Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Рекуррентное оценивание вектора состояния динамических систем. Учебное пособие
.pdf
H
x
x
x
x
x
x
x
x
p
() () ()
kV HkV xk
Hk V zk Vm
(4.3.4)
11
*
k
()
() ()
11
*
()
k
ˆ
x
Б
x
и доставляет минимум функционалу
() ()
zk Hkx xm
. (4.3.5)
22
11
VV
k
x
Из сравнения (4.2.5) и (4.3.4) получаем рекуррентный алгоритм по-
строения байесовской оценки
()
Pkh
ˆˆ ˆ
() ( 1) ( 1)
xk xk z hxk
ББ Б
() ( 1)
Pk Pk
(1) (1)
Pk h k Pk
(1)
hPk h
kkk
k
kk
2
k
kk
,
2
; (4.3.6)
1, 2, 3,k
(4.3.7)
с точкой «старта»
ˆ
(0)
Б
m
(0)
PV
. (4.3.8)
Заметим, что:
ˆ
()
оценка
с ковариационной матрицей вектора ошибки
байесовское решение
k
является несмещенной оценкой вектора состояния
Б
() ()Vk Pk
ˆ
k
()
является регуляризированным ре-
Б
;
шением, но для его построения требуется полная априорная информация о первых двух моментах вектора состояния и шума измерения.
4.3.2. Рекуррентный алгоритм оценивания
методом максимума апостериорной вероятности
В качестве оценки метода максимума апостериорной вероятности
ˆ
()
k
принимается вектор
ной вероятности
MAB
|()
xz k
Байеса
, доставляющий максимум апостериор-
, которую можно вычислить по формуле
101
() ()
p
p
x
p
x
x
p
x
p
x
x
x
x
x
где
C некоторая положительная константа, вычисляемая из условия
(| ()) 1
xz k dx
x z k Cpz k xpx
|() (()|)()
. Плотность распределения
pxp z k x
, (4.3.9)
pz k
()
()px
называется апри-
орным распределением вектора
распределения вектора измерений
. Заметим, что байесовская оценка
ожиданием вектора
ˆ
() | ()
kxpxzkdx
Б
унимодальной функцией, симметричной относительно своего математического ожидания, то оценки
стеме нелинейных уравнений
плотности распределений, входящих в (4.3.9). Предположим, что:
лению
средним и корреляционной матрицей (4.3.3).
распределением вида
Из (4.3.9) следует, что вектор
Для получения конкретной оценки
искомый вектор состояния подчиняется нормальному распреде-
(,)
Nm V
вектор
Тогда апостериорное распределение (4.3.9) является нормальным
ln ( ) |
pz k x
xx
;
x
()k
не зависит от x и является гауссовским с нулевым
по распределению
. Отсюда видно, что если
jj
ˆ
ln ( )
px
|() constpxz k
Б
;
()
ˆ
()|
zk x – условная плотность
*
()zk при фиксированном векторе
Б
k
и
MAB
0
()xk
является математическим
|()
xz k
|()
xz k
ˆ
k
()
MAB
k
()
,
ˆ
МАВ
совпадают.
должен удовлетворять си-
1, 2, ,jM
k
необходимо задать
. (4.3.10)
, т. е.
является
11
exp ( ) ( )
zk Hkx xm
22
22
11
VV
k
()
102
x
. (4.3.11)
x
ˆ
x
x
x
H
x
x
x
()
Очевидно, что вектор
MAB
k
, доставляющий максимум этому рас-
пределению, является точкой минимума функционала (4.3.5) и, следовательно, решением СЛАУ (4.3.4).
ˆ
()
Вывод: рекуррентный алгоритм вычисления оценки
MAB
k
при
сделанных выше предположениях описывается уравнениями (4.3.6),
(4.3.7) с точкой «старта» (4.3.8).
4.3.3. Рекуррентный алгоритм оценивания
методом наименьших квадратов
В качестве оценки метода наименьших квадратов принимается век-
ˆ
()
тор
и являющийся решением СЛАУ вида
Отличие функционала (4.3.12) от функционала (4.3.5), минимизация
которого приводит к байесовской оценке, обусловлено отсутствием
априорной информации (задаваемой распределением
первыми двумя моментами) о векторе состояния
Вопрос: можно ли в этом случае построить рекуррентный алго-
ритм вычисления оценки МНК, являющийся решением СЛАУ (4.3.13)?
Ответ положительный, и для построения алгоритма преобразуем
функционал (4.3.5) к функционалу (4.3.12) путем замены матрицы
матрицей
ная константа. При достаточно больших значениях
больше) функционал (4.3.5) хорошо аппроксимирует функционал
(4.3.12). Учитывая, что моменты
старта (4.3.8) алгоритма (4.3.6), (4.3.7), рекуррентный алгоритм вычис-
ления оценки МНК можно представить следующими уравнениями:
k
МНК
, доставляющий минимум функционалу
() ()
zk Hkx
(4.3.12)
() () () () ()
k V Hkx k HkV zk
11
**
kk
() ()
ˆ
МНК
2
1
V
k
()
.
, где
единичная матрица; числовая неотрицатель-
m , xV определяют только точку
()
Pkh
ˆˆ ˆ
xkxk zhxk
() ( 1) ( 1)
MHK MHK MHK
k
kk
2
k
. (4.3.13)
()px
или его
(порядка 10
; (4.3.14)
V
10
и
103
x
x
x
x
x
x
x
p
с точкой «старта»
() ( 1)
Pk Pk
(1) (1)
Pk h hPk
hPk h
kk
(1)
kkk
(4.3.15)
2
ˆ
x
MHK
(0) 0
;
(0)
,
1
. (4.3.16)
К сожалению, такое задание точки «старта» обусловливает смеще-
ˆ
()
k
ние оценки
МНК
, особенно на первых шагах. Для устранения этого
недостатка предполагается следующий подход:
шаг 1. Сформировать вектор измерений
торого равна m-размерности вектора состояния
шаг 2. Вычислить вектор
, являющийся решением СЛАУ
0
()zm
, размерность ко-
;
(4.3.13) при ;km
VHmVHm
x
0
;
шаг 3. Вычислить матрицу
шаг 4. Задать точку старта соотношениями:
ˆ
(0)
MHK 0
() ()
(0)PV
1
m
()
. (4.3.17)
0
Заметим, что в этом случае
вектор
матрица
вектор
ляется несмещенной оценкой вектора состояния, а матрица
является несмещенной оценкой вектора состояния x;
0
V является корреляционной матрицей оценки
0
()xk
MHK
, соответствующий стартовой точке (4.3.17), яв-
()Pk
вариационной матрицей ошибки оценивания.
1
;
;
0
– ко-
4.3.4. Рекуррентный алгоритм оценивания
методом максимального правдоподобия
В качестве оценки максимального правдоподобия принимается
ˆ
()
вектор
вероятности
нелинейных уравнений
k
МП
, доставляющий максимум условному распределению
()|
zk x. Этот вектор должен удовлетворять системе
104
x
p
p
x
x
x
Для получения конкретной оценки
ность распределения
()k
не зависит от x и является гауссовским с нулевым средним и
j
ln ( ) 0
pz k x
()
zkx. Предположим, что вектор шума
,
ˆ
МП
1, 2, ,jm
()
k
необходимо задать плот-
. (4.3.18)
корреляционной матрицей (4.3.3). Тогда распределение
является нормальным:
ˆ
МП
2
1
V
()
k
()
k
описывается
() constexp () ()
Очевидно, что вектор
распределению, является точкой минимума функционала (4.3.12) и,
следовательно, решением системы (4.3.13).
Вывод: рекуррентный алгоритм вычислений
уравнениями (4.3.14), (4.3.15) с точкой старта (4.3.16) или (4.3.17).
В заключение заметим, что в этом разделе было показано:
все четыре метода оценивания имеют (при определенных допу-
щениях)
алгоритмов построения оценок;
методы отличаются заданием точки старта рекуррентного
алгоритма, которая определяется первыми двумя моментами априорного распределения вектора состояния.
pz k x z k H kx
единую вычислительную схему реализации рекуррентных
ˆ
()
k
МП
, доставляющий максимум этому
()
zkx
. (4.3.19)
Вопросы и задачи для самопроверки
1. Запишите уравнение системы со стационарным вектором состо-
яния и векторными измерениями. Используя уравнения (3.1.19)–
(3.1.22), выведите алгоритм 1 (4.1.5)–(4.1.7).
2. Запишите уравнение системы со стационарным вектором состо-
яния и скалярными измерениями. Используя последовательность вычислений (3.1.36), выведите алгоритм 2 (4.1.23)–(4.1.24).
105
3. Какими величинами определяется точка «старта» рекуррентного
x
x
x
x
x
алгоритма построения регуляризированного решения?
4. От каких величин рекуррентного алгоритма зависит точность
построенного регуляризированного решения?
5. Дана скалярная модель
zx , 1, 2, ...,k
kk
– вектор состояния размерности 1 (т. е.
где
с нормальным распределением
также подчиняется нормальному распределению
пакет MathCAD, выполнить следующие этапы:
вычислить значения
априорной информации: а)
2
пакете MathCAD;
относительные ошибки оценивания
фильтра Калмана
точность оценивания и объяснить причины отличия точности оценива-
ния для этих двух вариантов.
2
1,
100;
составить уравнения фильтра Калмана и запрограммировать их в
для двух вариантов исходных данных вычислить: оценки
()Kk
z ,
k
m
x
. Построить графики этих величин. Сравнить
,
Nm
1, 2, ..., 200k
10,
k
()
x
скалярная величина)
2
, а ошибка измерения
x
2
0,N
для двух вариантов
2
100,
x
ˆ
xk
()
x
2
. Используя
1;
б)
и коэффициенты
m
10,
x
ˆ
()xk ,
k
106
Тема 5. ТОЧНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
И ЗАДАЧИ СИНТЕЗА РЕКУРРЕНТНЫХ
АЛГОРИТМОВ ОЦЕНИВАНИЯ
При использовании рекуррентных алгоритмов оценивания параметров часто бывает необходимо определить ошибку построенных
оценок и проанализировать зависимость этой ошибки от точности исходных данных. Поэтому в данной теме определяются систематическая и случайная ошибки оценивания и вводится набор точностных
характеристик рекуррентного алгоритма оценивания. Формулируются
и решаются вариационные задачи синтеза, заключающиеся в
лении номера шага, на котором рекуррентный алгоритм обладает
определенными значениями точностных характеристик.
5.1. СИСТЕМАТИЧЕСКАЯ И СЛУЧАЙНАЯ ОШИБКИ
РЕКУРРЕНТНЫХ АЛГОРИТМОВ ОЦЕНИВАНИЯ
ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ
опреде-
Введем определения систематической и случайной ошибок оценивания нестационарного и стационарного векторов состояния дискретной системы и дадим выражения для их вычисления.
5.1.1. Систематическая и случайная ошибки
оценивания нестационарного вектора состояния
Ошибку оценивания вектора состояния
определим как
ˆ
1(1)(1).kxkxk
Очевидно, что
целесообразно представить в виде
1k
является случайным m-мерным вектором и его
107
(1)xk
(5.1.1)
на
(1)k
-м шаге
1111kMk kMk
x
(1) 1bk k
где
ошибкой, или смещением оценки
называемый случайной ошибкой оценивания, и очевидно, что
представив ее в виде
С учетом (3.2.8), (3.2.9), (1.3.3) имеем:
где
дание вектора
(1) (1)bk M k
10Mk .
Первоначально определим систематическую ошибку
bk M xk xk m k m k
(1) (1|) (1) (1) (1)(1|)
mk mk k Kk mk Hk mk k
ˆˆ ˆ
xx x
(1|) (1,)() (1,) () (1,)()
mk k k kmk k km k k kuk
;
ˆˆ
( 1) ( 1, ) ( ) ( 1, ) ( ) ( 1, ) ( )mk k kmk k k k k kuk
xxw
()mk
w
ˆ
()uk
задаваемая оценка вектора
(1) (1)(1) (1) (1)
– «точное», но возможно неизвестное математическое ожи-
ˆ
(1) (1)(1,)()mk Hk k kmk
zx
(1,)() (1,)()
kkmk k kuk ;
ˆ
()wk
mk
;
w
, (5.1.2)
– вектор, называемый систематической
ˆ
(1), 1xk k
w
x
()
– задаваемая оценка вектора ()
()uk
ˆ
x
случайный вектор,
z
ˆˆ
w
m
. Введем векторы
(1)bk
x
. (5.1.3)
;
,
mk;
w
,
которые можно трактовать как систематические ошибки задания век-
торов возмущения и управления. Подставляя эти соотношения в (5.1.3),
получаем уравнение
bk mk mk
www
(1) (1)( 1)bk I K k H K
( 1,)() ( 1,) () ( 1,) ()
kkbk kkbk kkbk ,
(5.1.5)
bk uk uk
;
u
wu
108
ˆ
() () ()
ˆ
() () ()
, (5.1.4)
которое можно рассматривать как рекуррентную формулу для вычис-
x
x
x
ления систематической ошибки оценивания через значения систематических ошибок на предыдущем шаге.
Существенное влияние на систематическую ошибку
(1)bk
ока-
зывает неточность задания «стартовой» точки фильтра Калмана, кото-
(0)
рая явно не входит в (5.1.5). Предположим, что вектор
гауссовским с математическим ожиданием (0)
(0)
V
матрицей
Введем вектор
, а в качестве «стартовой» точки принят вектор
x
bxm
b
ˆ
(0) (0) (0)
(1,) (1)(1)(1,)
kkIKk k kk ; (5.1.6)
и следующие матрицы:
x
m и корреляционной
является
ˆ
(0)
.
(1,) (1)(1)(1,)
kkIKkHk kk ; (5.1.7)
b
(1,) (1)(1)(1,)
kkIKkHk kk . (5.1.8)
b
Тогда приходим к уравнению
1
k
( 1) ( 1, 0) ( 0) ( 1, ) ( , 1) ( 1)
bk k b k i i i b i
где
(1, 1)
kk I
b
bbbw
1
k
(1,)(,1)(1),
ki iibi
(5.1.9)
bbu
i
1
(1,) (1)(1)(1,)
ki IKjHj j j
0, 1, ...k
;
b
1
i
k
ji
– единичная матрица. Уравнение (5.1.9) позволяет
вычислить систематическую ошибку оценивания по заданным векто-
(0), ( ), ( )
bbibi
рам
wu
. Частным случаем этого уравнения является со-
отношение
(1) (1,0)(0)
bk k b
следующее из (5.1.9) при условиях
определяющее смещение
b
() 0
bi
w
(1)xk
, вызванное смещением оценки в
, (5.1.10)
() 0
bi
,
u
,
0, 1, , ,ik
и
точке «старта». Заметим, что выражения (5.1.9), (5.1.10) получены для
,
109
любой матрицы
(1)Kk
, которая может и не удовлетворять уравне-
ниям (3.1.20), (4.1.6), (4.1.11) матрицы передачи фильтра Калмана.
В качестве числовой характеристики случайной ошибки оценива-
1k
ния
(3.1.35), можно записать рекуррентный алгоритм вычисления
возьмем ковариационную матрицу (1)Vk
1(1)Mk k
. Принимая во внимание соотношения (3.1.21) и
(1)Vk
в виде
(1|) (1,)()(1,)Vk k k kVk k k
( 1) ( 1| ) ( 1| ) ( 1)Vk Vk k Vk kH k
(1)(1|) (1) (1)Hk V k kH k V k
(1,)()(1,)
kkVk kk
. (5.1.12)
(1)(1|)Hk V k k
w
; (5.1.11)
1
Можно показать, что среднеквадратичная оценка оценивания, определяемая функционалом
2
(1) (1)(1)k M xk xk
ˆ
, (5.1.13)
допускает представление в виде
22
, (5.1.14)
где
(1) (1) 1kbk Mk
[]Sp
– след матрицы.
(1) (1)bk Sp V k
2
Таким образом, все полученные выражения позволяют достаточно
полно охарактеризовать точность рекуррентных алгоритмов оценивания нестационарного вектора состояния.
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]