Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Рекуррентное оценивание вектора состояния динамических систем. Учебное пособие
.pdf
ошибку найденного решения
отношение
. Поэтому, чем
больше число обусловленности, тем больше ошибка решения при
неточно заданной правой части.
Пример 1.1.3. Рассмотрим систему уравнений
10 1
010 10
Очевидно, что решением этой системы является вектор
зим точную правую часть
1
55
f
2
1
5
10
вектором шума
.
1
. Иска-
1
0.01
0.01
(среднее значение проекций равно 0). По зашумленной правой части
10.01
ff
5
10 0.01
дробной части) найдем решение
носительной ошибке
1.01
0.01
ff
f
(значения округлены до двух цифр в
1.01
1000
0.014
. Получается, что при от-
(около 1.5 % – реальная
0.014
1
погрешность в технических измерениях) относительная ошибка
найденного решения составляет
1000
694
(найденное решение не
1.44
представляет практического интереса). Почему такое большое увеличение ошибки? Ответ дает неравенство (1.1.8), если учесть, что число
обусловленности матрицы равно
10 10
() 110 10
cond K
010 010
55
11
55
. ♦
1.1.2. Случайные векторные величины
F
X
F
X
и их числовые характеристики
Напомним, что непрерывной случайной величиной называется случайная величина, значения которой покрывают сплошным образом
целый интервал на числовой оси, например, температура, замеренная в
какой-либо точке пространства. Ее значения изменяются непрерывным
образом. В дальнейшем прописными (большими) буквами обозначается сама случайная величина, а строчными (маленькими) – значения,
принимаемые этой случайной величиной.
Непрерывные случайные величины исчерпывающим образом
сываются:
функцией распределения, определяемой выражением
() ( )
xPXx
, (1.1.9)
опи-
где
– обозначение случайной величины;
()PX x
– вероятность
случайного события, указанного в круглых скобках;
функцией плотности вероятности
()
pxdx
Из определения (1.1.10) следует, что, зная
() ()
dF x
()
x
xpzdz
. (1.1.10)
р(х), можно найти
. (1.1.11)
()Fx
:
Формулы (1.1.10), (1.1.11) часто используются при решении задач с
непрерывными случайными величинами. На рис. 1.2 графически показана взаимосвязь между этими функциональными характеристиками
непрерывной случайной величины.
Cвойства функции плотности вероятности. Приведем основные
свойства функции плотности распределения.
1. Плотность распределения
р(х) случайной величины
является
неотрицательной функцией
() 0
px , (1.1.12)
как производной от неубывающей функции.
12
p
X
X
X
X
Рис. 1.2. Графики плотности распределения
и функции распределения
2. Интеграл, т. е. площадь под графиком плотности вероятности,
равен единице:
() 1
xdx
. (1.1.13)
3. Вероятность попадания случайной величины
[),
тервал
или
Пример 1.1.4. На рис. 1.3 сплошной кривой обозначен график
плотности
событие А – значение случайной величины
[5,0]
[0, 2]
, т. е.
событие В – значение случайной величины
, т. е.
Вопрос: какое событие имеет большую вероятность?
вычисляется по формуле
[, ) ( ) () ()PX P X F F
, (1.1.14)
[,) ( ) ()PX P X pxdx
р(х) случайной величины
[5,0];Ax
[0, 2] .Bx
13
. Определим два события:
на заданный ин-
. (1.1.15)
попало в интервал
попало в интервал
M
M
Рис. 1.3. К вычислению вероятностей
событий А, В
Так как вероятность попадания случайной величины в заданный интервал равна площади соответствующей криволинейной фигуры (см.
свойство (1.1.15), то вероятность события
А определяется площадью
фигуры с правой «штриховкой», а вероятность события
площадью
ния этих площадей видно, что
S фигуры с левой «штриховкой» (см. рис. 1.3). Из сравне-
2
() ()PA PB
. ♦
В определяется
S
1
Математическое ожидание непрерывной случайной величины ха-
рактеризует ее «среднее» значение и определяется по формуле
() ()
Xxpxdx
. (1.1.16)
Если плотность распределения
[, ]
конечном интервале
[, ]
), то вместо бесконечных интервалов интегрирования использу-
(говорят, что функция р(х) финитна на
р(х) отличается от нуля только на
ют конечные:
() ()
Xxpxdx
. (1.1.17)
Приведем некоторые свойства математического ожидания, используемые в дальнейшем:
1)
М(const) = const;
14
2) М(СХ) = СМ(Х), если 0C;
D
D
X
X
X
X
x
Xx
F
Xx
X
3)
М(Х + Y) = М(Х) + М(Y), для любых двух случайных величин Х и Y;
4) пусть случайные величины
(Х) · М(Y).
= М
Х и Y независимы. Тогда М(Х·Y) =
Дисперсия непрерывной случайной величины характеризует сте-
пень разброса случайной величины от ее математического ожидания и
определяется по формуле
() ( ()) ()
XxMXpxdx
Если плотность распределения финитна на интервале
2
. (1.1.18)
[, ],
то по-
сле замены пределов интегрирования имеем
() ( ()) ()
XxMXpxdx
222
() () ( ) ()xpxdx M X MX MX
2
2
.
Свойства дисперсии непрерывной случайной величины:
1)
D(X) ≥ 0;
D(const) = 0;
2)
3)
D(СХ) = С2D(Х), если 0C
4) пусть случайные величины
(Х) + D(Y); D(Х – Y) = D(Х) + D(Y).
= D
Случайной векторной величиной
тором
,,
2
) называется вектор, состоящий из n проекций
X , каждая из которых является случайной величиной.
n
;
Х и Y – независимы. Тогда D(Х + Y) =
(или просто случайным век-
1
Функция и плотность распределения случайной векторной величины.
а
роятности того, что
ятностей
Заметим, что неравенство
венств для соответствующих проекций, т. е.
Пусть X– случайный n-мерный вектор (сокращенно – СВ),
– произвольный
n
-мерный вектор. Скалярная функция, равная ве, называется функцией распределения веро-
(или просто функцией распределения) и обозначается как
( , ..., ) ( ) ( ) ( , ..., )
xxFxPXxPXxXx
111
nnn
. (1.1.19)
здесь и дальше имеет смысл нера-
, ...,
xXx
11
nn
.
,
15
Функция
F
F
X
X
p
p
p
X
X
px x
( , ..., )
1
n
n
( , ..., )
xx
1
n
, ...,
xx
1
n
(1.1.20)
называется
плотностью распределения вероятностей (или просто
плотностью распределения), возможно ее сокращенное обозначение
()px
. По аналогии с одномерной случайной величиной имеет место
соотношение
x
x
n
1
( , ..., ) ( , ..., )
xx p dd
nnn
111
.
Очевидны следующие свойства ПР (сравните с (1.1.10), (1.1.13)):
,, 0
px x
1
Проинтегрировав ПР по какой-нибудь проекции
нальную плотность распределения
Пример 1.1.5. Дана случайная двумерная величина с ПР
;
n
, ..., 1
px x dx dx
11
nn
, не зависящую от
.
, получаем марги-
i
.
i
(, )
xx
12
Тогда маргинальные плотности определяются как
() (, )
xpxxdx
1122
X
1
;
() (, )
X
2
xpxxdx
2121
. ♦
Вероятность попадания СВ в некоторую замкнутую область
определяется как
( ) ( , ..., ) ( )
PX px x dx dx pxdx
11
nn
.
Вектор математического ожидания и ковариационная матри-
ца.
Математическим ожиданием
m СВ
является вектор, опреде-
ляемый как
mMX xpxdx
[] ()
X
. (1.1.21)
.
16
[]
M
X
x
p
X
X
X
X
X
X
Вектор
X
часто называют первым моментом СВ. Ковариацион-
ной матрицей (в литературе ее также называют корреляционной мат-
рицей) n-мерной СВ называют симметричную матрицу размером
nn
определяемую соотношением
,
V M Xm Xm
xxx
()()
()()()
mXm pxdx
XX
T
T
. (1.1.22)
Каждый элемент ковариационной матрицы определяется выражением
V x m x m p x x dx dx
iX jX ijij
ij
mxm p xxdxdx
ijXX
– маргинальная плотность распределения величин
. Недиагональный элемент
i
где
XX i j
ij
,
X
. Диагональный элемент iiV является дисперсией случайной
ij
величины
ij i X j X n n
(, )
xx
ным моментом (или проще – ковариацией) случайных величин
и он определяет меру взаимосвязи между
T
( , ..., )
11
T
(, ) ,
ij
V
называется ковариацион-
ij
и
i
. Если матрица XV
j
(1.1.23)
,
X
ij
имеет диагональную структуру, т. е.
00
v
11
00
Vdiagvv v
xnn
,,,
11 12
00
v
22
,
v
nn
то говорят, что проекции
,
i
, СВ X не коррелированны.
1,...,in
17
1.1.3. Система случайных векторов
p
x
X
X
X
X
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
и их числовые характеристики
Предположим, что заданы два случайных вектора X и Y размер-
n
ности
(, )
и m соответственно с совместной плотностью распределения
xy
. Тогда выражение
VMXmYm
XY X Y
()()
T
()()(,)
m y m p x y dxdy
XY
определяет взаимную ковариационную матрицу. Матрица
размер
nm и
то матрица
V равны нулю, то говорят, что векторы
Y
VV . Если
XY YX
V является симметричной. Если все элементы матрицы
Y
T
nm
T
и векторы
,XY
некоррелированны.
(1.1.24)
V имеет
Y
,XY
вещественны,
Условная плотность распределения. Понятие условной плотно-
сти распределения отражает то обстоятельство, что плотность распределения одной величины может зависеть от того, какое значение принимает другая случайная величина. Предположим, что даны две
случайные величины
ния вероятности
()
где
Y
y – маргинальная ПР случайной величины Y , т. е.
Y
() (,)
ypxydx
,XY
. Тогда условной плотностью распределе-
при условии
()
pxy
. Аналогично
()
pyx
Yy
называется выражение
(, )
xy
, (1.1.25)
()
y
Y
(, )
xy
. (1.1.26)
x
()
Эти два выражения называют формулой Байеса для плотности рас-
пределения. Заметим, что если плотность
()
y можно вычислить, используя выражения примера 1.1.5, а затем
Y
по формулам (1.1.25), (1.1.26) получить
18
(, )
xy
известна, то ()
(),()
xy pyx
.
x ,
X
Условные математическое ожидание и корреляция. Условное
X
M
X
p
X
p
X
X
p
X
x
X
математическое ожидание СВ
mxpxydxdx
Xy
при условии
()
1
Yy
определяется как
, (1.1.27)
n
а соответствующая условная ковариационная матрица равна
V x m x m p x y dx dx
Xy Xy Xy
. (1.1.28)
T
()
n
1
Свойство 1.1.1. Можно показать справедливость следующего ра-
венства:
MXYy MXm
YX X X
. (1.1.29)
Нижний индекс у оператора математического ожидания указывает, для
какой случайной величины определяется математическое ожидание.
Независимость и корреляция случайных векторов. Компоненты
n
случайного
-мерного вектора X называются статически независи-
мыми (или просто независимыми), если плотность распределения
( , ... )
xx допускает представления
1
n
nn
Если имеет место (1.1.30), то ковариационная матрица
диагональной. Для независимых случайных векторов
( , ..., ) ( ) ( )
xx px px
1
xy p x
() ()
;
mxpxydxdx
Xy
pxdx dx m
nXi i
(, )
px y
py
()
Y
()
1
i
11
ii
() ()
pxpy
XY
py
()
Y
()
1
nX
X
n
;
VV.
Xy
. (1.1.30)
V является
и Y имеем
19
Внимание! Справедливо утверждение: два независимых случайных
X
p
X
X
X
Z
Z
Z
Z
вектора не коррелированы. Обратное утверждение: два некоррелиро-
ванных вектора независимы –
в общем случае неверно (оно верно
только для векторов, подчиняющихся нормальному распределению).
Пример 1.1.6. Пусть функция ()
чины симметрична относительно
3
() 0MXY xpxdx
. Следовательно, величины
лированы, но в силу соотношения
x одномерной случайной вели-
0
M и пусть
X
YX
,XY
2
YX зависимы. ♦
2
. Тогда
не корре-
Линейное преобразования случайных векторов. Предположим,
n
что
– случайный
-мерный вектор с математическим ожиданием
m и корреляционной матрицей XV . Введем матрицу преобразования
A размером
mn и сформируем
m
-мерный вектор
YAX
. (1.1.31)
Возникает вопрос: чему равны первые два момента вектора Y ?
Можно показать справедливость следующих выражений (выведите их
самостоятельно):
Теперь допустим, что
mAm VAVA
YXYX
и Y – случайные векторы размерности
,
соответственно. Введем две матрицы: A (размером
ln ) и рассмотрим случайный l -мерный вектор
ром
AX BY
. (1.1.33)
Первые два момента этого вектора
T
. (1.1.32)
,mn
lm
) и B (разме-
определяются соотношения-
ми (докажите их):
V AV A AV B BV A BV B
mAmBm
TTTT
XXYYXY
. (1.1.34)
XY
. (1.1.35)
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]