Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет водонасыщенных грунтовых оснований. Монография
.pdf
Параметр m назначается на основе численного анализа (п.2.2, 2.3).
ii
TT ;
1
1Cond
n
i
ij
j
aА
1
1
max
2Cond
T
AAА
max
2
Conde
Condi
nin
j
ij
e
aA
1 1
2
tП
tR
1** рRрП
10
t
dПtR
Корректировка точек коллокаций с помощью выражения (2.3) позволяет
матрицу коэффициентов СЛАУ привести к матрице с преобладанием диагональных элементов (см.п.2.2) [37].
Предложенный способ не только отражает информацию оригинала на
всем отрезке
, но и учитывает влияние соседних участков.
В следующем пункте на численных примерах видно, что назначение
точек коллокаций из решения уравнения (2.3) позволяет повысить порядок
СЛАУ при описании немонотонных функций и приводит к повышению точности приближенного решения, полученного по методу ломаных по сравнению с назначением по формулам (2.1) и (2.2) [37].
2.2. Анализ обусловленности системы линейных алгебраических
уравнений
Проанализировав влияние способов назначения точек коллокаций на
обусловленность матрицы десятого порядка, для каждого варианта назначения точек коллокаций можно вычислить определитель матрицы и четыре
числа обусловленности:
– число обусловленности матрицы, вычисляемое в норме L1,
норма матрицы L1
;
– число обусловленности матрицы, вычисляемое в норме L2,
норма матрицы L2
;
– число обусловленности матрицы, вычисляемое на равномер-
ной норме;
– число обусловленности матрицы, вычисляемое в норме ев-
клидового пространства, евклидова норма матрицы
.
Рассмотрим тестовый пример, связывающий между собой функции
ползучести
и релаксации
.
Напоминаем, что в изображениях по Лапласу-Карсону эти функции
взаимообратны [47]
,
а в оригинале этому произведению отвечает свертка функций
.
41
В монографии [47] в таблице 14.6 указаны дискретные значения функ-
tП
е
tR
е
0
о
T
007,0
1
T
07,0
2
T
6,0
3
T
34T
12
5
T; 40
6
T; 100
7
T
300
8
T
i
t
iе
tП
ie
tR
0,001
1,0003
0,9997
0,002
1,0005
0,9995
0,003
1,0007
0,9993
0,004
1,0009
0,9991
0,005
1,0011
0,9989
0,006
1,0012
0,9988
0,007
1,0014
0,9986
0,008
1,0015
0,9985
0,009
1,0017
0,9983
0,01
1,0018
0,9982
0,02
1,0031
0,9969
0,03
1,0042
0,9959
0,04
1,0052
0,9949
0,05
1,0061
0,9939
0,06
1,0070
0,9930
0,07
1,0079
0,9922
0,08
1,0087
0,9914
0,090
1,0095
0,9906
0,1
1,0103
0,9898
0,2
1,0173
0,9829
0,3
1,0235
0,9768
0,4
1,0292
0,9713
0,5
1,0346
0,9692
0,6
1,0397
0,9613
0,7
1,0446
0,9566
0,8
1,0493
0,9522
0,9
1,0539
0,9479
ций ползучести
и релаксации
. В качестве экспериментальных
данных по функции ползучести принят столбец 2 таблицы 2.1, а по функции
релаксации столбец 3 таблицы 2.1. Таким образом, приведенные данные
позволяют по известной функции ползучести найти функцию релаксации. В
связи с этим помимо вычисления числа обусловленности и определителя
можно выполнить сопоставление полученного решения по методу ломаных
с известным ответом [37].
Задаваясь фиксированными значениями времени
;
;
;
;
;
;
получим 8 вре-
менных интервалов. Выбираем из таблицы соответствующие значения
функции ползучести и представляем их в виде ломаной линии (рис.2.3).
Таблица 2.1
Таблица экспериментальных значений функций ползучести и релаксации
42
продолжение таблицы 2.1
i
t
iе
tП
ie
tR
1,0
1,0584
0,9437
1,2
1,0670
0,9357
1,4
1,0753
0,9281
1,6
1,0833
0,9209
1,8
1,0911
0,9140 2 1,0986
0,9073 3 1,1337
0,8769
4
1,1658
0,8504
5
1,1955
0,8267
6
1,2235
0,8053
7
1,2499
0,7858
8
1,2751
0,7678
9
1,2991
0,7513
10
1,3220
0,7360
12
1,3650
0,7087
14
1,4050
0,6849
16
1,4418
0,6642
18
1,4761
0,6460
20
1,5081
0,6300
30
1,6396
0,5738
40
1,7348
0,5425
50
1,8045
0,5247
60
1,8557
0,5145
70
1,8934
0,5085
80
1,9212
0,5050
90
1,9418
0,5030
100
1,9570
0,5018
200
1,9980
0,5000
300
2,0000
0,5000
43
Рис. 2.3. График функции ползучести в виде ломаной линии
0,0
,10
9
8
0
1
oo
i
iiii
Tbb
TthTtbbПtП
1
1)0( МПаП
i
b
ii
tgbП
0
0П
tg
b
i
i
010292178310669,0
1
b
301451056146370,0
2
b
433310617307583,0
3
b
970850403682333,0
4
b
114470264238800,0
5
b
554410136408004,0
6
b
242940037631786,0
7
b
804680000962507,0
8
b
Представляем табличные данные в виде специальной ломаной линии
с применением функции Хевисайда:
(2.4)
в котором начальное значение функции ползучести
полу-
чено аппроксимацией табличных данных на начальном участке с применением метода наименьших квадратов;
– искомые параметры.
Для 8 звеньев ломаной (2.4) нужно найти значения безразмерных параметров исходя из формул
;
:
;
;
;
;
;
;
;
.
44
На основании теоремы запаздывания из курса операционного исчис-
0П
i
bb ,...,
1
8
1
*
1
1
10
i
TрTр
i
ii
ee
р
bПрП
tП
tR
t
dRtПtR
0
/
1
0
*
*
*
,0,
1
dttReррRр
рП
рR
tр
tR
0,0
,10
11
10
0
1
oo
i
iiii
Tdd
TthTtddRtR
0
1
0
П
R
0t
р
i
d
003,01T
007,02T
02,03T
07,04T
6,05T
36T
12
7
T, 40
8
T
100
9
T
300
10
T
10
1
*
1
1
10
i
TрTр
i
ii
ee
р
dRрR
ления записывается изображение функции (2.4) по Лапласу-Карсону с теми
же параметрами
,
:
.
Известную в теории вязкоупругости зависимость между функциями
ползучести
и релаксации
в оригинале представляем в виде инте-
грального уравнения Вольтерра второго рода
,
которое в изображениях по Лапласу – Карсону имеет вид:
.
Представим оригинал
в виде ломаной линии из десяти звеньев,
назначив новые временные интервалы [37]:
здесь
момент
или при
– значение функции релаксации в оригинале в начальный
в изображениях;
– искомые параметры;
,
,
,
,
,
,
, (2.5)
,
,
.
Оригиналу (2.5) отвечает изображение по Лапласу-Карсону:
.
45
Запишем условия совпадения искомого изображения
рR
*
j
рП
*
1
oj
рррррр ,,,...,,0
12910
j
i
TрTр
i
рП
ee
р
dRрR
ii
*
10
1
*
11
10
1
10,...,2,1j
.
*
10
1
1
1
*
1
10
1
1
*
1
10
1
.1
00
1
;1
0
1
....................................................................
;1
0
1
111
111
RрП
TTd
RрП
рeed
RрП
рeed
i
iii
n
n
i
TрTр
i
i
TрTр
i
inin
ii
tR
tR
е
333333333,333
1
р
857142857,142
2
р, 50
3
р
285714286,14
4
р
666666667,15р
333333333,06р
083333333,07р
025,08р
01,09р
о
р
010р
с извест-
ным изображением функции релаксации
на системе точек
:
,
,
на основании которого составляется СЛАУ десятого порядка:
(2.6)
Назначаются точки коллокаций по способам, рассмотренным в п.2.1.
Для каждого варианта составляется СЛАУ, в результате решения которой
определяются параметры ломаной линии
, строится ее график и сравни-
вается с табличными значениями
1 способ
Назначаются точки коллокаций по узлам ломаной линии из условия
(2.1):
,
,
.
задаются специальным образом:
Как уже отмечалось в п.2.1, начальная и конечная точки коллокаций
.
,
,
,
,
,
;
.
46
Используя формулу (2.6) получаем матрицу коэффициентов:
200602894,253,005,0013,0004,0003,0
31809,030244,021660,008352,002357,000528,000049,000013,000004,000003,0
08153,028579,037294,018693,005737,001314,000125,000032,000009,000007,0
00024,003543,033221,041092,017243,004295,000415,000108,000033,000025,0
1034,31062,101831,034956,045085,015821,001642,000432,000133,000099,0
001006,200674,036114,052200,007733,002119,000661,000499,0
000000019,036769,038359,015336,005321,004195,0
00001036,903019,033768,033681,015602,013929,0
0000000005,005739,031045,028356,034856,0
000001035,700127,009569,027091,063212,0
156
9
14
11
0002014,0А
.500624220,0
004347035,0
009153585,0
019709428,0
035834017,0
057833033,0
099448268,0
137051612,0
176329045,0
206820815,0
21702,01d
21983,02d
10399,03d
10566,04d
06027,05d
03691,06d
01961,07d
00603,08d
00043,09d
000002066,010d
Определитель матрицы
.
Числа обусловленности:
;
;
;
.
Вектор правой части из системы уравнения (2.6):
Решая полученную систему, находится приближенное решение функции релаксации в виде сплайна (2.5) с параметрами:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
47
и строим график (рис.2.4).
%100 tRtR
e
tR
tR
e
t
tR
e
tR
,%
0,003
0,9993
0,99935
0,05
0,007
0,9986
0,99847
0,013
0,02
0,9969
0,99712
0,022
0,07
0,9922
0,99183
0,037
0,6
0,9613
0,95989
0,141
3
0,8769
0,87131
0,559
2
0,7087
0,69484
1,386
40
0,5425
0,51586
2,664
100
0,5018
0,49979
0,201
300
0,5
0,49938
0,062
Исследуется зависимость несоответствия теории и эксперимента на
системе точек с помощью абсолютной погрешности
Результаты расчета сводятся в таблицу 2.2, из которой видно, что макси-
мальное расхождение между ломаной линией
и табличными значени-
.
ями
составляет 2,664%.
Рис. 2.4. График функции релаксации:
исходная функция (из эксперимента);
функция, найденная по методу ломаных
с точками коллокаций, вычисленными по формуле (2.1)
Таблица 2.2
48
о
р
824465097,211
1
р
755548038,80
2
р
05525937,25
3
р
588475197,24р
67059913,05р
154032707,06р
042999029,07р
015271512,08р
005493061,09р
010р
200602894,253,005,0013,0004,0003,0
3849,022539,013347,004745,001305,000291,000027,000007,000002,000002,0
20691,032573,028967,012267,003566,000805,000076,00002,000006,000005,0
01357,01655,041784,028207,009555,002246,000215,000056,000017,000013,0
000211,015538,047247,028176,007755,000765,0002,000062,000046,0
0102,200032,013343,053499,02854,003253,000864,000267,000201,0
00102,300042,021117,062268,011527,00325,001022,000774,0
000001731,043276,023327,008846,007241,0
0000000351,019536,036933,021665,021515,0
00000001446,021255,030268,047032,0
12
14
000000016,0А
tR
tR
tR
e
2 способ
Назначаются точки коллокаций из условия (2.2):
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
и получим матрицу коэффициентов:
Решение выполняется аналогично, как и для первого способа:
;
;
;
.
На рис.2.5 приведен график функции
, полученный по методу ло-
маных с точками коллокаций, вычисленными по формуле (2.2), а в таблице
2.3. зависимость несоответствия теории и эксперимента. Максимальное расхождение между ломаной линией
ставляет 2,1% [37].
и табличными значениями
49
со-
t
tR
e
tR
,%
0,003
0,9993
1,00088
0,158
0,007
0,9986
0,9959
0,27
0,02
0,9969
0,99889
0,199
0,07
0,9922
0,99073
0,147
0,6
0,9613
0,96088
0,042
3
0,8769
0,87039
0,651
12
0,7087
0,69609
1,26
40
0,5425
0,52153
2,1
100
0,5018
0,50043
1,37
300
0,5
0,49938
0,062
Рис. 2.5. График функции релаксации:
исходная функция (из эксперимента);
функция, найденная по методу ломаных с точками коллокаций, вычисленными
по формуле (2.2)
Таблица 2.3
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]