Расходящиеся ряды и асимптотические теории
.pdf
СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
Редакционный совет:
А.В. Болсинов
А.В. Борисов
И.С. Мамаев
И.А. Тайманов
Д.В. Трещев
Вышли в свет:
П. И. Голод, А. У. Климык. Математические основы теории симметрии
М.Громов. Гиперболические группы
М.Громов. Знак и геометрический смысл кривизны Дж. Д. Мур. Лекции об инвариантах Зайберга – Виттена
Дж. Милнор. Голоморфная динамика
И.Р. Шафаревич. Основные понятия алгебры
И.Добеши. Десять лекций по вейвлетам
Э.Столниц, Т. ДеРоуз, Д. Салезин. Вейвлеты в компьютерной графике
К.Кассель, М. Россо, В. Тураев. Квантовые группы и инварианты узлов
Ж.П. Рамис. Расходящиеся ряды и асимптотические теории
Готовятся к печати:
О.В. Богопольский. Введение в теорию групп
А.Д. Морозов. Введение в теорию фракталов
С. П. Новиков. Топология
Я.Песин. Теория размерности
А.И. Шафаревич. Введение в теорию квазиклассического квантования
изотропных многообразий
´ ´ ´
SOCIETE MATHEMATIQUE
DE FRANCE
PANORAMAS
ET
´
SYNTHESES
´
SERIES DIVERGENTES
ET
´
THEORIES ASYMPTOTIQUES
Jean–Pierre RAMIS
Suppl´ement au bulletin de la SMF hors abonnement
´
TOME 121 ANNEE 1993
Publie´ avec le concours du la Recherche et de I’Enseignement Superieur´
Жан-Пьер Рамис
РАСХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
Перевод с французского
В. В. ШУЛИКОВСКОЙ
Москва Ижевск
2019
УДК 517
Интернет-магазин
• ф и з и к а
• м а т е м а т и к а
• б и о л о г и я
• т е х н и к а
http://shop.rcd.ru
Рамис Жан-Пьер.
Расходящиеся ряды и асимптотические теории. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2019, 80 стр.
В книге известного французского специалиста в сжатой, компактной форме изложена современная асимптотическая теория и методы суммирования расходящихся рядов. Изложение вполне доступно для неспециалистов и снабжено различными примерами.
Для студентов и аспирантов математических специальностей университетов, специалистов по математическому анализу и динамическим системам.
ISBN 97 -5-4344- 732-
c Институт компьютерных исследований, 2019
Оглавление
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
7 |
1. Кое-что из истории расходящихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . |
8 |
1.1.Суммирование расходящихся рядов: на что можно надеяться? 8
1.2.Функциональное уравнение для ζ-функции. Ряд Эйлера . . . 15
1.3.Эйлер, Коши, Пуанкаре и суммирование до наименьшего члена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.Стокс и каустики. Феномен Стокса . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.Суммирование сходящихся рядов вне их области сходимо-
сти: Борель, Линделеф, Харди . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
24 |
1.6. Борель и Стильтьес . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
31 |
1.7. Пуанкаре и асимптотическая теория . . . . . . . . . . . . . . |
32 |
2.Асимптотические разложения и суммируемость . . . . . . . . . . 34
2.1.Асимптотические разложения Жеврe . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.k-суммируемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.Мультисуммируемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.Расходящиеся ряды и динамические системы . . . . . . . . . . . . 48
3.1. Формальные решения дифференциальных уравнений . . . . |
48 |
3.2. Нормальные формы дифференциальных уравнений и диф- |
|
феоморфизмы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
51 |
3.3. Сингулярные возмущения, запаздывание бифуркации и утки |
55 |
3.4.q-разностные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5.Множественность естественных процессов суммирования,
ветви функций и последнее письмо Эвариста Галуа . . . . . |
65 |
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
75 |
Break on through to the other side1.
Jim Morrison
.. . all prohibitions are made only to be broken, must be broken2.
A.S. Byatt. Possession
Введение
Эти два доклада3 посвящены одной очень старой теме и нескольким из многочисленных недавних выводов из нее.
•В первой части мы покажем теоретическую и практическую эффективность применения расходящихся рядов на нескольких исторических примерах.
•Вторая часть будет посвящена строгому обоснованию теории расходящихся рядов, которым мы сегодня располагаем благодаря совсем недавним достижениям4, и их связям с теорией асимптотических разложений.
•Мы завершим изложение — в третьей части — несколькими приложениями к динамическим алгебраическим (или аналитическим) системам.
1Прорывайся вперед, к другому берегу.
2. . . все запреты, созданные только для того, чтобы их разрушить, надо разрушить.
3Этот текст взят из двух докладов, представленных автором в журналах X-UPS в 1991 году. Первая версия появилась в предварительных публикациях Математического Центра Политехнической Школы.
4С недавних пор эту теорию можно изложить с помощью средств элементарной и классической математики. Доказательства зачастую остаются долгими, техническими и тонкими, они требуют некоторых новых методов, которые невозможно изложить здесь.
1. Кое-что из истории расходящихся рядов
Речь пойдет не о том, чтобы развить полное историческое исследование применения расходящихся рядов в математике (эту работу еще предстоит сделать), но о том, чтобы на некоторых примерах показать важность предмета, констатировать эффективность этого применения, выделяя несколько методов и оставляя теоретические объяснения для второй части. С этой целью я решил описать несколько решающих этапов: Лейбниц, Эйлер, Коши, Стокс, Стильтьес, Пуанкаре, Борель и Харди. (К нынешним достижениям я вернусь позже.)
1.1. Суммирование расходящихся рядов: на что можно надеяться?
В работе над этим разделом я использовал замечательный обзор [Du]. Для начала я процитирую несколько фраз английского математика Дж. Э. Литлвуда, взятых из предисловия к посмертному изданию работ его друга:
Заголовок содержит любопытный отзвук прошлого, в том числе прошлого Харди. В 1828 году Абель писал: «Расходящиеся ряды — это изобретение дьявола, и постыдно основывать на них какое бы то ни было доказательство». В последовавший период критического пересмотра результатов от расходящихся рядов просто отказались. Затем настало время, когда обнаружилось, что с ними все-таки иногда можно иметь дело. Сейчас это само собой разумеется, но в начале века эта тема, никоим образом не мистическая и вполне строгая, считалась сенсационной, что же касается нынешнего заголовка — как бесцветен в нем аромат парадокса и дерзости.
Г. Х. Харди, Расходящиеся ряды. [H1]
Чаще всего к сходящимся рядам и их суммам прибегают с целью доказать числовые или функциональные равенства, такие как
log 2 = 1 − 12 + 13 − . . . ,
log 2 = − log |
1 |
= |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
+ . . . . |
2 |
2 |
222 |
233 |
1. КОЕ-ЧТО ИЗ ИСТОРИИ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ |
9 |
Интересно было бы упорядочить многочисленные равенства этого типа: второе из них, очевидно, лучше первого для приближенного вычисления log 2, так как быстрее сходится. Отсюда стремление обобщить преобразования на случай расходящихся рядов и их возможные «суммы», чтобы увеличить арсенал имеющихся тождеств. Именно в таком духе работали математики XVIII века, в частности, Л. Эйлер. Разумеется, чтобы служить основанием для таких вычислений, суммирование расходящихся рядов должно подчиняться некоторым правилам: грубо говоря, нужно иметь возможность заменить — в вычислениях, содержащих обычные операции, — ряд на его сумму без противоречий.
Пусть D — это C-алгебра числовых рядов с комплексными членами (сходящихся или нет): есть операции сложения, умножения на скаляр и произведение по Коши. Обозначим через C подалгебру абсолютно сходящихся рядов. Имеем гомоморфизм C-алгебр
S : C → C,
∞
который сопоставляет сходящемуся ряду σ = |
an его сумму S(σ). |
n=0
Мы хотим определить оператор суммирования S для «каких-то» расходящихся рядов. Вот первые правила для S , кажущиеся разумными (можно привести их и в другом варианте):
(s1) Правило регулярности: если σ сходится, то
S(σ) = S (σ), то есть S продолжает S.
(s2) Правило инвариантности по сдвигу:
∞ |
∞ |
|
|
S n=0 an |
= a0 + S n=1 an . |
(s3) S должен быть C-линейным. (s4) S — гомоморфизм по умножению.
На практике будет естественным определить приемы суммирования S1 , применимые к некоторым совокупностям рядов D1: C D1 D. Различаются случаи:
•D1 — векторное подпространство D, и S1 удовлетворяет правилам 1, 2, 3;
•D1 — подалгебра D, и S1 удовлетворяет правилам 1, 2, 3, 4.
10 РАСХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
Этот последний случай — очевидно, куда более полезный для генерации интересных тождеств — наиболее сложен при теоретическом обосновании
(правило 4 нелегко проверить). |
|
+∞ |
|||
Возникает естественная идея заменять числовые ряды |
an формаль- |
||||
|
|
n |
|
|
n=0 |
ными рядами |
+∞ |
и затем попытаться «положить |
|
||
|
anx |
|
|
x = |
|
n=0
Тогда мы получаем оператор суммирования S, определенный на дифференциальной5 C-алгебре сходящихся рядов (C{x}; x2d/dx) и принимающий значения на дифференциальной C-алгебре (O0; x2d/dx) ростков функций, голоморфных в начале координат. Задача состоит в том, чтобы определить дифференциальные алгебры A1 формальных расходящихся рядов: C{x} A1 C[[x]] и операторы S1 : A1 →?, удовлетворяющие «разумным» правилам:
(S1) Правило регулярности: S1 продолжает S.
(S2) S1 — гомоморфизм дифференциальных алгебр.
(S3) Если J — оператор «асимптотического разложения» (раздел 1.7), то JS1 — тождество на A1.
Остается решить, где принимает свои значения отображение
S1 : A1 →?.
Это не может быть O0: условие 3 влечет тогда A1 = C{x}. В действительности мы увидим, что требуется «поляризация» за счет выбора направления d, исходящего из начала координат. Тогда получим ? = Ad — дифференциальной C-алгебре функций, голоморфных на ростках секторов, рассеченных направлением d (размыкание и лучи сколь угодно малы). Мы увидим, что для фиксированного направления d есть два «естественных» оператора суммирования Sd+ и Sd− (боковые суммирования). В то же время для рядов с действительными членами хочется принять за ? ростки действительных аналитических функций на ростках из R+ −{0} или R− −{0} в начале координат. Эта точка зрения сходна со взглядами Эйлера. Мы увидим, что она приводит к определенным затруднениям.
Вернемся к числовым рядам и рассмотрим два примера:
σ0 : 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + . . . , σ1 : 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + . . . .
Предположим, что эти ряды принадлежат совокупности рядов D1, снабженной оператором суммирования S , удовлетворяющим условиям (s2) и (s3),
5 -алгебра называется дифференциальной, если она снабжена -линейным эндоморфизмом δ, который является производной: δ(ab) = aδ(b) + δ(a)b.