Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет водонасыщенных грунтовых оснований. Монография
.pdf
С точностью до обозначений записи
*
ss
*
11
ss
EE
*
ss
z
dt
E
hdt
E
z
ht
l
t
l
l
t
l
l
00
11
z
E
h
l
l
l
*
*
*
1
*
ll
*
11
ll
EE
*
ll
0
*
*
2
2
*
2
dz
dW
а
dz
Wd
ss
*
l
*
2
Е
s
Еh
a
;
;
совпадают с законом Гука.
Для жидкой фазы записывается аналог закона Больцмана [37]:
, (1.12)
который в изображениях имеет запись
.
Также как и для твердой фазы с точностью до обозначений
;
;
записи в упругой постановке и изображениях совпадают.
Остальные уравнения кинематической модели аналогично записываются в изображениях по Лапласу-Карсону с использованием принципа
Вольтерра и основное уравнение (1.9) в изображениях примет вид [37]:
,
.
1.3. Приближенные методы перехода от изображения к оригиналу
Применение операционного исчисления [93] к закону Больцмана, то
есть переход от оригинала к изображению, позволило заменить операцию
интегрирования более простой операцией произведения. Операционное исчисление настолько упростило запись закона Больцмана, что он с точностью
до обозначений совпал с законом Гука. В результате появилась возможность
использования упругого решения той или иной конкретной задачи для последующего решения ее в вязкоупругой постановке, которое разбивается на
два этапа. На первом этапе выполняется расчет как упругой системы (без
учета времени), затем путем переобозначений записывается решение в изображениях по Лапласу-Карсону с использованием принципа Вольтерра [22,
31, 60]. На втором этапе для фиксированных в пространстве точек осуществляется приближенный переход от изображения к оригиналу. Для этого вводится функция, оригинал которой требуется найти [37].
21
Рассматривается общая схема решения задач линейной наследствен-
Haza
s
o
s
ee
Ea
zW
22
2
o
i
zz
0z
Ha
s
o
s
e
Ea
W
2
1
2
s
Е
l
E
2
a
s
Е
l
E
o
t
t
t
секt
o
1
часt
o
1
thtf
o
0
th
.0,1
,0,0tt
th
0t
0t
ной теории вязкоупругости на примере определения перемещений частиц
скелета грунта по вязкоупругому варианту кинематической модели [53]:
,
где
– интенсивность рабочего давления.
Согласно общей схеме решения вязкоупругих задач необходимо заменить функцию координат ее значением в фиксированной точке
результате для точек дневной поверхности
получается [37]:
. В
. (1.13)
В теории вязкоупругости упругое решение можно развернуть во времени. В интегральных физических уравнениях (1.11), (1.12) механические
характеристики
модели универсальный параметр
и
становятся функциями времени. В кинематической
выражается через
и
, следовательно, этот параметр также можно принять как функцию времени. Отметим, что в теории вязкоупругости время вводится как безразмерная вели-
чина
(
,
и т.д.) [37].
Также, предполагается, что интенсивность рабочего давления явля-
ется функцией времени, т.е.
,
где
– функция Хевисайда:
Кроме того, в теории вязкоупругости моменту загружения соответ-
ствует время
, поэтому считается, что в начальный момент времени все
функции равны нулю и могут быть отличны от нуля только в следующий момент
. Вследствие этого, перемещения на поверхности тела в начальный
момент времени отсутствуют, а граница тела в процессе нагружения не меняется. Эти ограничения позволяют применить принцип Вольтерра [22, 31, 60]:
решение любой статической задачи теории вязкоупругости может быть получено из решения соответствующей задачи в упругой постановке путем замены
упругих констант изображениями соответствующих им функций времени, характеризующих вязкоупругие свойства материала [37].
22
Используя принцип Вольтерра, введем переобозначения
pfthtf
oo
*
*
*
00
pПp
EE
s
ss
*
*
11
рaa
*
22
Hpa
s
s
e
pa
pП
pfpW
*
2
10
*
2
*
*
*
pП
s
*
pa
*
2
Hpa
s
e
pa
pП
p
*
2
1
*
2
*
*
t
p
*
p
*
ppfpW
s **
*
0
dftpfp
t
0
**
dftW
t
s
00
s
W
p
*
tzz
ii
,
pzz
ii
,
**
ni ,...2,1
,
;
,
здесь p – параметр изображения,
и перепишем упругое решение (1.13) в решение соответствующей задачи в
вязкоупругой постановке, то есть изображение по Лапласу-Карсону:
. (1.14)
Так как изображения
и
считаются известными функ-
циями, то можно ввести функцию
,
которая также будет известной. Оригинал
функции
нельзя найти
точными методами операционного исчисления, поэтому разыскивается приближенное значение оригинала по методам, разработанными в теории вязкоупругости.
После введения функции
выражение (1.14) примет следующий
вид:
.
Применим теорему Бореля о свертке двух функций
и запишем решение вязкоупругой задачи в оригинале:
.
В случае численного решения
необходимо рассмотреть вместо од-
ной известной в изображениях функции
, которой соответствует в изображениях [37]
,
систему функций
.
23
Таким образом, вместо аналитического решения задачи теории упру-
t
t
21
tthtthtf
21
,tt
21
tthtthttftt
p
*
pfpp
***
21
*
tptp
eepf
1
t
2
t
21
t,t
21
tptp
ee
2
t
1
t
t
t
t
t
гости записывается решение этой задачи на выбранной системе точек [37].
На практике переход от решения в изображениях к оригиналу, то есть
разворачивание решения во времени, возможен только приближенно.
Сложность перехода от изображения к оригиналу заключается в некорректности этой операции. Поясним на примере, рассматривая графики
функций
и
, отличающихся между собой на «ступеньку» высотой
на малом локальном участке
Из графиков видно, что
Изображения
и
собой уже на существенно меньшую величину
будут отличаться между
(рис.1.5).
.
из-за
сглаживающего влияния экспоненциального ядра интегрального преобразования по Лапласу-Карсону по сравнению со слагаемым в оригинале, величина которого при любых значениях
. Максимальное же значение слагаемого
приближении точки
к точке
[37].
и
всегда равна единице на отрезке
убывает при
Следовательно, малое отличие в изображениях между функциями
и
приводит к существенному, но локальному различию в оригинале [37].
Разработанные математиками и механиками приближенные методы
перехода от изображения к оригиналу направлены на выявление этих локальных особенностей.
Рис. 1.5. Графики функций
и
24
В настоящее время разработано несколько приближенных методов пе-
dztgty
t
0
tg
tz
*
*
***
1
1
zzgy
K
G
K
G
3
2
3
2
1
21
*
*
*
*
*
*
K
*
*
1
1
g
n
i
i
pgapgapgaaa
p
ap
i
1
*
5
*
2
5
*
5.0
4s32
*
s
1
*
П
П
1
*
*
5.0
5,01
1
g
*
*
2
21
1
g
*
*
1
1
i
i
g
ni ,....,1
p0
pП
G
*
s
2
1
pП
pR
*
s
s
1
*
tП
s
tR
s
рехода от изображения к оригиналу. К основным из них относятся: метод
аппроксимации А. А. Ильюшина [42, 43], метод алгебры операторов Ю. Н.
Работнова [71], метод В. М. Пестренина и И. В. Пестрениной [62], метод
ломаных Л. Е. Мальцева [54].
Согласно предложенному Ильюшиным А. А методу аппроксимации
[42] в решения вязкоупругих задач входят свертки вида
, (1.15)
где
– функция связной ползучести, отражающая одновременно про-
текающие процессы ползучести и релаксации;
– параметр, определяемый решением упругой задачи;
– функция типа силы, момента, перемещения и т.п.
Уравнение (1.15) в изображениях по Лапласу-Карсону представляется
выражением:
,
где
;
– объемный модуль,
.
Для определения искомого оригинала известную в изображениях
функцию аппроксимируют функциями базиса в изображениях [37]:
где
;
;
– функция сдвиговой ползучести,
– функция сдвиговой релаксации.
25
;
;
,
;
;
,
Особенность метода заключается в том, что все оригиналы:
tП
s
tR
s
tg
pП
s
*
pR
s
*
pg
i
*
i
а
tП
s
tR
s
tg
tg
tg
,
,
функций базиса
,
,
определяются экспери-
ментально, а коэффициенты базисных функций – аналитически. Искомые
параметры аппроксимации
находятся из решения системы линейных ал-
гебраических уравнений, составленной либо по методу коллокаций, либо по
методу наименьших квадратов [37].
Эксперименты для определения функций сдвиговой ползучести
и релаксации
ния функции
известны из литературы [47]. Эксперимент для определе-
заключается в испытании на ползучесть при убывающей
во времени силе и изложен в работе [45]. В соответствии со схемой эксперимента для определения функции
образец из вязкоупругого материала
сбрасывает с себя часть нагрузки на упругую пружину. Характерной особенностью эксперимента является то, что вязкоупругий элемент со временем
разгружается, а упругий элемент догружается. Методика обработки эксперимента приведена в статье [45] и в монографии [43].
Применение экспериментальных функций в качестве базисных повысило точность приближенного решения по сравнению с чисто аналитическими методами. Еще одним достоинством метода аппроксимаций являет
то, что было положено начало разработки экспериментов, характеризующих
расширенные вязкоупругие свойства материалов по сравнению
с первоначально применявшимися функциями ползучести и релаксации.
Недостатки метода [37]:
1. При проведении эксперимента по определению функции базиса вяз-
коупругий образец одновременно выполняет две функции: сам себе задает
программу испытаний (разгрузки) и является испытываемым элементом.
2. Число базисных функций ограничено, так как с помощью экспери-
ментальной установки можно найти значения функций
только для не-
которых фиксированных значениях параметра .
3. Предполагается, что вязкоупругий материал является однородным
и изотропным.
Для определения функции оригинала неоднородного вязкоупругого
материала Победря Б. Е. предложил новую схему эксперимента
[63, 64, 66], что позволило решать вязкоупругие задачи, отвечающие
двухкомпонентному материалу, по схеме метода аппроксимаций. Кроме
того, Победря Б. Е. [65] обобщил метод аппроксимации Ильюшина на случай численного решения задачи теории вязкоупругости [37].
Как уже было сказано выше, недостатком метода Ильюшина является то,
что вязкоупругий образец одновременно выполняет две функции: сам себе задает программу испытаний (разгрузки) и является испытываемым элементом.
Вильгельмом В. К. и Мальцевым Л. Е были предложены новые экспериментальные установки [18, 20, 21] для определения оригиналов функций, в которых
один блок является испытуемым, а другой блок задает программу испытания,
26
то есть функции управления и испытания разнесены. Методики обработки со-
tg
tП
s
tR
s
Tt 0
t0
t
ss
d
Г
AПtП
0
1
10
o
s
GП2
1
0
t
ss
d
Г
ARtR
0
1
10
os
GR 20
01
1Г
o
G
p
K
pR
K
pR
K
pR
K
pR
g
i
sss
s
,Э1...
279
3
1
3
1
1
1
1
*
3
3
*
2
2
**
**
*
...
279
3
,
3
3
*
2
2
**
*
K
pR
K
pR
K
pR
РЭ
sss
рЭ ,
*
0
1
11nГ
3
,
n
n
n
t
K
ttЭ
рЭ ,
*
pg
*
ответствующих экспериментов приведены в кандидатской диссертации В. К.
Вильгельма [16] и статьях [17, 19].
Эксперименты Вильгельма В. К. и Мальцева Л. Е проводились для однофазного тела, подобных экспериментов для двухфазного тела в литературе
не имеется, поэтому метод Ильюшина А. А. не может быть использован.
Метод алгебры операторов Работнова Ю. Н. [71], отличие которого от
метода аппроксимации Ильюшина А.А. заключается в том, что функция связ-
ной ползучести
Для сдвиговой ползучести
ядро Абеля, справедливое только на конечном отрезке
оси
где
[37]:
– безразмерный параметр, определяемый на интервале
– гамма–функция; A – положительный параметр;
определяется не экспериментально, а аналитически.
и сдвиговой релаксации
используется
вместо полу-
;
;
;
,
– мгновенный
модуль сдвига.
В изображениях по Лапласу-Карсону в соответствии с принципом геометрической прогрессии функция сдвиговой ползучести представляется выражением [37]:
;
где
В оригинале изображению
соответствует дробно-экспонен-
.
циальная функция [37]
Саму функцию
можно использовать как аргумент и вводить
от нее новые функции, не совпадающие с функцией
,
.
[37], например:
27
рЭ ,1
1
*
;
рЭ ,1
*
руЭрхЭ
ух
руЭрхЭ ,,
1
,,
****
рЭ ,
*
tg
*
io
р
р
р
р
р
р
р
р
...,,,,1
21
0
o
0
i
n,...i 1
t
tt
t
io
eeеe
...,,,,1
21
i
n
i
t
i
t
i
t
t
ii
eAeAeAeAAt
1
321
...
3
2
01
n
i
i
i
i
i
р
р
A
р
р
A
р
р
A
р
р
AAр
1
3
3
2
21
*
...
р
*
рF
*
i
р
ii
ррF
**
n
i
i
ii
р
р
AрF
1
*
n,...i 1
i
A
;
.
Весь новый базис, построенный на функциях от изображения
, все-
гда входит в точное выражение известного изображения в качестве слагаемых, а не в качестве базисных функций, как это делается в методе Илью-
шина по отношению к функции
, что позволило расширить класс ре-
шаемых задач теории вязкоупругости. Однако метод алгебры операторов
разработан только для использования ядра Абеля, который имеет всего два
параметра, что ограничивает класс вязкоупругих материалов [37].
Аналитический метод приближенного перехода от изображения к
оригиналу Пестренина В. М. и Пестрениной И. В. [8, 62], основанный на
введении базисных функций, зависящих от аргумента р:
,
;
;
,
в оригинале являющихся экспонентами:
.
Параметры
считаются известными.
Согласно этому методу искомый оригинал аппроксимируется линейной комбинацией экспонент [37]
;
,
которая имеет запись в изображениях по Лапласу-Карсону:
.
Далее записывается система линейных алгебраических уравнений из
условия совпадения искомой аппроксимации
на системе точек совпадения
коллокаций
[37]:
, которые называются также точками
,
В результате решения системы определяются искомые параметры
с заданной функцией
.
.
Приближенные методы решения линейных статических задач наследственной теории вязкоупругости для анизотропных неоднородных тел представлены в работах [3, 10, 13, 14, 17-21, 35, 38, 42, 43, 45].
28
1.4. Метод ломаных Мальцева Л. Е.
n
Tt
1111
TthTtthtаtт
221122
TthTtTthTtаtт
332233
TthTtTthTtаtт
tmtmtmtmtm
o 321
thmtm
o
0
th
1
Tth
0m
i
a
ii
amtg 0
Рассмотренные в п.1.3 методы перехода от изображения к оригиналу
на практике применяются для монотонно возрастающих или монотонно
убывающих во времени функций. Поэтому класс функций, оригиналы которых можно найти приближенно, ограничен. В двухфазном теле силовое взаимодействие двух фаз является немонотонным во времени, что приводит к
немонотонности вязкоупругих характеристик [37].
В 1990 году Мальцевым Л. Е. был предложен метод ломаных [50, 54,
94], который позволяет находить приближенное решение вязкоупругой задачи, если известно решение соответствующей задачи в упругой постановке
не только для монотонных, но и для немонотонных функций [37].
Данная работа посвящена численному анализу точности решения,
развитию и применению метода ломаных к расчету водонасыщенного вязкоупругого основания.
По методу ломаных оригинал представляется в виде специальной ломаной линии (сплайн порядка I дефекта I), для которой по теореме запаздывания из курса операционного исчисления можно записать изображение.
Специальную запись предложил Мальцев Л. Е. и назвал метод ломаных.
Только специальные ломаные линии имеют сразу две записи: в оригинале и
в изображениях по Лапласу-Карсону. Простые ломаные линии имеют
только одну запись в оригинале, поэтому использовать их в задачах вязкоупругости для перехода от изображения к оригиналу нельзя [37].
Последнее звено сплайна при конечном значении времени
все-
гда соответствует конечному асимптотическому значению (рис.1.7), что отвечает свойству ограниченной вязкоупругости. На рисунках звенья специальной ломаной линии (рис.1.6), из которых с помощью линейной комбинации (суммы) будет собираться сплайн (рис.1.7) [37].
Математическое описание звеньев сплайна и линейной комбинации
выглядит следующим образом [37]:
;
;
;
где
;
– функция Хевисайда;
,
– функция Хевисайда с разностным аргументом;
– начальный параметр, размерность которого совпадает с раз-
мерностью аппроксимируемой функции;
– искомые безразмерные параметры, геометрический смысл кото-
рых заключается в том, что они пропорциональны тангенсам углов наклона
соответствующих звеньев ломаной линии:
.
29
Рис. 1.6. Звенья ломаной линии
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]