Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Рекуррентное оценивание вектора состояния динамических систем. Учебное пособие
.pdf
H
x
(1)(1|) (1) (1)(1|)Hk V k kH k V Hk V k k
11
(1|) (1) (1)(1).Vk kHk Vk Hk
Подстановка этого соотношения в (3.1.33) позволяет получить но-
1
1
вые выражения:
(1) (1) (1) (1)Kk V k H k V k
, (3.1.34)
(1) (1|) (1|) (1)Vk Vk k Vk kH k
(1)(1|) (1)
Hk V k kH k V
(1)(1|).
kVk k
T
1
1
(3.1.35)
Эти выражения определяют новую последовательность вычислений
матриц фильтра Калмана:
() (1|) (1) (1),
Vk Vk k Vk Kk
(3.1.36)
(3.1.21) (3.1.35) (3.1.34)
Преимущество алгоритма (3.1.36) в том, что, не вычисляя
можно определять ковариационные матрицы (1|)Vk k
(1)Kk
,
(1)Vk
,
ошибок предсказания и оценивания соответственно. Это оказывается
полезным при анализе алгоритма оценивания. Определенным недостатком можно считать необходимость обращения двух матриц размером
nn вместо одной матрицы размером nn
в алгоритме (3.1.22).
Алгоритм (3.1.35) имеет ту же структурную схему (рис. 3.1), что и алгоритм (3.1.22).
3.2. РЕКУРРЕНТНЫЕ АЛГОРИТМЫ ОЦЕНИВАНИЯ
ПРИ НЕНУЛЕВЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ОЖИДАНИЯХ ПРОЦЕССОВ СИСТЕМЫ
Рассмотрим следующую модель дискретной системы:
( 1) ( 1, ) ( ) ( 1, ) ( ) ( 1, ) ( )
kkkxkkkwkkkuk
(1) (1)(1) 1zk H k xk k
71
, (3.2.2)
, (3.2.1)
которая отличается от модели (3.1.1), (3.1.2) наличием вектора управ-
x
x
M
()uk
ления
1.
ванной, т. е. математическое ожидание
в первом уравнении. Предположим следующее.
Последовательность
(), 0,1,uk k является детерминиро-
а ковариационная матрица равна нулевой матрице.
2.
Процесс
следовательностью, для которой
3. Вектор начального состояния
m-вектор с числовыми характеристиками
Остальные ранее высказанные предположения о процессах
j ,()xj
прос: как отразятся на структуре оптимального алгоритма оценива-
ния ненулевые математические ожидания и наличие управляющей по-
следовательности
Очевидно, что это обусловит ненулевые математические ожидания
процессов
изменить алгоритмы вычисления оценок предсказания
ˆ
, приведенные в разделе 3.1.1, сохраняются. Возникает во-
1zk k
. Действительно, обратимся к (3.1.16) и перепишем его в виде
(), 0,1,wk k является p-мерной гауссовской по-
() () () () () .
Mwj mj wk mk Vk
(0) (0) (0) (0) (0).
Mx m x m V
(1), 0,1,...xk k
() () ()
mk Muk uk, (3.2.3)
u
() ();
Mwk m k
wwwjk
(0) (0);
Mx m
xxx
(), 0,1,uk k ?
и
w
(1), 0,1,zk k , и это должно
T
(0)
есть гауссовский случайный
x
(3.2.4)
(3.2.5)
ˆ
(1|)
kk
()wk
и
,
ˆˆ
(1|) (1,)()(1),,()xk k M k k xk z zk
(1|)()(1),,() (1|)()(1),,()
kkwkz zkMkkukz zk
72
.
Независимость
x
x
x
висимость
записать второе и третье слагаемое в виде
()wk
от последовательности
()uk
от последовательности
(1,)()(1),,()Mk kwkz zk
(1,) () (1,)()
kkMwk kkmk ,
(1,)()(1),,()Mkkukz zk
(), 1, ,zj j k и неза-
(), 1, ,zj j k позволяют
w
( 1, ) () ( 1, )()kkMuk kkuk .
Окончательно имеем
ˆˆ
(1|) (1,)() (1,)()
kk kkxk kkmk
(1,)(), 0,1,kkukk
Из (3.1.15) получаем
ˆ
(1|) (1)(1|) (1)zk k H k xk k H k
Обобщая изложенное выше, рекуррентный алгоритм оптимального
оценивания при ненулевых математических ожиданиях можно представить следующими шагами.
Вычисление матрицы
1.
жений (3.1.19)–(3.1.22).
Вычисление оптимального предсказания
2.
(1,)(),(0) (0), 0,1,2
Вычисление оптимальной оценки
3.
kkxk kkmk kkuk (3.27)
(1,)() (1,)() (1,)().
ˆˆ
(1|) (1,)() (1,)()
kk kkxk kkmk
. (3.2.6)
ˆ
kkukx m k (3.2.8)
ˆˆ
(1) (1|) (1)xk xk k K k
w
ˆ
w
(1)Kk
размером mm на основе выра-
w
zk Hk xk k x m k (3.2.9)
(1) (1)(1|),(0) (0), 0,1,
ˆ
73
x
Новая структурная схема представлена на рис. 3.2 (БП – блок пред-
x
x
x
x
сказания). Сравните две структурные схемы (рис. 3.1 и 3.2) и найдите в
них отличия.
Рис. 3.2. Структурная схема фильтра Калмана с ненулевыми
математическими ожиданиями
Пример 3.2.1. Запрограммировать в виде подпрограммы-функции в
пакете MathCAD рекуррентный алгоритм оценивания вектора состояния
динамической системы по данным, генерируемым в примере 1.3.3.
()uk
Управляющая последовательность
отлична от нуля.
На рис. 3.3 приведен текст подпрограммы-функции (П-Ф). Принятые имена переменных совпадают с соответствующими обозначениями в записи алгоритма. Поясним несколько переменных: переменная
V
соответствует матрице
p
1k
ствует матрице (1)Vk
V – матрица (0)
V размером mm. На этом же рисунке показано
(1|)Vk k
; переменная
; переменная xm – вектор
V
соответ-
1k
(0)
; переменная
задание необходимых матриц и обращение к П-Ф.
На рис. 3.4, а показаны значения первой проекции точного вектора
состояния (сплошная линия) и оценки (точечная кривая). На рис. 3.4, б
приведены значения второй проекции и соответствующей оценки. Некоторые расхождения вначале обусловлены нулевыми значениями век-
(0)
тора
.
74
Рис. 3.3. Подпрограмма-функция построения оценки вектора состояния
а б
Рис. 3.4. Оценки вектора состояния
75
Так как матрица измерений является единичной матрицей, то оце-
x
x
x
нивание вектора состояния, по сути, является задачей фильтрации зашумленных измерений – вектора
()zk
. На рис. 3.5, а показан график
первой проекции зашумленного (дисперсия шума равна 1) вектора
()zk
(точечная кривая) и первая проекция вектора оценки ˆ()xk
(сплошная кривая). На рис. 3.5, б аналогичные построения выполнены
для вторых проекций (дисперсия шума равна 16). Видно хорошее качество фильтрации шума с использованием рекуррентного алгоритма
оценивания.
а б
Рис. 3.5. Иллюстрация фильтрующих свойств алгоритма оценивания
Введем две характеристики:
относительный уровень шума измерения на каждом шаге
()
k
относительный уровень ошибки оценивания на каждом шаге
На рис. 3.6,
а точечной кривой показаны значения
ной кривой – значения ()
k
()
k
()
x
k
порядка меньше по сравнению с
; (3.2.10)
zk k
() ()
ˆ
kxk
() ()
xk
()
. Хорошо видно, что ()
()k
76
. (3.2.11)
k
, что говорит о высокой точно-
()k
, сплош-
на два-три
сти рекуррентного алгоритма оценивания. На рис. 3.6, б показаны зна-
Vk
чения следа матрицы ()
. Видно, что величина следа матрицы после
30 шагов выходит на некоторое предельное значение.
а б
Рис. 3.6. Статистические характеристики алгоритма оценивания
Возникает вопрос, как изменится точность оценивания, если будет
измеряться только первая проекция вектора
()xk
, т. е. матрица H
имеет вид
10
H
. (3.2.12)
00
Так как вторая проекция не измеряется, то следует ожидать увеличения ошибки оценивания. На рис. 3.7,
а приведены значения (3.2.10)
(точечная кривая) и (3.2.11) (сплошная кривая) для матрицы (3.2.12).
Сравнивая эти значения с рис. 3.6,
а, видим такую же точность оцени-
вания вектора состояния. Чем объяснить такую странность? Объяснение достаточно простое: вторая проекция вектора состояния входит
слагаемым в первую проекцию вектора состояния
переходная матри-
1
ца системы имеет вид
t
01
. Так как первая проекция измеря-
77
ется, то она содержит информацию и о второй проекции вектора
()xk
которая затем используется для построения оценки для второй проек-
()xk
ции вектора
.
а б
Рис. 3.7. Статистические характеристики алгоритма оценивания
для матрицы (3.2.12)
3.3. РЕКУРРЕНТНЫЕ АЛГОРИТМЫ ОЦЕНИВАНИЯ
В НЕЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМАХ
,
Предыдущие разделы этой темы были посвящены оптимальному
оцениванию вектора состояний динамических систем, поведение которых в широких диапазонах изменения воздействующих на систему
процессов описывается линейными стохастическими моделями (3.1.1),
(3.1.2) или (3.2.1), (3.2.2). К сожалению, такие модели в ряде случаев
являются только аппроксимацией (и достаточно «грубой») реальных
систем. Поэтому точность оценок, построенных по линейным моделям,
оказывается неприемлемо низкой.
В настоящем разделе рассматривается построение рекуррентных
алгоритмов оценивания на основе линеаризованных моделей нелинейных систем. Эти модели построены с «сохранением» только первых
двух членов ряда Тейлора разложения функций, описывающих динамику нелинейных систем. При этом точка, в окрестности которой
строится разложение, определялась оценкой вектора состояния на
78
предыдущем шаге. Такую линеаризацию можно назвать «локальной» в
x
x
отличие от описанной выше «глобальной» линеаризации, дающей одну
и ту же линеаризованную модель для любой точки пространства состояния.
3.3.1. Локально линеаризованная модель
нелинейной системы
Предположим, что
m-мерный вектор состояния
линейных функций
(1) ,(),(),()
xk kxk k uk
11
В дальнейшем такую систему будем записывать как векторное уравнение
( 1) , (), (), ()
kkxkkuk
mm
(1)xk
определяется системой не-
. (3.3.1)
n-мерный вектор измерений
линейных функций
или векторным уравнением
вектор возмущений
вектор шума измерений
закону
( 1) , (), (), ()
kkxkwkuk ; (3.3.2)
( 1) 1, ( 1), ( 1)
zk hk xk k
11
( 1) 1, ( 1), ( 1)
zk hk xk k
nn
(1) 1,(1), 1zk h k xk k
; (3.3.4)
(1)zk
определяется системой не-
wk
распределен по нормальному закону
()~ 0, ()wk N V k
1k
1~ 0, ( 1)kNVk
79
; (3.3.5)
w
распределен по нормальному
; (3.3.6)
(3.3.3)
вектор состояния
x
f
x
x
L
(0)
распределен по нормальному закону
(0) ~ (0), (0)
xNmV. (3.3.7)
xx
Заметим, что в силу нелинейности векторных функций
даже при выполнении допущений (3.3.5)–(3.3.7) векторы
(1)zk
уже не подчиняются нормальному распределению.
Определим следующие матрицы (часто называемые матрицами
Якоби):
()
(1)xk
()h
,
,
(1,) (),0,()
kk xkuk
Li
(1,) (),0,()
kk xkuk
Li
(1,) (),0,()
kk fxk uk
Li
(1) (1),0
khxk
Li
(1) (),0
Gk hxk
Li
Напомним, что запись
ij
,
x
j
ij
,
w
j
ij
,
u
j
ij
,
x
j
ij
,
i
,
1... , 1...imjm
,
1... , 1...imjp
,
,
1... , 1...injm
,
1... , 1...injn
j
(),0, ()
kuk означает i-е уравнение систе-
1... , 1...imjr
; (3.3.8)
; (3.3.9)
; (3.3.10)
; (3.3.11)
. (3.3.12)
мы (3.3.2), а в скобках указаны «координаты» точки, в которой вычисляется частная производная. Нижний символ L в обозначениях матриц
указывает, что матрицы получены процедурой линеаризации.
Используя эти матрицы, можно записать локальную линеаризован-
ную модель нелинейной системы (3.3.2), (3.3.4) в виде
(1) (1,)()
kkkxk
L
(1,)() (1,)()
kkwk kkuk
, (3.3.13)
(1) (1)(1) (1)
zk H k xk k
LL
L
, (3.3.14)
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]