Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Рекуррентное оценивание вектора состояния динамических систем. Учебное пособие
.pdf
22
()kk
имеет вид
для заданного
другой точке множества индексов
процесса
случайного процесса
ний
. Тогда плотность распределения для каждого значения k
pyk p yk
?k ♦
(, ) () exp
()Yk
k статистически не зависит от его значения в любой
приведена на рис. 1.9. Вопрос: почему амплитуда
()yk
Рис. 1.9. Реализация случайного процесса
1()
k
() 2
увеличивается по мере возрастания значе-
I . Реализация
2
yk
2
k
2()
; б) значение
()yk
случайного
()yk
Если случайный вектор
мальному распределению, то случайный процесс
вают
гауссовским. Случайный процесс
назвать
случайной гауссовской последовательностью.
()Xk
для каждого kIподчиняется нор-
(),XkkI
()Yk
примера 1.2.1 можно
назы-
1.2.2. Числовые характеристики случайного процесса
Для описания поведения случайного процесса при переходе от одного значения
ристики.
Вектор математического ожидания, определяемый выражением
1.
k к другому используют следующие числовые характе-
() ()
mk MXk . (1.2.2)
X
31
2. Матрицу ковариационных функций (или просто матричную ко-
X
p
X
p
p
вариационную функцию
(, ) () () ( ) ( )
Для двух случайных процессов
определить взаимную матричную ковариационную функцию
Если
() (, )
Vl Rll
XX
()Xk
,
Введенные характеристики являются своеобразными аналогами
математического ожидания и ковариационной матрицы случайного
вектора. Разница заключается в том, что у этих характеристик аргументами (или параметрами) являются индексы, принадлежащие множеству
Независимые и некоррелированные случайные процессы. По-
нятие независимости и корреляции переходит в теорию случайных
процессов из теории вероятностей так же, как и понятия математического ожидания и ковариационной функции. Обозначим через
(, , , )
xx x
12
чайного процесса в моменты
(),
kkI называют чисто случайным, если для любых моментов
времени
во представление
Rln M Xl ml Xn mn
XXX
(, ) () () ( ) ( )
RlnMXlmlYnmn
XY X Y
ln , то получаем: а) ковариационную матрицу процесса
; б) взаимную ковариационную матрицу процессов
()Yk
I , т. е. они являются функциями с дискретными аргументами.
() (, )
VlRll
XY XY
совместную плотность распределения значений слу-
m
1, 2, ,km
), определяемую как
T
(),
kkI
.
1, 2 , ,km
. Тогда случайный процесс
m
, где
(, , , ) ()
xx x px
12
произвольное целое число, справедли-
m
, (1.2.5)
mii
1
i
,
. (1.2.3)
(),Yk k I можно
T
. (1.2.4)
()Xk
()
где
ного процесса в момент
сто случайного процесса (часто называемого
свойство
x
– маргинальная плотность распределения значений случай-
ii
ki
. Очевидно, ковариационная функция чи-
белым шумом) имеет
(, ) 0
Rln
X
, если ln. Случайный процесс примера 1.2.1
32
является чисто случайным, так как его совместную плотность
py y
X
(, , )
1
Для
можно записать в виде
m
m
.
py y
(, , ) exp
1
m
i
1
i
2
1
2
()
y
i
2
i
2()
ln матричная ковариационная функция (1.2.3) определяет
меру пространственно-временной корреляции случайного процесса
()
t
в отличие от пространственной корреляции, описываемой выра-
жениями (1.2.3) при
Случайный процесс называется не коррелированным, если
ln
.
(,) ()() ()()[0]
Rln MXl ml M n mn
XXX
для любых
ра. Можно показать, что
ln , где
[0]
– нулевая матрица соответствующего разме-
чисто случайный процесс является некорре-
лированным. Однако в общем случае
обратное утверждение неверно.
T
Если
(, ) () () ( ) ( ) [0]
RlnMXlmlMYnmn
XY X Y
для всех
коррелированными
Стационарные и марковские случайные процессы. Часто ока-
,ln
, то эти два случайных процесса называют взаимно не
.
T
зывается удобно разделить случайные процессы на два класса по признаку, основанному на природе механизма, вызывающего случайный
процесс. Случайный процесс называется
стационарным, если вероят-
ностные законы, которые управляют механизмом, формирующим случайный процесс, не зависят от времени. Если же эти законы меняются
во время развития случайного процесса, то такой процесс называется
нестационарным. Очевидно, что стационарность должна отображаться
на числовых характеристиках случайного процесса. Действительно,
если
( ) const; ( , ) ( )
mk Rln Rln
XXX
то случайный процесс
роком смысле
. Случайный процесс
(),Xk k
называется стационарным в ши-
()Xk
называется марковским, если
, (1.2.6)
33
для любых m моментов времени условная плотность распределения
p
p
x
имеет следующее свойство:
Если считать момент
2, 3, , 1mm
ющий поведение процесса в момент
ко от значения процесса в момент
процесса) и не зависит от его поведения в прошлом. Для описания
марковского процесса используется
ностей перехода
ления для случайного марковского процесса можно определить как
Таким образом, совместная плотность распределения полностью определена, если определена плотность
перехода.
px x x px x
mm mm
– прошедшими, то вероятностный закон, описыва-
px x
px x px x
. (1.2.8)
,,
11 1
1m
. Тогда совместную плотность распреде-
1mm
,,
mmm
xx pxxpx
12 10 0
mm
. (1.2.7)
текущим временем, а моменты
m
(т. е. в будущем), зависит толь-
1m
(т. е. от текущего поведения
плотность распределения вероят-
01
0
()
x
()
и плотности вероятностей
1.3. МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ
Пространство состояний успешно используется для описания динамики как непрерывных, так и дискретных систем. При этом в качестве проекций вектора состояний можно взять как физические величины, так и абстрактные.
1.3.1. Непрерывные линейные системы
Динамика непрерывных линейных систем описывается системой
обыкновенных линейных дифференцированных уравнений первого по-
:
рядка
() () () () () () ()
t FtxtWtwtUtut
34
(1.3.1)
tt
x
F
для
-мерный вектор, называемый вектором состояния системы;
m
-мерный вектор первых производных проекций вектора состояния;
m
wt – p-мерный случайный вектор, называемый вектором возмуще-
()
ния; ( )
матрица размером
матрица размером
при начальных условиях
0
ut – p-мерный вектор, называемый вектором управления;
mm
mr
Вектор состояния
()Wt
;
.
()xt
(или часть его проекций) измеряется с по-
()
tx
00
. В этой системе:
– матрица размером
mp
;
()xt
()xt
()Ut
()Ft
–
–
–
–
мощью определенных датчиков и этот процесс измерения описывается
матричным соотношением
() () ()zt H t xt
, (1.3.2)
где
()zt
– n-мерный вектор, названный вектором измерения;
()t
–
n-мерный случайный вектор, названный вектором ошибки измерения
()Ht
(или шумом измерения);
– матрица размером nm, названная
матрицей измерения.
Если матрицы
(),(),(),()Ft Wt Ut Ht
имеют место следующие равенства
Ht H ), то динамическая система является стационарной, т. е. ее
()
не зависят от времени (т. е.
() ,
tF
() ,Wt W () ,Ut U
параметры не изменяются со временем.
Запишем в явном виде решение системы (1.3.1) с использованием
так называемой
()Qt
размером mm, удовлетворяющую следующему матричному
переходной матрицы состояния. Введем матрицу
дифференциальному уравнению
с начальным условием
() () ()Qt Ft Qt
()Qt I
0
(1.3.3)
, где I единичная матрица. Решение
этого уравнения имеет вид
t
() exp ( )
Qt Sp F d
t
0
.
Тогда введем матрицу
1
(, ) () ( )tQtQ
(1.3.4)
35
размером mm , называемую переходной матрицей состояния систе-
x
F
x
J
мы (1.3.1). Можно показать, что решение системы (1.3.1) можно записать в виде
t
() (, )( ) (, ) () () ()()
tttxt tWwUud
00
t
0
. (1.3.5)
Заметим, что первое слагаемое определяет поведение вектора состояния в зависимости от заданных начальных условий.
Для системы с постоянными коэффициентами переходная матрица
состояний принимает сравнительно простой вид. Введем понятие мат-
ричной экспоненты
n
где
означает
Ft
e и разложим ее в ряд:
nn
Ft
eIFt
n
-ю степень матрицы F. Можно показать, что
Ft Ft F
()
ee e I
0
Ft
!
n
Ft Ft
()
ee
;
,
1
,
где I – единичная матрица подходящего размера. Тогда
()
Ft
(, )
te
0t ):
0
. Тогда решение системы уравнений имеет вид (при
t
()
Ft F t
() ( ) () () ()()
text e W Uu d
0
0
1
()
Qe
. (1.3.6)
F
,
Пример 1.3.1. Исследуем упрощенную модель задачи управления
самолетом по углу рыскания в горизонтальном полете. Предположим,
что порывы ветра разворачивают самолет относительно требуемого
направления и требуется корректировать ошибки рыскания с помощью
соответствующих отклонений руля.
Графически эта модель изображена на рис. 1.10. Здесь – ошибка
рыскания;
– отклонение руля. Ось рыскания проходит через центр
тяжести (точка 3) и перпендикулярна плоскости рисунка. Относительно этой оси самолет имеет момент инерции
36
, восстанавливающий
момент пропорционален отклонению руля.
J
J
x
x
x
Тогда в силу второго закона Ньютона имеем
2
d
2
dt
k – коэффициент пропорциональности
где
1
() ()
kt t
1
,
b
между отклонением руля и восстанавливающим моментом
(0)k
1
()bt
;
– момент, вы-
зываемый порывами ветра.
Разделив уравнение на
bkJ ;
1
() ()ut t
и обозначая
() ()
ttJ
;
b
,
Рис. 1.10. Модель
системы
приходим к дифференциальному уравнению второго порядка
2
d
() ()
bu t t
.
Вводя переменные
x,
1
dt
2
d
x
2
, запишем уравнение системы в
dt
пространстве состояний:
()
dx t
1
12
dt
()
xt
;
2
bu t t
() ()
dt
.
()
dx t
2
В матричном виде имеем
01 0 0
() () () ().
txttut
00 1
b
(1.3.7)
Предположим, что ошибки по углу рыскания и скорости его изменения
можно измерить на борту самолета, и уравнение измерения можно записать в виде
10
() () ()
zt xt t
01
37
, (1.3.8)
где
x
x
уравнения с системами (1.3.1), (1.3.2), получаем
– вектор ошибок измерения. Сравнивая записанные
t
()
2
t
()
1
t
()
01
()
Ft
00
Wt
;
()
0
;
1
()Ut
0
b
;
()
Ht
10
01
. ♦ (1.3.9)
1.3.2. Дискретные линейные системы
Поведение дискретных линейных систем, в отличие от непрерывных систем, описывается системой не дифференциальных, а разностных уравнений первого порядка вида
( 1) ( 1, ) ( ) ( 1, ) ( ) ( 1, ) ( )
kkkxkkkwkkkuk
()xt
В этой системе
ния системы;
ния;
Матрицу
состояния; матрицу
возмущений; матрицу
цей управления. Очевидно, что зная: а) возмущающую последовательность
следовательность состояний
определенных датчиков, и этот процесс измерения описывается матричным соотношением
()ut
– r-мерный вектор, называемый вектором управления.
(1,)kk
(0), (1), ...ww , б) управляющую последовательность (0),u
(1), ...u , в) вектор начального состояния
Вектор состояния (или часть его проекций) измеряется с помощью
(1) (1)(1) 1, 0,1,2,zk Hk xk k k
– m-мерный вектор, называемый вектором состоя-
()wt
– p-мерный вектор, называемый вектором возмуще-
размером mm называют переходной матрицей
(1,)kk
(1,)kk
0, 1, 2, ...k
размером
размером mr
(1), ( 2) ,xx .
. (1.3.10)
mp
переходной матрицей
переходной матри-
(0)
, можно вычислить по-
,
, (1.3.11)
(1)zk
где
1k
(или шумом измерения);
ная матрицей измерения. Если матрицы
– n-мерный вектор, названный вектором измерения;
– n-мерный вектор, названный вектором ошибки измерения
(1)Hk
– матрица размером nm, назван-
38
(1,),kk
Wk k
(1,),
(1,) )kk
x
x
x
(1,),kk (1)Hk не зависят от моментов k (т. е.
(1,) ,
Wk k W (1,) , (1)kk Hk H
, то динамическая си-
стема является стационарной, т. е. ее параметры не изменяются.
1.3.3. Дискретизация линейных непрерывных систем
Рассмотрим общие приемы дискретизации непрерывной линейной
системы, описываемой системой уравнений (1.3.1). Для этого предположим, что:
а) векторы возмущения и управления являются
ными функциями времени
менты
,1,2,
tk ;
k
и они изменяют свои значения только в мо-
б) измерения производятся в те же моменты времени
,
Рассмотрим интервал времени
1, 2,
, и предположим, что
этом интервале обозначим ()
() (,)() ( ,)() ()
tttxt tWdwk
kkkk k
11 1
t
k
t
()
wk ,
1
(,)() ().
tUduk
k
k
tt
kk
t
известно, а значения
k
()uk
. Тогда из (1.3.5) следует, что
t
1
r
t
k
1
для некоторого
1
кусочно-постоян-
,1,2,
tk
k
.
0,k
()wt, ()ut
на
(1.3.12)
,
Обозначая
()(1)
xt xk
; () ()
1
k
t
1
k
t
k
t
1
k
t
k
txk
(,)() (1,)
tWdkk
k
1
(,)() (1,)
tUdkk
k
1
(,) (1,)
tt kk
k
;
kk
1
приходим к системе разностных уравнений (1.3.10).
39
;
; (1.3.13)
, (1.3.14)
В каждый момент
tt k
,0,1,2,,
1
k
уравнение (1.3.2) прини-
мает вид
() ()()
zt Ht xt t
1111
kkkk
,
которое можно переписать в виде (1.3.11). Заметим, что для выполнения описанной процедуры дискретизации необходимо иметь переход-
ную матрицу состояния
,t
с изменяющимся вторым аргументом.
Пример 1.3.2. Применим изложенную методику дискретизации для
получения дискретной модели из непрерывной модели примера 1.3.1.
Для простоты предположим, что шаг дискретных отсчетов равен
(1)
момент
n
F
то
1k соответствует моменту времени
01
F
[0]
для всех 2n (проверьте это!). Следовательно, переход-
00
k
. Так как
t
,
t
, и
ная матрица состояния
1
t
()
Ft
(, ) ( ) ( ) ,
tteIFt
01
поэтому
1
kk
(1,)
t
01
.
Остальные матрицы определяем по формулам:
(1)
k
t
1( 1) 0
k
(1,)
kk d
(1)
k
t
k
t
k
t
(1)
k
t
011
1
2
t
d
1
40
t
.
2
t
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]