Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Расчет водонасыщенных грунтовых оснований. Монография

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 154 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

         

 



 











iiii

TthTtaaтtт

000



 оnо

T,a,a

01

п

1i

 

Tt 

     

 



 













Tр

aaтрт

р

 р0

   

mрm 

Рис. 1.7. Линейная комбинация звеньев ломаной линии

Важно отметить, что дефекту I отвечает стыковка звеньев ломаной линии по ординатам, поэтому у каждой функции базиса имеется только по одному параметру [37].

В общем случае для звеньев ломаной линии получается следующее аналитическое выражение:

, (1.16)

Условие

обеспечивает горизонтальность конечного (асимпто-

тического) участка сплайна.

Специальная запись сплайна, в которой используется функция Хевисайда с разностным аргументом, приводит к тому, что параметр последующего звена

находится независимо от параметра предыдущего звена

Аргументы

сомножителей перед функциями Хевисайда совпа-

[37].

дают, поэтому можно применить теорему запаздывания и записать изображение сплайна (1.16) по Лапласу-Карсону [37]:

, (1.17)

где

– точки коллокаций.

Первая точка коллокаций назначается как предельная точка

на

полуоси

. В результате все экспоненты выражения (1.17) зануля-

ются, и начальный параметр определяется выражением [37]

. (1.18)

Согласно теореме о пределах предельное значение оригинала

 

t

 

рm

0р

   

 рmtm

   

0* рmtm

   

00  tmm

0р





Tр



0

при

совпадает с предельным значением изображения

и наоборот (рис.1.8) [37]:

Рис. 1.8. Взаимосвязь функций оригинала и изображения

Тогда выражение (1.18) запишется в виде

при

, следова-

тельно, начальное значение искомого оригинала по методу ломаных всегда находится точно.

В соответствии с записью сплайна в изображениях (1.17) при возникает неопределенность:

которую можно раскрыть путем разложения экспоненты в ряд или с помощью применения теоремы о пределах [37].

В связи с этим, можно сделать вывод, что точки

все-

гда имеют конечное значение и называются предельными, все остальные точки называются внутренними.

В главе 2 данной работы (п.2.1) будет предложен способ назначения точек коллокаций из решения трансцендентного уравнения.

Для того чтобы приближенно найти оригинал известной в изображениях ломаной линии по методу ломаных вводится система точек коллокаций и записывается на этой системе условие совпадения известной функции с изображением ломаной линии. В результате составляется СЛАУ, из решения которой определяются углы наклона (в радианах) звеньев ломаной линии [37].

Решение вязкоупругой задачи по методу ломаных также (п.1.3) на

 

         

 



 











iiii

ТthТtaaFtF

 

 

   

 

 



 













ТpТp

aFpFtF

01

nî

0

 

   

00  tFtW

   

 tFtW

 

 

 

 pWtW

   

 pFtF

 

 

 

0* pWtW

   

0* pFtF

 

 

 

 pWpF

   

 

FeeaFpF

ТТ



 



 

















 

     

 

 

 

 

 

 

   

 





Hpa

pП

pfpW









 

  











     

   

 









000



примере определения перемещений частиц скелета грунта. Введем специализированный сплайн, аппроксимирующий оригинал

который в изображениях по Лапласу-Карсону имеет вид:

где

– искомые параметры;

Очевидно, что заданная функция

;

и искомая аппроксимация

должны иметь общие начальные и конечны значения [37]:

;

Согласно теореме о пределах начальные и конечные значения задан-

ной функции и искомой аппроксимации совпадают [37]:

(1.13):

Начальный параметр

Тогда,

;

определим из условия совпадения

;

Из условия совпадения искомой аппроксимации

 

 

 

 

 1

 

 

 

pWpF



 

 

 

ТpТp

pWee

ijij

10 



 





 













 

 

 

ТpТp

eea

ijij





 





 













0p

t

 

 

 













ТТa

iii

 

   

 tWpW

 

 

 

 

 





















 





 

















................................................................

ТТa

eea

iii

ТpТp

ijij

 

 

 



 



 

с заданной функ-

цией

точки

на системе точек коллокаций

составим СЛАУ [37]:

Последнее уравнение СЛАУ записывается специальным образом для

в изображениях или

в оригинале [37]:

В результате получаем:

ются искомые параметры

описывающее искомый оригинал для функции ного решения при одном и том же порядке СЛАУ сильно зависит от выбора

временных точек

СЛАУ. Известная в изображениях функция цией специального вида ров, подбирая которые можно аппроксимировать функцию того, функция

параметров ее оригинал можно представить в явном виде [37].

Решая систему n линейных уравнений с n неизвестными, определя-

, и получается выражение

, приближенно

. Точность получен-

и точек коллокаций

Таким образом, метод ломаных сводится к составлению и решению

аппроксимируется функ-

, зависящая от переменной p и от парамет-

должна иметь такой вид, чтобы при любом количестве

. Кроме

Основная сложность метода ломаных состоит именно в назначении

2500см

5.2:1

5.3:1







Eа

zzW









)(











1)0(



точек коллокаций, так как чем точнее будут они найдены, тем точнее будет значение искомой функции. Более подробно вопрос о назначении временных точек

и точек коллокаций

будет рассматриваться в п.2.1 [37].

1.5. Определение механических характеристик водонасыщенных грун-

тов с учетом давлений воды в порах

Любые строительные объекты строятся на грунтовом основании или располагаются в толще грунта. Под влиянием приложенных нагрузок грунты основания деформируются, и сооружения испытывают вертикальные и горизонтальные перемещения. Эти перемещения не происходят сразу же и полностью по приложению нагрузки, а длятся некоторое время [37].

Таким образом, возникает необходимость прогнозирования величины перемещений, а также продолжительности их протекания во времени, для чего необходимо определять соответствующие механические характеристики [37].

Согласно [28-30] механические характеристики определяют на основании исследований с использованием нескольких приборов: одноосного сжатия, одноплоскостного среза, компрессионного сжатия и трехосного осесимметричного сжатия (стабилометр). Испытаниям подвергают образцы с ненарушенной структурой (в виде паст заданной плотности и влажности) с отношением диаметра d к высоте h 1:2 или 1:1,5. Недостатком таких схем приборов является малая высота и малый диаметр испытуемых образцов, вследствие чего, двухфазный образец переходит в однофазный, так как поровая вода не зажимается частицами грунта и полностью сбрасывает с себя нагрузку. Следовательно, испытания образцов стандартных размеров [1, 2830] не могут характеризовать систему в целом и отображают ее в плане точечного определения.

Для более достоверного представления механических свойств двухфазной системы предлагается [4, 58] испытывать образцы с площадью попереч-

ного сечения до

и с отношением диаметра d к высоте h

, удаленные от дневной поверхности и расположенные в зоне, где боль-

шую часть нагрузки воспринимает на себя поровая вода.

Двухфазная система моделируется упругим вариантом кинематической модели [53], который отвечает стабилизированному состоянию грунта.

На основании решения дифференциального уравнения (1.9) с заданными граничными условиями (1.10) определяются перемещения частиц

твердой

и жидкой фазы

, напряжения в скелете грунта

и в жидкой

фазе [37]:

;

или

;

ezz



2)(



;





ezz





1)(



 

ма

zz 





 

zzezz







1)(

 



 









)(

1ln

)(1МПа

zz 





)()(

zzWee

aЕ

zzW











 





azzW











0z





 

01)0(





zWe



 













 

ма

)(1МПа

Универсальный параметр кинематической модели

определя-

ется [4] из условия совпадения теоретического значения порового давления в сечении

с экспериментальным значением той же величины при ста-

билизированном состоянии образца [37]:

Индекс «ex» отвечает слову «experiment - эксперимент».

После преобразований получается:

Параметр

определяется из условия совпадения теоретиче-

ского значения перемещения поперечного сечения образца (скелета) в сечении

с экспериментальным значением той же величины [37]:

В результате преобразований записывается выражение для определе-

ния механической характеристики

[37]:

Параметр

чения перемещения жидкой фазы в сечении

определяется из условия совпадения теоретического зна-

с экспериментальным зна-

чением той же величины при стабилизированном состоянии образца [37]:

Окончательная формула для этого параметра имеет вид [37]:

Исследования [4, 58] показали, что значения параметров не зависят от места расположения датчиков в образце и применяемой методики их определения.

Изменение параметров

во времени будет описано в п.2.3.

2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЛОМАНЫХ

 



 



 



 

рm

 



 

рm

   

рртрр 



ni ,...,0

 

 1

 

 1

 

 1

Т

0

пп

ТТ 1,01



1,0ппТТ

 

 1

 

 1

К ОБРАБОТКЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

2.1. Способы назначения точек коллокаций

Первоначально для сокращения записей вводятся следующие обозначения [37]:

– известное в изображениях решение вязкоупругой задачи для

фиксированной точки тела;

– искомый оригинал решения

– оригинал и изображение стандартной функции метода

;

ломаных, определяемые соответственно по формулам (1.16) и (1.17).

В п.1.4 отмечалось, что для определения оригинала по методу ломаных известную в изображениях функцию

циального вида

(1.17) с использованием метода коллокаций [37]:

аппроксимируют функцией спе-

Процесс нахождения приближенного оригинала сводится к экспоненциальной аппроксимации функции (1.17), недостаток которой заключается в том, что после некоторого (оптимального) количества членов ряда, при дальнейшем увеличении числа слагаемых точность аппроксимации будет ухудшаться, и функция (1.16) начнет осциллировать между точками коллокаций. Кроме того, точность аппроксимации при одном и том же порядке

СЛАУ существенно зависит от выбора узлов

и точек коллокаций

, что будет показано в п.2.2, 2.4 [37].

Для составления СЛАУ по методу ломаных первоначально необходимо задаться системой временных точек

, образующих сильно воз-

растающую последовательность. Это связано с тем, что функции, характеризующие вязкоупругие свойства меняются быстро на начальном участке, и по мере возрастания времени скорость их изменения убывает и стремится к нулю при

Начальная точка ; конечная точка

[37].

соответствует моменту загружения, то есть

берется равной значению времени t, при котором

можно считать, что все механические характеристики уже достигли своих асимптотических значений, последующие точки должны отличаться друг от друга на порядок [37]:

Рассмотрим алгоритм назначения временных точек локаций

метода ломаных, предложенный Шалабодовым В. И [90].

, и т.д.

и точек кол-

Известная зависимость между безразмерными аргументами t и р:

 

dtteрt

tр











1,...,2,1  ni



0

01







0



0

 



iiTT ;

     





TthTthtf

 

   







TрTр

eeрf

 

 

 

0*





Tр

eТрf

   





lnln 



В монографии Работнова Ю.Н. [71] отмечается, что если бы аргументы t и р были размерными, то их размерности были бы взаимно обрат-

ными. Формально перенесем (обоснование приведено ниже) это соображение на численные соотношения фиксированных значений [37]:

, (2.1)

что приводит к назначению точек коллокаций по узлам ломаной линии.

Первая точка назначается для начального момента времени:

конечная – для времени, при котором механические характеристики достигают своих асимптотических значений:

Точки

называются предельными, они являются условием

того, что начальное и конечное значения искомой аппроксимации и заданной функции будут совпадать. В связи с этим, можно сделать вывод, что рассматриваемые способы назначения точек коллокаций разработаны для определения внутренних точек, а две предельные точки

всегда имеют конечное значение [37].

Для обоснования взаимообратной связи узлов сплайна и точек коллокаций необходимо заключить узел сплайна в малый отрезок

на этом отрезке ввести ступенчатую функцию

которой по теореме запаздывания отвечает изображение в виде разности экспонент

Необходимое условие экстремума

где определяется точка экстремума

На основании известного разложения логарифма

 

xx 1ln

 

xx 1ln

имеем

 



 lnln

 



 lnln

lnln

lim















1i

 

TT ;

1

tT 0

     

TthTthtf 

1

 

TрTр

eeрf





1

что позволяет перейти к пределу

;

Исследование связи

узлов сплайна. Для этого на отрезке

, основанной на двух соседних значениях

полуоси

необ-

ходимо ввести ступенчатую функцию (рис.2.1):

и на основании теоремы запаздывания можно переписать ее в изображениях по Лапласу-Карсону (рис.2.2):

Рис. 2.1. График ступенчатой функции

Рис. 2.2. Изображение ступенчатой функции

Условие экстремума путем приравнивания производной от изображе-

 

 







 ii

Tр

eTeTрf

Tр

eTeT







1

iiiii

TрTTрT 



lnln

рр 

lnln





1...,3,2  ni

 

TT ;

1

 

 1

   

11 





ijijijij

TpTpTpTp

eeeem

10  m

ijij

TpTp

eea





1

11







ijij

TpTp

eea

 

1т

ния к нулю:

Отсюда

Логарифмируя, получается:

Вводится обозначение для точки экстремума

и выражение для

ее определения:

. (2.2)

Основной особенностью способа назначений точек коллокаций по формуле (2.2) является то, что он отражает информацию оригинала на всем

отрезке

, а не только в окрестности точки

, как это было в пер-

вом случае. Однако рассмотренный прием не учитывает влияние соседних участков [37].

Предложенный Шалабодовым В. И алгоритм назначения точек коллокаций на основании формул (2.1) и (2.2) позволяет описывать монотонные функции. В случае немонотонных функций рассмотренный алгоритм можно применять только для СЛАУ малого порядка (до пяти), что будет показано в п.2.3 [37].

Автором предложен новый способ назначения точек, который позволяет описать немонотонные функции ломаной линией по методу ломаных с количеством звеньев больше пяти.

Осцилляция функций появляется в результате неточности аппроксимации, что вызвано накоплением погрешностей в процессе расчета. Чтобы повысить точность приближенного решения необходимо улучшить обусловленность матрицы СЛАУ, для этого точки коллокаций предлагается находить из решения трансцендентного уравнения [37]:

использование которого приводит к тому, что элементы матрицы СЛАУ, стоящие на главной диагонали

получаются больше следующих за ними в строке элементов

в m

раз.

, (2.3)

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 154 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]