjwj
(2,)(1)jjwj
. Последнее выражение запишем в виде
jjjjjxj
(2) (2, 1)(1,)()
j
ij
TT
TT
Vk
w
(1)xj
(2) (2, 1)(1)xj j j xj
;
2
(2,)(,1)(1)
jiiiwi
1
,
из которого получим общее соотношение
() (, )() (,)(, 1) ( 1)
xk k jxj ki ii wi
k
ij
, (1.3.20)
1
где
1
k
(,) ( 1, )
ki j j
ji
. (1.3.21)
k
i
1
Тогда
VkMxwk kiiiMwiwk
xw
(,0) (0)() (,)(, 1) ( 1)))
С учетом сделанных предположений 1, 2 имеем
44
() 0
Vk
xw
.
,
0,k
1, 2, , и аналогично можно показать, что
x
p
x
Тогда получаем
( 1) ( 1, ) ( ) ( 1, )
Vk k kVk k k
T
x
() 0
Vk
wx
,
0, 1, 2,k
Таким образом, соотношения (1.3.17), (1.3.22) полностью определяют распределение вектора состояния
момент
ных предположениях 1–4, является марковским гауссовским процессом.
последовательности используют плотность распределения вероятности
перехода
делением
для задания этой плотности достаточно вычислить первые два момента
распределения. При заданном векторе состояния
(1.3.1) следует
k . Кроме этого последовательность векторов состояний
1, 2, ...k , порождаемых разностным уравнением (1.3.1) при сделан-
Как следует из раздела 1.2, для описания марковской случайной
xx, которая также описывается нормальным распре-
1kk
(следствие гауссовости последовательности
(1|) (1) (1|) (1) (1|)
Vk k M xk mk k xk mk k
xxx
(1,)()(1,)
kkVk kk
(1|) (1,)()
mk k k kxk
(1,)() (1,)()
kkmk kkuk
. (1.3.23)
w
(1,)() (1,)kkQk kk . (1.3.24)
T
w
(1)xk
T
. (1.3.22)
по распределению в
(),xk
()xk
). Поэтому
()xk
из уравнения
T
1.3.5. Наблюдаемость дискретных динамических систем
Фундаментальным понятием, тесно связанным с основными идеями оценивания, является понятие наблюдаемости – при каких условиях
()xk
можно восстановить поведение вектора состояния
системы на конечном интервале времени, зная поведение вектора из-
()zk
мерений
на том же интервале.
45
динамической
Рассмотрим стационарную динамическую систему
x
x
(1) () () ()
kxkkuk
; (1.3.25)
(1) (1) (1)zk Hxk k
. (1.3.26)
Дискретная линейная система (1.3.25), (1.3.26) называется наблюдаемой, если вектор
наблюдений
(0)
можно определить из множества векторов
(1), (2), ..., ( )zz zN при конечном N. Если это справед-
ливо для любого начального времени, то система называется полностью наблюдаемой.
Утверждение 1.3.1. Дискретная система (1.3.25), (1.3.26) является
полностью наблюдаемой тогда и только тогда, когда составная матрица размером
имеет ранг
mmn
m
.
TTT T 1T
HH H
m
()
(1.3.27)
Вертикальная черта обозначает присоединение матрицы к предыдущей.
Доказательство теоремы приведено в [12].
Пример 1.3.4. Определим, имеет ли свойство наблюдаемости ди-
намической системы примера 1.3.2, для которой
1
t
01
H
;
10
T
01
.
Определим произведение
10
TT
H
Тогда матрица (1.3.27) имеет размер 24
10
01
10
46
.
1
t
и принимает вид
.
1
t
Очевидно, что ранг этой системы равен 2, и система является пол-
A
X
x
ностью наблюдаемой.
Возникает вопрос: будет ли система наблюдаемой, если вторая
проекция вектора состояния не измеряется, т. е. матрица измерений
имеет вид
10
H
00
.
В этом случае матрица (1.3.27) определяется элементами
10
00
10
0
t
.
Ранг такой матрицы остается равным 2 (проверьте это!), и дискретная
система остается полностью наблюдаемой. ♦
Вопросы и задания для самопроверки
1. Построить матрицу B размером 33, нуль-пространство кото-
рой имело размерность 2 (см. пример 1.1.1),
2. Доказать свойство 1.1.1 (см. (1.1.29)).
20 11
3. Даны матрицы
ABC
53 02
,,032
03 1
пользуя функции пакета MathCAD, вычислите: определители матриц
21 1
C ; ранги матриц
,AB
,,ABAB
.
,( )
BAB
1
; числа обусловленности матриц
Рекомендация. При выполнении этих вычислений используйте [9].
4. Пусть
ским ожиданием
является n-мерным случайным вектором с математиче-
m и ковариационной матрицей xV . Получить выра-
жения для математического ожидания и ковариационной матрицы
случайного вектора
b неслучайный вектор размерности
а
YAXb
, где А – матрица размером mn
m
.
. Ис-
,
47
5. Даны два случайных вектора
x
тождества
mm ;
Yx
Y
VV
Yx
?
Y
,XY
. В каком случае имеют место
6. Определить математическое ожидание и ковариационную функцию
для скалярного случайного процесса
()yk
, описанного в примере 1.2.1.
7. Дана непрерывная линейная система:
xx
zt x t
;
12
xut
21
()= ().
1
();
Если эту систему дискретизовать с шагом дискретизации
ли полученная дискретная система полностью наблюдаемой?
Рекомендации. При выполнении этого задания см. примеры 1.3.1,
1.3.2, 1.3.4.
, будет
t
48
x
x
x
Тема 2. ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО ОЦЕНИВАНИЯ
И ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОЦЕНИВАНИЯ
Формулируется задача оценивания вектора состояния дискретной
динамической системы и приводится ряд теорем, используемых в
дальнейшем при построении рекуррентных алгоритмов оценивания.
2.1. ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО ОЦЕНИВАНИЯ
И ДОПУСТИМЫЕ ФУНКЦИИ ПОТЕРЬ
Рассмотрим дискретную линейную систему, моделью которой яв-
ляется система разностных уравнений (1.3.1). Часто возникает задача
()xk
определить (т. е. оценить) вектор состояния
данного момента
наблюдению, а дана последовательность измерений
модель которых задана матричным соотношением (1.3.2). Так как по-
строение оценки основано только на измерениях
обозначим оценку для
ˆ
(|)
через
тор-функцию
kj
k , если этот вектор недоступен непосредственному
()xk
, полученную на основе этих измерений,
и алгоритм ее построения определим как m-мерную век-
для некоторого за-
(1), , ( )zzj ,
(1), (2), , ( )zz zj
, то
ˆ
kj zi i j , (2.1.1)
определенную на пространстве векторов измерений. Если: а)
приходим к задаче предсказания; б)
в)
kj
– к задаче сглаживания. В дальнейшем будет рассматриваться
только случай
тора состояния, а саму оценку обозначать как
Тогда задача оценивания сводится к задаче определения вектор-
функции []
kj
в правой части (2.1.1) некоторым рациональным спосо-
k
(|) (), 1,2, ,
, который будем называть задачей оценивания век-
k
kj
49
kj
, то
– к задаче фильтрации;
ˆˆ
() ( | )
kxkk (2.1.1).
бом. Очевидно, что такой выбор можно осуществить на основе мини-
x
мизации некоторого функционала от ошибки оценивания, которая в
общем случае является векторной величиной и которую определим
выражением
где
()xk
«точный» вектор состояния системы (1.3.1). Этот вектор не
, (2.1.2)
ˆ
() () ()kxkxk
известен, но его требуется оценить.
В «идеальном» случае
ˆ
()
оценка
k
является точной. Если
() 0k
, где 0 – нулевой вектор, и тогда
() 0k
, то необходимо устано-
вить «штраф» за неправильную оценку, введя для этого функцию потерь
()Lk со следующими свойствами.
Функция
1.
[]L
принимает неотрицательные скалярные значения и
определена на m-мерном векторном пространстве.
[0] 0L
2.
3.
.
() ()Lk L k
, если () ()kk
, где
означает лю-
бую норму вектора.
() ()Lk L k.
4.
Функция потерь, обладающая всеми этими четырьмя свойствами,
называется допустимой функцией потерь.
Приведем типичные примеры допустимых функций потерь.
m
где
Lk k
1.
()ik
i
– i-я проекция вектора
1
ii
()
,
k
, 0
, но не все
i
тожде-
i
ственны нулю.
m
Lk k
2.
i
2
()
, частным случаем этой функции потерь яв-
ii
1
ляется
2
Lk k
, (2.1.3)
2
()
i
1/ 2
– евклидова норма вектора.
50
m
kk
где
i
1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]