Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Рекуррентное оценивание вектора состояния динамических систем. Учебное пособие
.pdf
где
L
x
L
(1) (1) 1
kGkk
LL
. (3.3.15)
В этих уравнениях аргументы матриц подчеркивают, что их элементы зависят от координат точки, в которых вычисляются частные
производные (3.3.8)–(3.3.12).
3.3.2. Рекуррентный алгоритм оценивания
вектора состояния нелинейной системы
Особенность этого алгоритма заключается в совместном использо-
вании нелинейной модели (3.3.1), (3.3.2) и линеаризованной модели
(3.3.13), (3.3.14).
а линеаризованная модель
яния.
Алгоритм можно представить следующими соотношениями:
Нелинейная модель используется для предсказания,
для коррекции оценки вектора состо-
ˆˆ
xk xk k K k
(1) (1|) (1)
ˆˆ
(1|) ,(),0,()
kk kxkuk ,
(1) (1|) (1) (1)(1|) (1)
Kk Vk kH k Hk Vk kH k
LLLL
Vk K k H k Vk k
(1) 1,(1|),0zk hk xk k
Gk Vk G k
(1|) (1,)()(1,)
Vk k k kVk k k
(1) (1)(1)(1|),
TT
(1)(1)(1);
L
kVV
LL
(1,)()(1,)
kkVk kk
LL
0, 1, ; (0) (0).
Физический смысл матриц
ˆ
0, 1, 2,k
T
L
T
wL
(1)Vk
, ( 1| )Vk k
; (3.3.16)
(0) (0)
xm
;
x
; (3.3.17)
1
(3.3.18)
T
; (3.3.19)
(3.3.20)
x
тот же, что и в
утверждении 3.1.1 (см. раздел 3.1). В зарубежной литературе приве-
81
денный алгоритм оценивания часто называют расширенным фильтром
f
f
f
x
x
Калмана (extended Kalman filter).
Заметим, что в некоторых случаях локальная линеаризация используется для получения уравнений системы в пространстве состояний.
Это иллюстрируется следующим примером.
Пример 3.3.1. Предположим, что:
t
а) функция
б) в момент ,1,2,
занные со значениями
k
где
– скалярная последовательность с
в) постоянный шаг дискретизации
аппроксимации значения
мала по сравнению с шумом регистрации
алгоритм оптимального оценивания значений
этой функции по набору измерений
является дважды дифференцируемой функцией;
tk , регистрируются значения
k
t
уравнением измерения
k
()
ttk
kk
()
t
рядом
1
k
ttt
kkkt t
1
, (3.3.21)
[]0Mk
tt
таков, что ошибка
1tk k
;
t
2
k
, (3.3.22)
2
k
. Требуется построить
t
и производной
k
(), ( ), , ( )
tft ft .
12
()
22
()Mk
k
t
k
, свя-
Введем вектор состояния
;
t
k
()
kt
. (3.3.23)
k
t
k
Тогда, учитывая (3.3.21), (3.3.22), приходим к линеаризованной модели
1
kxk
(1)01 ()
00 1
82
2
t
t
2
t
; (3.3.24)
(1) ( )[100](1) 1
x
x
x
x
zk f t xk k
1
k
. (3.3.25)
Скалярный шум измерения
2
ную дисперсию
.
(1)k
имеет нулевое среднее и постоян-
Нетрудно видеть, что полученная модель является частным случаем модели (3.1.1), (3.1.2), и рекуррентный алгоритм оптимального оценивания вектора состояния
(3.1.19)–(3.1.22). Оценка для
k
тора
()xk
, а оценка производной
. Запишем необходимые уравнения для построения оценки векто-
()xk
определяется соотношениями
t
будет равна первой проекции век-
k
t
– второй проекции вектора
k
ра состояния системы (3.3.24), (3.3.25) (см. утверждение 3.1.1).
с начальным условием
с начальным условием
ˆˆ ˆ
(1) () (1)(1) (), 0,1,...xk xk Kk zk H xk k (3.3.26)
ˆ
(0).x
( 1) ( 1| ) ( 1| )Kk Vk k HVk kH
(1) (1)(1|),Vk I Kk Vk k
(1|) ()Vk k Vk
(0) (0)
VV
.
x
1
2
; (3.3.27)
; (3.3.28)
0, 1, 2,k
(3.3.29)
На рис. 3.8 приведен фрагмент документа MathCAD, в котором
осуществляется решение прямой задачи: моделирование вектора
состояния и вычисление зашумленного скалярного вектора измере-
ния. Вектор «старта»
17.25
ции:
2.5
0.5
.
(0)
(переменная
) имеет ненулевые проек-
0
На рис. 3.9 показан фрагмент, в котором запрограммированы два
модуля, реализующие алгоритм (3.3.26)–(3.3.29). Модуль K_KF формирует вектор фильтра Калмана (объясните, почему вектор, а не матрица), второй модуль
вычисляет оценку для вектора состояния.
est
83
Индекс p у имен переменных означает предсказание той или иной
x
x
характеристики. Здесь же показано формирование первых двух моментов вектора ˆ(0)
в точке «старта» рекуррентного алгоритма.
Рис. 3.8. Моделирование вектора состояния и вектора измерения
На рис. 3.10, а приведены точные значения
(сплошная кривая) и зашумленные
(1)zk
(точечная кривая). Виден
(1) (1)zk Hxk
значительный уровень шума измерения. На рис. 3.10, б приведены:
кривая 1 – точные значения первой проекции вектора состояния
()xk
;
кривая 2 – значения первой проекции вектора оценки
кривая 3 – точные значения второй проекции (величина первой
()xk
производной) вектора состояния
кривая 4 – значения второй проекции (величина первой произ-
ˆ
()
k
водной) оценки
.
;
ˆ
()xk ;
Видно, что на начальном участке оценки отличаются от точных
значений вектора состояния. Это объясняется нулевыми значениями
оценки в точке старта. После завершения «переходного» процесса
( 50)k
вектор ˆ()xk достаточно хорошо оценивает соответствующие
проекции вектора состояния (включая первую производную функции).
84
Рис. 3.9. Модули построения оценки для вектора состояния
а б
Рис. 3.10. Графики построенных оценок
85
На рис. 3.11, а приведены значения относительных ошибок: а) вы-
x
x
числения значений функции
1
вычисления первой производной
()
11
k
xk
k
()
2
()
(сплошная кривая);
1
ˆ
kxk
() ()
22
xk
()
2
(точечная кри-
ˆ
kxk
() ()
вая), где нижний индекс указывает на номер проекции. Видно, что
первая производная вычисляется с большей относительной ошибкой
(отчасти это объясняется делением на малые значения
ности точки
тора фильтра Калмана
75k ). На рис. 3.10, б показаны значения проекция век-
()Kk
: кривая 1 – первая проекция; кривая 2 –
()xk в окрест-
2
вторая проекция; кривая 3 – третья проекция. Видно, что при увеличении номера шага
k значения проекций существенно уменьшаются.
а б
Рис. 3.11. Графики характеристик рекуррентного алгоритма
Вывод: приведенный алгоритм позволяет с хорошей точностью в
реальном масштабе времени оценивать не только значения функции,
но и ее первой производной. Это представляет интерес в экстремальных системах регулирования, где важно с хорошей точностью вычислять первую производную экстремальной характеристики. Такой подход к вычислению производной экстремальной характеристики был
изложен в
работе [8].
86
Вопросы и задачи для самопроверки
x
x
x
x
1. Скалярный дискретный процесс
вое среднее и дисперсию
аддитивной ошибкой
2
. Необходимо: а) составить модель процесса и модель измере-
сию
2
для всех k . Этот процесс измеряется с
()k
, которая имеет нулевое среднее и диспер-
( ), 0, 1, 2, ...xk k
имеет нуле-
ний; б) построить фильтр Калмана для этих моделей.
2. Дана скалярная система
21
k
(1)(1) (),
xk xk
(1) (1) (1),
zk xk k
в которой начальное значение
2
(0, )
делению
N , а погрешность измерения
(0)
подчиняется нормальному распре-
(), 1,2,3,...kk
–
белая гауссовская последовательность с нулевым средним и дисперси-
. Необходимо:
ей
а) записать уравнения, определяющие фильтр Калмана для этой системы
(вида (3.1.19)–(3.1.22));
б) построить структурную схему этого фильтра;
2
в) для
= 100,
Калмана и вычислить величины
= 20 вывести расчетные соотношения фильтра
(1|),(1),(1)Vk k Kk Vk
для
первых десяти шагов, сведя результаты в таблицу (для вычислений
используйте математический пакет MathCAD);
() ( 1)VVkVk
г) вычислить предельное значение
дисперсии
оценивания и значение коэффициента передачи фильтра Калмана для
этого предельного значения.
Рекомендации: при решении этой задачи используйте пример 3.1.1.
87
x
Тема 4. РЕКУРРЕНТНЫЕ АЛГОРИТМЫ
ОЦЕНИВАНИЯ СТАЦИОНАРНОГО ВЕКТОРА
СОСТОЯНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
На практике весьма часто встречаются системы, модель которых
содержит постоянный вектор состояния (как правило, составленный
из идентифицируемых параметров). Такие системы в дальнейшем будем называть системами со стационарным вектором состояния.
В настоящем разделе рассматриваются две модели стационарных систем и строятся соответствующие им рекуррентные алгоритмы оптимального оценивания (рекомендуемая литература [4, 5, 6, 7, 10, 12]).
4.1. РЕКУРРЕНТНЫЕ АЛГОРИТМЫ ОЦЕНИВАНИЯ
СТАЦИОНАРНОГО ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ
В настоящем разделе вводятся две модели стационарных систем:
модель с векторными измерениями;
модель со скалярными измерениями.
Для каждой модели из общих уравнений фильтра Калмана (см. раздел 3.1) строятся соответствующие рекуррентные алгоритмы оптимального оценивания вектора состояния.
4.1.1. Алгоритмы оценивания
для модели векторных измерений
Рассмотрим систему, описываемую следующей моделью:
(1) ()
kxkx
(1) (1) 1zk H k x k
88
; (4.1.1)
,
0, 1, 2,k
, (4.1.2)
x
x
x
j
x
x
x
где
вектор состояния размерности m,
измерений размерности
1k
– n-мерный вектор шума измерения. Предположим следующее.
1. Вектор состояния
n
(1)Hk
;
– матрица размером nm,
есть гауссовский случайный m-мерный
(1)zk
– n-мерный вектор
вектор с математическим ожиданием и корреляционной матрицей:
Вектор
mMx
не зависит от
2. Шум измерения
[]
x
;
V M xm xm
xxx
()()
1 , 0, 1, 2,kk .
1 , 0, 1, 2,kk представляет собой
. (4.1.3)
гауссовскую белую последовательность, для которой
где
jk
1, если ;
0, если .
3. Случайный вектор
10Mk ; 1 ( 1) ( 1)
Mj k Vk
jk
jk
не зависит от
(1)[0], 0,1,2,Mx k k
( 1), 0, 1, 2,kk
.
, (4.1.4)
k
, т. е.
Тогда с учетом сделанных предположений и уравнений (4.1.1), (4.1.2)
из утверждения 3.1.1 непосредственно получаем
Алгоритм 1 оптимального оценивания стационарного вектора со-
стояния по векторным измерениям, описываемый следующими урав-
нениями:
ˆˆ ˆ
kxkKkzkHkxk (4.1.5)
(1) () (1)(1) (1)()
0, 1, 2, , (0)
kxm
для
(1) () (1)Kk V kH k
(1)() (1) (1)Hk V kH k V k
89
1
; (4.1.6)
ˆ
;
x
x
x
H
x
где
1Kk
(1) (1)(1)()Vk I Kk Hk Vk
(4.1.7)
0, 1, 2, , (0)
kVV
для
матрица размером mn.
Заметим, что уравнения (4.1.5)–(4.1.7) соответствуют последовательности вычислений
() ( 1) ( 1).
Vk Kk Vk
(4.1.8)
(4.1.6) (4.1.7)
В разделе 3.1 была приведена другая последовательность вычислений (3.1.36), которой соответствует следующий алгоритм.
Алгоритм 2 оптимального оценивания стационарного вектора со-
стояния по векторным измерениям, описываемый следующими урав-
нениями:
,
ˆˆ ˆ
kxkKkzkHkxk (4.1.9)
(1) () (1)(1) (1)()
kxm
для
(1) () () (1)Vk Vk VkH k
(1)() (1) (1) (1)();
kVkHk Vk HkVk
(1) (1) (1) (1)Kk V k H k V k
(4.1.11)
для
0,1, 2, , 0
1
1
0, 1, 2, , (0)
kVV
ˆ
(4.1.10)
Вычисления этого алгоритма можно представить следующей последовательностью:
() ( 1) ( 1)
Vk Vk Kk
(4.1.12)
(4.1.10) (4.1.11)
90
;
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]