Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет водонасыщенных грунтовых оснований. Монография
.pdf
Первое соотношение выражает условие равновесия в перемещениях
w
, второе описывает движение жидкости в деформируемой среде.
Свое развитие и дальнейшее совершенствование теория фильтрационной консолидации получила в трудах ученых Герсеванова Н. М. [25], который
сформулировал уравнения уплотнения для плоской и пространственной задач
фильтрационной консолидации; Флорина В. А. [86], Био М [9, 96]. Рендуликом
Л. была рассмотрена осесимметричная трехмерная задача теории фильтрационной консолидации для случая радиальной фильтрации. Частные случаи
были рассмотрены в работах Carrillo N. [97], Цытовича Н. А. [89], Абелева М.
Ю. [2], Тер-Мартиросяна З. Г. [80], Роза С. А. [74] и других авторов [37].
Современная механика грунтов [2, 24, 39, 82] рассматривает грунты
как двухфазную систему (скелет+вода), при этом твердая фаза обладает
свойством упругости, а жидкая – вязкости, следовательно, грунты можно
отнести к вязкоупругим материалам. При этом упругость проявляется в восстановлении деформаций после разгрузки, вязкость – в том, что деформации
после разгрузки развиваются во времени [37].
По классическим теориям упругости и пластичности напряженно – деформированное состояние грунта определяется величиной приложенной
нагрузки и порядком ее приложения; если эта нагрузка не меняется, то остаются неизменными и возникшие в грунте напряжения и деформации. Однако в реальных грунтах напряженно – деформированное состояние изменяется во времени и зависит от истории предшествующего загружения. Поэтому для обеспечения прочности, надежности и долговечности инженерных сооружений, возводимых на грунтовых основаниях, необходимо при
проектировании учитывать их реологические свойства, то есть исследовать
образование и изменение напряженно – деформированного состояния
грунта во времени. Реологические свойства грунтов проявляются в виде
длительно протекающих осадок, смещений и кренов сооружений, пластических оползней и разрушений склонов и откосов земляных сооружений и др
[37].
Одной из первых теорий расчета вязкоупругих оснований является
теория линейного вязкоупругого деформирования. Впервые уравнение вязкоупругости было сформулировано Максвеллом для описания явления релаксации, затем Кельвин и Фойгт предложили уравнения последействия. Уравнения линейной вязкоупругости, связывающие напряжение, деформацию, ее
скорость и время подробно рассмотрены в работах Рейнера М. [72], Ржаницина А. Р. [73] и др [37].
Развитием фильтрационной теории консолидации стало направление,
учитывающее реологические свойства грунтов. Флорин В. А. [86] разработал обобщенную теорию консолидации, в которой учитывал одновременное
протекание первичной (вызванной фильтрацией поровой воды) и вторичной
(вызванной ползучестью скелета) консолидации, причем вторичная консолидация учитывалась в форме наследственной ползучести. Обобщением
11
теории К. Терцаги для одномерного случая является теория пористых мате-
t
elel
dtK
EE
t
t
0
1
el
E
t
d
tK
t
t
elel
dtTEtEt
0
tТ
constt
t
el
dK
E
t
0
1
tK
constt
t
el
dTEt
0
1
tT
риалов, содержащих в себе вязкую жидкость, предложенная Био М. [9]. Эта
теория также получила название теории деформации [37].
Одной из основных теорий расчета вязкоупругих оснований является
теория наследственной ползучести [47]. Основополагающим законом теории является закон наследственной ползучести Больцмана-Вольтерра. В основу вывода закона положен принцип суперпозиции (наложения), согласно
которому деформация в какой-либо момент времени, вызванная приложенными в предшествующие моменты нагрузками, равна сумме деформаций,
которые развились бы ко времени, когда каждая бы из нагрузок действовала
бы независимо от других [37]. Относительная деформация скелета грунта
при непрерывном загружении определяется выражением:
, (1.2)
где
времени t и ;
ющей напряжение
цию в момент t [37].
где
ния в момент t [37].
зучести:
– мгновенный модуль деформации скелета грунта;
и
– момент времени, соответствующий приложению нагрузки, вызыва-
Если известна деформация
При
– напряжения, развивающиеся соответственно к моментам
– функция влияния напряжений
– функция влияния деформаций
, которое действует в течение отрезка времени
в момент на деформа-
, то можно найти напряжения:
, (1.3)
в момент на напряже-
из соотношения (1.2) получается уравнение пол-
,
;
где
деформаций записывается при
где
– функция скорости ползучести.
Выражение для релаксирующих напряжений при постоянных уровнях
– функция скорости релаксации [37].
из соотношения (1.3):
,
12
Согласно теории интегральных уравнений Вольтерры [22] 2-го рода,
tK
tT
dTtKtKtT
t
0
tT
tK
tT
tK
tK
tT
t
dtПt
0
t
dtRt
0
tП
tR
tП
1П
**
R
0
*
dttПepП
tp
0
*
dttRepR
tp
между функциями
позволяющая по одной из известных функций найти другую.
Функция
и
называется ядром уравнения (1.3), а функция
существует связь
,
– его
резольвентой. Если для ядра
(1.2) называется решением уравнения (1.3), и наоборот, уравнение (1.3) бу-
дет решением уравнения (1.2), если для ядра
[37].
В случае плавного нагружения деформации и напряжения определя-
ются выражениями:
где
где * означает преобразование Лапласа-Карсона:
– функция ползучести,
– функция релаксации.
Между функциями ползучести
найдена резольвента
найдена резольвента
;
,
и релаксации установлена связь:
,
, то уравнение
Функция ползучести является важнейшей механической характеристикой, она обладает следующими свойствами: 1) в начальный момент времени вертикальная ось является касательной к графику функции ползучести; 2) на практике применяют только ограниченную ползучесть, то есть после конечного отрезка времени график функции ползучести заканчивается
горизонтальной полкой; 3) если конечное значение функции ползучести на
порядок превышает начальное, то такой материал обладает ярко выраженным свойством вязкоупругости [37].
Производная от функции ползучести в начальный момент времени обращается в бесконечность, поскольку вертикальная ось касается графика
;
.
13
функции; конечное значение производной равно нулю, что отвечает гори-
x
u
X
zyx
wxz
xy
x
w
u
x
v
y
u
x
u
xyx
;
;22
0
tФtt
iiiiii
,Ф2
0
ttt
vvvvvv
tyФ
i
tyФ
v
,tK
i
,tK
v
0
i
0
v
i
v
,
2
w
w
f
w
u
k
t
n
t
w
2
w
f
k
зонтальной полке графика [37].
Ядерное представление функции ползучести образует только монотонный класс функций [98].
На основе теории линейной наследственной вязкоупругости Тер-Мартиросяном З. Г. [82] была решена задача уплотнения двухфазного грунта. Для
описания напряженно – деформированного состояния водонасыщенного
грунта в пространстве и во времени используются:
- уравнения равновесия:
,
остальные уравнения могут быть получены путем круговой перестановки
аргументов x, y, z.
Здесь
– поровое давление.
- геометрические уравнения:
и т.д;
- реологические уравнения для скелета грунта:
где
и
,
– интегральные операторы Вольтерра с ядрами
, которые характеризуют скорости ползучести скелета
грунта соответственно при сдвиге и всестороннем сжатии;
и
,
и
– функции, описывающие механические свойства
скелета грунта в начальный и конечный моменты времени [37].
Уравнение консолидации водонасыщенного грунта получается из
условия постоянства массы поровой воды и минеральных частиц в процессе
консолидации:
где
и
– объемные деформации грунта и поровой жидкости;
– оператор Лапласа;
- пористость;
– удельный вес поровой воды;
– коэффициент фильтрации.
14
Это уравнение справедливо для любого закона деформации скелета
грунта и поровой воды.
Прогнозирование осадок оснований сооружений согласно данной теории целесообразно для глинистых грунтов текучепластичной консистенции,
супесей и других грунтов, не обладающих ярко выраженной вторичной консолидацией [37].
Большой вклад в развитие теории ползучести для решения задач механики грунтов внесли Вялов С. С. [24], Зарецкий Ю. К. [39].
В рассмотренных выше теориях по истечении конечного значения
времени избыточное поровое давление обращается в ноль, в то время как
натурные исследования [2, 11, 34, 41, 58, 69] напряженно - деформированного состояния грунтов под нагрузкой свидетельствуют о том, что на удалении от дневной поверхности в сжимаемой толще основания поровая вода
в течение длительного времени воспринимает значительную часть напряжений, которые оказывают существенное влияние на деформации грунта
[37].
1.2. Учет избыточных поровых давлений при расчете
водонасыщенных вязкоупругих оснований
Экспериментальные и теоретические исследования [2, 11, 23, 34, 41,
58, 61, 69] влияния избыточного порового давления на деформационные
свойства водонасыщенных оснований показали, что:
- в образце грунта, расположенном у дневной поверхности поровая
вода полностью сбрасывает с себя нагрузку, то есть в слое рассматриваемого грунта скорость фильтрации пропорциональна действующему градиенту напряжений, что свидетельствует о справедливости закона ламинарной
фильтрации;
- в образце грунта, удаленном от дневной поверхности поровая вода,
при малом значении коэффициента фильтрации, может воспринимать на
себя от 20 до 70% избыточных напряжений.
Таким образом, грунты исследуемого основания, при соответствующих
краевых условиях обладают особыми свойствами, связанными со способностью поровой воды воспринимать на себя часть внешней нагрузки. Это вызывает необходимость разработки иного подхода для оценки напряженно-деформированного состояния водонасыщенных грунтовых массивов, служащих основанием и средой различных конструкций. Поэтому необходимо учитывать
поровые давления при определении во времени механических характеристик
водонасыщенных грунтов [37].
Для расчета напряженно-деформированного состояния и оценки
прочности вязкоупругих оснований с учетом поровых давлений используется вязкоупругий вариант кинематической модели [53]. Кинематическая
модель описывается системой линейных дифференциальных уравнений
15
эллиптического типа с постоянными коэффициентами, которые отлича-
01,0
)(2мА
s
l
z
l
z
s
zd
l
zd
s
z
l
z
s
ются от известных уравнение Ляме дополнительными слагаемыми [55], отражающими разгружающий вклад поровой воды. Эллиптичность уравнений позволила некоторые известные теоремы, метод решения задач теории
упругости (метод конечных элементов [75]) перенести на расчет водонасыщенных оснований.
Согласно модели водонасыщенный грунт рассматривается как сплошная линейно – деформируемая двухфазная среда, состоящая из твердой фазы
(скелета) и жидкой – поровой воды. Предполагается, что в каждой точке рассматриваемой среды содержатся одновременно частицы твердой и жидкой
фаз, деформации которых считаются малыми
, а соотношения между
деформациями и напряжениями – линейными. Избыточное давление, возникающее от нагрузки в поровой воде, называется поровым давлением. Компоненты напряженно – деформированного состояния (НДС) твердой фазы отмечаются индексом s, компоненты НДС жидкой фазы – индексом l [37].
Модель является феноменологической, поэтому механизм взаимодействия фаз, основанный на их молекулярной природе не рассматривается.
Механизм заменяется постулатом взаимодействия фаз. Все параметры кинематической модели находятся из экспериментов. Свое развитие модель
получила в работах [4, 5, 23, 34, 55, 56, 58, 61, 75, 83].
Кинематическая модель применима к водонасыщенным заторфованным грунтам и торфам, суглинкам, глинам в одномерном случае и основывается на двух постулатах [37]:
а) физический постулат связи между относительной деформацией и пере-
падом давлений в жидкой фазе: относительная деформация пропорциональна перепаду давлений, приходящемуся на единицу длины.
б) кинематический постулат взаимодействия: относительные деформации
жидкой и твердой фаз пропорциональны и противоположны по знаку.
Рассмотрим основные группы уравнений, описывающие кинематическую модель.
Уравнение равновесия
Для получения уравнения равновесия из стержня выделим дифференциально малый элемент высотой dz (рис.1.2), где
речного сечения стержня, – объемный вес грунта;
твердой фазе,
На нижней грани значения функций
дифференциальными добавками
– напряжения в жидкой фазе.
и
и
, каждая из которых явля-
ется главной линейной частью приращений функции
16
– площадь попе-
– напряжения в
записываются с
и
[37].
s
l
0 dzAAzdzAzAzdzAz
lllsss
0
dz
zzd
ls
ss
tg
s
Еtg
sss
Е
)(МПаЕ
s
Рис. 1.2. Напряженное состояние дифференциально малого элемента
Правило знаков принимается по аналогии с моделью Зарецкого Ю. К.
[39]: для твердой фазы растягивающие напряжения
считаются положи-
тельными, а сжимающие – отрицательными, согласно правилу знаков механики грунтов; для жидкой фазы сжимающие напряжения
имеют положительные значения, подчиняясь правилу законов гидрогазодинамики. Сумма
напряжений описывается выражением
[37].
Уравнение равновесия записывается для сил, поэтому от напряжений
сделан переход к силам путем умножения соответствующего напряжения на
площадь поперечного сечения образца [37]:
или
. (1.4)
Физические уравнения
Физическое уравнение для твердой фазы совпадает с законом Р. Гука.
Начальный участок диаграммы напряжение-деформация показан на рис.1.3.
Связь между катетами прямоугольного треугольника
совпадает при
где
из эксперимента.
с записью закона Р. Гука:
, (1.5)
- механическая характеристика твердой фазы, определяемая
17
l
)(z
l
z
l
z
К
l
l
l
E
h
К
K
)(мh
)(МПаE
l
dz
d
Е
h
l
l
l
dz
dW
s
s
dz
dW
l
l
s
W
l
W
Рис. 1.3. Диаграмма напряжение-деформация
Для жидкой фазы Мальцевым Л.Е. [53] предложено уравнение, согласно которому относительная деформация жидкой фазы
нальна перепаду давлений
есть выражению
где
– положительный коэффициент пропорциональности;
:
, приходящемуся на единицу длины, то
,
,
пропорцио-
– численный параметр модели;
– механическая характеристика жидкой фазы, определяемая
из эксперимента [4].
Окончательно физическое уравнение для жидкой фазы принимает вид:
. (1.6)
Геометрические уравнения
В теории упругости перемещения отдельных частиц тела считаются
не только непрерывными функциями от координат, но и дифференцируемыми. Именно в таком смысле определяется свойство сплошности идеально
упругого тела [37].
Способность каждой фазы оставаться сплошным телом после деформации описывается с помощью формул Коши:
где
,
,
– перемещения, соответственно частиц твердой и жидкой фазы.
(1.7)
18
При использовании линейного варианта записи формул Коши допол-
01,0
s
01,0
l
ls
0
0
2
2
2
dz
dW
а
dz
Wd
ss
s
Еh
a
l
2
Е
)(
12
ма
)(МПаЕ
s
)(МПаЕ
l
)(мh
2
а
A
N
z
о
s
)0(
0)( HzW
s
)(2мА
N
H
нительно предполагается, что относительные деформации пренебрежимо
малы по сравнению с единицей, то есть
,
[37].
Уравнение взаимодействия фаз (кинематическое уравнение)
Кинематическое уравнение, давшее название модели, получено на основании принятой гипотезы раздвоения плоских сечений: первоначально
плоское поперечное сечение двухфазного тела при деформации переходит
в два сечения, каждое из которых остается плоским. Поперечное сечение,
отвечающее частицам жидкой фазы, перемещается из области повышенного
давления в нижней части в область пониженного давления в верхней части,
в то время как сечение, отвечающее частицам твердой фазы, наоборот – из
верхней части в нижнюю. Математически эта гипотеза оптсывается следующим выражением [37]:
,
(1.8)
где - положительный коэффициент пропорциональности, определяемый
из эксперимента по методике [5].
Уравнение (1.8) называется уравнением взаимодействия фаз или уравнением частичного взаимозамещения фаз.
На основании уравнений (1.4), (1.5), (1.6), (1.7), (1.8) записывается
дифференциальное уравнение для перемещения частиц твердой фазы:
где
- универсальный параметр кинематической модели, включающий в себя все параметры модели:
степень означает, что параметр
всегда является положительным числом.
,
,
(1.9)
,
и . Вторая
Уравнение (1.8) является основным уравнением одномерной кинема-
тической модели.
Для постановки краевой задачи задаются условия на границе тела
(рис.1.4). В верхнем сечении задается статическое граничное условие, в
нижнем – кинематическое:
здесь
;
– площадь поперечного сечения образца,
. (1.10)
– сила, приложенная к перфорированному поршню;
– высота образца.
19
s
s
s
E
1
s
t
s
s
dt
E
t
0
1
0
*
dttepp
stps
.
111
11
*
*
*
*
00
00
*
0
*
s
s
s
s
stp
s
tp
t
s
s
tps
t
s
s
E
pp
E
dttepdtt
E
ep
dtdt
E
eppdt
E
p
Рис. 1.4. Схема загружения образца для задания граничных условий
Вязкоупругие свойства водонасыщенных оснований учитываются с
помощью интегральных физических уравнений типа Больцмана [37].
В соответствии с известным законом Больцмана вместо закона Гука в
упругой постановке
записывается определяющее уравнение в виде свертки двух функций
. (1.11)
На основании теоремы Бореля из курса операционного исчисления в
изображениях по Лапласу-Карсону вместо свертки двух функций записывается произведение подынтегральных функций [37]
20
;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]