Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет водонасыщенных грунтовых оснований. Монография
.pdf
r
k
r
cos
, (3.4)
k
r1
r
cos
r
0
r
0
00
cos1
0
cos
r
k
rr
k
r
000
1
0
r
0
11
2
2
22
2
rr
rr
rrr
0
cos1cos1cos
2
223
r
k
rr
k
rr
k
ds
r
rddS
2/
2/
0cos
rdF
r
2/
2/
2
0cos
dkF
24
2sin
22
2cos21
cos
2/
2/
2/
2/
2/
2/
2
dd
02
k
F
Fk2
где
– коэффициент пропорциональности, определяемый из условия
равновесия;
– сомножитель, отражающий убывание напряжения
при воз-
растании радиуса r;
– сомножитель, отражающий свойство симметрии напряжений
по отношению к оси z, так как косинус является четной функцией.
Согласно граничным условиям (3.3) касательные
напряжения
во всей полуплоскости равны нулю:
и нормальные
,
Покажем, что уравнения равновесия (3.1) удовлетворяются тожде-
ственно:
;
Уравнение (3.2), записанное в развернутой форме
также удовлетворяется тождественно
.
.
.
Для определения коэффициента пропорциональности k вырезается
из полуплоскости полукруг радиуса r и записывается условие равенства
суммы вертикальных составляющих элементарных сил
, действую-
щих вдоль полуокружности радиуса r, заданной внешней силой F (рис.3.3)
[37].
Сумма проекции всех сил на ось z, учитывая, что
:
.
Подставляя в полученную запись выражение (3.4) получаем:
;
;
;
.
81
Рис. 3.3
r
F
r
cos2
0
0
r
r
0r
r
r
s
r
l
r
l
r
s
r
r
F
l
r
s
rr
cos2
0
ls
0
r
В результате окончательное решение задачи имеет вид:
;
;
. (3.5)
Из выражения (3.5) следует, что по мере приближения к точке приложения сосредоточенной силы, напряжения
лучаем
.
возрастают и при
по-
Кроме того, так как два напряжения из трех равны нулю, то можно
сделать вывод, что рассмотренная задача является задачей одномерного
напряженного состояния, что позволяет применить одномерную кинематическую модель [53] при разложении радиального напряжения
на две
фазы. При разложении нормального напряжения на две фазы в качестве
нижней границы вводится полуокружность конечного радиуса R и на ней
задаются кинематические условия [37].
Перейдем к рассмотрению напряженно – деформированного состояния двухфазной (скелет+вода) упругой полуплоскости (рис.3.4), особенностью которой является то, что каждая фаза в дальнейшем будет обладать
вязкоупругими свойствами, описываемыми линейной наследственной теорией вязкоупругости [37].
Запишем правило знаков для напряжений в водонасыщенном теле
[53]: растягивающие напряжения в скелете
считаются положительными,
а в жидкой фазе – за положительные принимаются сжимающие напряжения
, поэтому сумме напряжений отвечает выражение
[37].
Разложим решение Фламана (3.5) на две фазы [53, 55, 56]:
,
. (3.6)
82
Это разложение решения заменяет уравнение равновесия в одномер-
0
s
r
E
h
l
r
l
l
r
l
r
s
r
r
u
s
r
s
r
r
u
l
r
l
r
s
r
s
s
r
E
1
0r
r
u
EE
s
r
ss
r
ss
r
r
u
h
E
h
E
h
E
r
s
r
l
s
r
l
l
r
ll
r
1
ной кинематической модели [53].
Добавляя к полученным выражениям (3.6) физическое и кинематическое уравнения кинематической модели, уравнения Коши и физическое урав-
нение для скелета грунта (закон Гука), учитывая, что
;
;
;
, получаем:
;
.
Рис. 3.4. Напряженно-деформированное состояние упругой двухфазной полуплоскости
На дневной поверхности
избыточное поровое давление отсут-
ствует, и жидкость перемещается из области повышенного давления в область пониженного, то есть снизу вверх.
После преобразований, связанных с нормальными напряжениями, получаем выражения:
,
,
83
Cdr
r
u
h
E
dr
r
r
s
r
l
r
l
r
00
Формула для напряжений в жидкой фазе:
Аu
h
E
s
r
l
l
r
А
r
F
Аu
h
E
r
u
E
s
r
ls
r
s
cos2
Аa
r
E
F
ua
r
u
s
s
r
s
r
22
cos2
hE
E
a
s
l
2
Аa
r
b
Аa
r
E
F
rQ
s
22
cos2
,
s
E
F
b
cos2
,2rQua
r
u
s
r
s
r
,, rru
s
r
Qa
rr
2
02
a
r
0
r
.
, (3.7)
здесь
– постоянная интегрирования, определяемая из граничного условия.
Подставляя полученные преобразования для нормальных напряжений
(3.6) в решения Фламана для двух фаз имеем выражения:
или
;
Временно введем обозначения:
,
Таким образом, получается линейное уравнение
. (3.8)
.
.
Решение уравнения (3.8) представляется в виде произведения двух
функций, применяя метод Бернулли:
.
В результате уравнение (3.8) примет вид:
В соответствии с методом Бернулли полагаем равным нулю сумму
второго и третьего слагаемых:
,
вследствие чего уравнение (3.8) упростится до вида
.
В свою очередь уравнение
. (3.9)
84
02
a
r
rae
2
r
ra
ra
r r r
ra
ra
ra
DeАd
r
e
b
DradeАdr
r
e
bDeQ
0
0 0
2
0
,
2
2
2
2
2
D
ra
r
ra
ras
r
eDАdr
r
e
ebru
2
2
2
0
,
ra
r
lra
ra
l
s
r
l
l
r
eD
h
E
dr
r
e
eb
h
E
Аu
h
E
r
2
2
2
0
,
cos2 F
r
s
r
;0
r
l
r
0
Rr
s
r
u
l
r
u
Rr
2
является уравнением с разделяющими переменными, решением которого
будет функция:
.
Тогда
где
– новая постоянная интегрирования.
В результате получается решение дифференциального уравнения (3.8):
,
на основании которого преобразуется формула (3.6) для напряжений в жидкой фазе:
.
Для определения постоянных интегрирования вводятся граничные
условия:
;
.
Первое (статическое) условие означает, что на поверхности полуцилиндра, веденного вместо сосредоточенной силы, избыточное давление в
поровой воде отсутствует. Частицы воды перемещаются на малую величину
вдоль радиуса к поверхности полуцилиндра, то есть в зону пониженного
давления [37].
Кинематическое условие ограничивает снизу активную зону
, то есть зону, в которой перемещения и напряжения отличны от
нуля. Границей сверху служит полуцилиндр и дневная поверхность
свободная от нагрузки [37].
Из статического граничного условия определяется первая постоянная
интегрирования:
,
85
00
22
cos2
dr
r
e
E
F
dr
r
e
bD
ra
r
s
ra
.
D
rr
00
s
s
sl
Ea
E
E
h
E
2
r
ra
ral
r
dr
r
e
ea
F
2
2
2
cos2
D
Аdr
r
e
e
E
F
u
r
ra
ra
s
s
r
2
2
cos2
r
ra
ra
s
dr
r
e
e
E
F
А
2
2
cos2
r
ra
ra
R
ra
ra
s
r
s
dr
r
e
edr
r
e
e
E
F
u
2
2
2
2
cos2
22
,
Rr
r
ra
ras
r
dr
r
e
ea
r
F
2
2
2
1cos2
С учетом
, известного свойства интеграла и тождественного пре-
образования:
;
получается окончательная формула для определения избыточного порового
давления:
. ( 3.10)
Полученная постоянная интегрирования
подставляется в выра-
жение для перемещений частиц скелета:
.
и на основании кинематического граничного условия определяется вторая
постоянная интегрирования:
.
Зная постоянные интегрирования, запишем решение дифференциального уравнения, описывающего разложение решения Фламана на две фазы:
, (3.11)
.
Частицы скелета грунта перемещаются на малую величину вдоль радиуса r.
На основании записанных выше уравнений Коши, физического уравнения для скелета грунта и выражения для перемещений частиц скелета
(3.11) определяются напряжения в твердой фазе:
, (3.12)
86
22
,
Rr
.
l
r
s
r
r
ra
ra
R
ra
ra
s
l
r
dr
r
e
edr
r
e
e
E
F
u
2
2
2
2
cos2
r
r
r
ra
r
ra
ra
rade
dr
r
e
2
2
22
R
ra
R
ra
ra
rade
dr
r
e
2
2
22
rad
ra
er
rad
ra
e
ra
rade
r
ra
r
ra
r
ra
2
2
2
22
2
1
ln
11
222
rad
ra
eR
rad
ra
e
ra
rade
r
ra
R
ra
R
ra
2
2
2
22
2
1
ln
11
222
r
R
E
F
u
r
lncos2
мR
r
R
ln
мR
Знак «минус» указывает, что напряжения в твердой фазе сжимающие.
В соответствии с уравнением совместности деформаций
можно определить перемещения частиц жидкой фазы:
.
Знак «минус» означает, что частицы поровой воды перемещаются на
малую величину в сторону уменьшения радиуса, то есть к поверхности полуцилиндра (
).
Все полученные формулы содержат несобственные интегралы, которые аналитически не берутся. Из интегралов можно выделить логарифмическую функцию, в результате чего [37]:
1. новые формулы можно сопоставить с аналогичными формулами
из решения Фламана для однофазного тела;
2. подынтегральная функция при
обращается в ноль, что об-
легчает численное взятие интеграла;
3. запись интеграла в рядах позволит применить полученные резуль-
таты для приближенного определения параметров кинематической модели.
Преобразования подынтегральных выражений в правой части формулы (3.11):
;
Более подробно замена точного значения интеграла приближенным
была рассмотрена в работе [55].
Полученное решение (3.11) с упругим решением Фламана [6]:
где
– радиус достаточно большой окружности, в точках которой ради-
альные перемещения обращаются в ноль.
Вводится знакопостоянное выражение
,
, в котором
;
;
.
не только
большой радиус, но и дополнительный параметр, определяемый численно.
87
Тогда, окончательная формула для радиальных перемещений частиц
rad
ra
е
r
R
е
E
F
u
rа
rа
s
s
r
2
2
1
ln
cos2
2
2
!
...
!44!33!22
1
2
4
2
3
2
2
2
22
2
2
nn
rararara
rarad
ra
e
n
ra
!44
...ln
cos2
4
2
2
2
ra
ra
r
R
е
E
F
u
rа
s
s
r
ss
r
s
s
r
s
r
E
r
u
1
1
s
r
s
s
s
s
r
s
E
r
u
r
u
1
1
s
r
s
ss
s
r
s
r
E
r
u
r
u
r
u
12
00
s
u
s
r
u
s
r
s
r
uu
s
u
0
s
r
твердой фазы примет вид:
.
Для приближенного вычисления интеграла заменим экспоненту отрезком ряда Маклорена:
В дальнейшем можно использовать только первые четыре слагаемых,
так их достаточно для вычисления.
Используя выполненные преобразования, получим формулу для перемещений частиц твердой фазы, в которой интеграл записан в рядах [37]:
. (3.13)
Известные из теории упругости уравнения Коши в развернутой форме
имеют вид:
;
; (3.14)
,
которые применимы к скелету грунта и справедливы для граничных условий:
1. точки, расположенные на оси оz (рис.3.4), могут перемещаться
только вертикально:
; (3.15)
2. перемещение
должно быть симметрично относительно оси оz:
. (3.16)
На основании формулы для радиальных перемещений частиц твердой
фазы (3.13), уравнений Коши (3.14), граничных условий (3.15) и (3.16) по-
лучим формулу для перемещений частиц скелета
в направлении ортого-
нальном радиусу от действия погонной нагрузки F, учитывая, что
[37]:
88
.
!44
...
!22
ln
111
1sin2
4
2
2
2
2
2
2
rara
ra
r
R
e
ra
E
F
u
ra
s
s
(3.17)
2
s
u
,
!44
...
!22
ln
111
sin2
,
2
4
2
2
2
2
2
2
rara
ra
r
R
e
ra
Е
F
ru
ra
s
s
zх,
r
z
cos
r
x
sin
22
zxr
По формуле (3.17) для частного случая
во времени вертикальных перемещений частиц скелета грунта
определяется изменение
, принад-
лежащих дневной поверхности:
(3.18)
Зная распределение напряжений в полярной системе координат, переходим к напряжениям в декартовой системе координат по стандартным формулам теории упругости [37].
Установим связь между полярными и декартовыми системами координат (рис.3.5). В декартовых координатах положение точки К на плоскости определяется координатами
, а в полярных координатах – величи-
ной радиуса r и углом . Из рис.3.5 следуют соотношения [37]:
;
;
.
Рис. 3.5. Положение точки в декартовой системе координат
Напряженно-деформированное состояние вязкоупругой двухфазной
полуплоскости в декартовой системе координат показано на рис.3.6 [37].
89
По нормальным напряжениям переход полностью повторяет однофаз-
2
cos
s
r
s
z
2
sin
s
r
s
x
2
cos
l
r
l
z
2
sin
l
r
l
x
sincos
l
r
s
r
s
zx
r
ra
ral
z
dr
r
er
ea
r
zF
1
ln
2
2
2
2
3
3
(3.19)
ную систему теории упругости, только в обозначениях появляются индексы
«s» и «l» в зависимости от фазы [37]:
;
;
;
.
Рис. 3.6. Схема напряженного состояния двухфазной
упругой полуплоскости в декартовой системе координат
Особенность имеется только для касательных напряжений. В жидкой
фазе касательные напряжения полагаются равными нулю, поэтому определяются только касательные напряжения в твердой фазе [37].
Формула для определения касательного напряжения в твердой фазе
совпадает с соответствующей формулой для однофазного тела [37]:
. (3.20)
Используя зависимости (3.19), (3.20) записываются выражения для
определения напряжений в декартовой системе координат для водонасыщенного тела:
;
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]