Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Применение численных методов для построения разностных моделей. Учебное пособие
.pdf
5.1. Теоретическая часть
81
которая аппроксимирует производную
со вторым порядком при
.
Для второй производной
получим
Этот разностный оператор аппроксимирует в узле
вторую
производную со вторым порядком при
.
Для внутренних узлов сетки аппроксимируем дифференциальный
оператор
(5.9)
с достаточно гладкими коэффициентами и решением разностным оператором
(5.10)
Для аппроксимации со вторым порядком необходимо выбрать коэф-
фициенты разностного оператора так, чтобы
(5.11)
(5.12)
(5.13)
В соответствии с (5.13) положим, например, , а условиям
(5.11), (5.12) удовлетворяют, в частности, следующие формулы для опре-
деления
:
,
(5.14)
.
(5.15)
Метод формальной замены дифференциальных операторов разност-
ными может использоваться и при аппроксимации граничных условий. Для
5. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
82
построения разностных схем в задачах с разрывными коэффициентами
необходимо ориентироваться на использование интегро-интерполяционного метода (метода баланса).
Построение дискретных аналогов краевых задач для уравнения (5.1)
может осуществляться на основе метода конечных элементов. Используя
простейшие кусочно-линейные элементы, представим приближенное решение в виде
(5.16)
где пробные функции w(х) имеют вид
Коэффициенты разложения в методе Галеркина определяются из системы линейных уравнений, которую мы получаем после умножения исходного уравнения (5.1) на функцию wi (x) интегрирования по всей области.
С учетом финитности пробных функций получим
Подстановка представления приближенного решения (5.16) приводит к трехточечному разностному уравнению (5.14), в котором
-
Наиболее просто аппроксимируются граничные условия (5.2):
5.2. Практическая часть
83
;
.
(5.17)
Для аппроксимации граничных условий второго и третьего рода со
вторым порядком в граничных узлах х = х0 = 0 и х = хN = l привлекается
уравнение (5.1) аппроксимация на решениях задачи. В случае уравне-
ния (5.1) краевые условия (5.4) аппроксимируются разностными соотношениями:
,
К подобным аппроксимациям мы приходим при использовании инте-
гро-интерполяционного метода и при построении схем конечных элементов.
5.2. Практическая часть
Для нахождения приближенного решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения необходимо решить соответствующую систему линейных алгебраических уравнений. Для нахождения
разностного решения используются прямые методы линейной алгебры.
Приведем некоторые примеры построения и исследования вычислительных алгоритмов для приближенного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Упражнение 1.
Найдите решение краевой задачи (5.1), (5.4) на основе решения задач
Коши.
Решение. Среди возможных подходов к сведению граничной задачи
к задаче Коши отметим метод вариации постоянных. В этом случае решение представляется в виде
u(x)=y(x)+c1v(x)+c2w(x),
где с
1, с2
– произвольные постоянные , y(x),v(x) и w(x) – решение следую-
щих задач Коши:
,
,
y(0)=0 , k(0)
(0)=0 ,
5. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
84
,
,
v(0)=0 , k(0)
(0)=1,
,
,
w(0)=1, k(0)
(0)=0.
Граничные условия (5.4) приводят к системе уравнений
1 1 2
1
,
cc
− + =
( ) ( ) ( )
12
dv
k l l v l
dx
c
++
( ) ( ) ( )
22
dw
k l l w l
dx
c
+
( ) ( ) ( )
2
2
dy
k l l v l
dx
= − −
для определения постоянных с1 и с2.
Упражнение 2.
Аппроксимируйте граничные условия третьего рода (5.4) со вторым
порядком для решения уравнения (5.1) при использовании расширенной на
полшага сетки.
Решение. Введем сетку с узлами
i=0,1,…,N,
,
,
т.е. сетка сдвинута на полшага. Для внутренних узлов ( = 1,2,..., N1)
применяется обычная аппроксимация (5.10), (5.14). Для достаточно гладкой функции u(x) имеем
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
1
0,5 0,5 ,
2
u x u x h u x h O
h
= + + − +
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
1
0,5 0,5 .
du
x u x h u x h O
dx h
h
= + − − +
В силу этого граничные условия (5.4) аппроксимируются условиями
( )
01
1
1
,0
0,
2
x
k
yy
y
+
− + =
( )
1
2
2
,
.
2
NN
xN
kl
yy
y
−
+
+=
со вторым порядком.
5.2. Практическая часть
85
Упражнение 3.
Постройте схему четвертого порядка аппроксимации для уравнения
( ) ( )
2
2
,
u
q x u f x
d
d
x
− + =
(5.18)
на равномерной сетке при использовании трехточечного шаблона.
Решение. Используем стандартную аппроксимацию
,
,
ix
cy
y
− + =
(5.19)
и подберем сеточные функции с и р. Погрешность аппроксимации в нашем
случае есть
( ) ( )
( )
2 2 4
4
24
.
12
xx xx
uu
cu f c q u f c q u O
dd
d h d
u u h
xx
= − = − + − − − = + − − − +
На решениях уравнения (5.18) имеем
42
2
42
.
uf
u qf
dd
dd
q
xx
= − −
И поэтому
( )
2 2 2 2
2
4
2
.
12 12 12
f
f qf c q u O
d
h h d h
q
h
x
= − + + − − − +
схема (5.19), в которой
2
2
,
12
cq
h
q
=+
2 2 2
2
,
12 12
f
f qf
d
h h d
x
= + +
будет искомой схемой четвертого порядка.
Упражнение 4.
Пусть погрешность разностной схемы (5.10), (5.14), (5.17) имеет сле-
дующий вид:
( ) ( ) ( )
0*
,x x x
=+
0
,
x
=
(5.20)
причем
( )
( )
2
,xO
h
=
( )
( )
*
2
.xO
h
=
Покажите, что разностная схема сходится со вторым порядком.
Решение. Для погрешности разностного решения z(х) справедлива
априорная оценка
5. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
86
1
2
0
1
.
k
zM
x
+
+
+
(5.21)
Для ее доказательства скалярно умножим уравнение для погрешности
( )
,zx
L
=
на z(x) и получим равенство
( )
( )
( ) ( )
, , , .
x
z cz z z
a
z
x
− + =
Принимая во внимание, что k(x)> к>0, будем иметь
( )
( )
( )
2
,.
,
x
zk
aa
z z z z
x x x x
+
− =
+
Левая часть с учетом представления (5.20) для погрешности аппроксимации и неравенства Фридрихса преобразуется следующим образом:
( )
( )
( )
( )
1
* * *
2
0
, , , .
,
x
z z z z
z M z
xx
+
+
+
= + − + +
С учетом неотрицательности с это дает априорную оценку для погрешности (5.21). Из этой оценки следует сходимость разностной схемы
(5.10), (5.14), (5.17) со вторым порядком. Заметим, что при этом локальная
погрешность аппроксимации имеет только первый порядок.
Упражнение 5.
Постройте абсолютно монотонную разностную схему второго порядка аппроксимации для краевой задачи (5.2), (5.5).
Решение. При построении дискретных аналогов для одномерных за-
дач полезно использовать возможность перехода от исходной несамосопряженной дифференциальной задачи к самосопряженной, для которой
уже потом строить те или иные аппроксимации. От исследуемого уравнения (5.5) можно перейти к уравнению
,
0<x<l,
(5.22)
в котором
5.2. Практическая часть
87
,
где
.
Далее строятся обычные разностные схемы второго порядка точности
для уравнения (5.22). Например, можно использовать разностную схему
( )
( )
,
x
cy x
a
y
x
, (5.23)
в которой, например
,
.
С точностью до О(h2) положим
,
.
Левая часть (5.23) преобразуется следующим образом:
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
0,5 exp 0,5 exp .
xx
x
xx
k x h x k x h x
hh
a
yy
y
x
− = − − + −
Приходим к разностной схеме
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
1
0,5 exp 0,5 exp ,
xx
k x h x k x h x c x y x
h
yy
+ − − − + =
,
которая является монотонной и аппроксимирует уравнение (5.5) со вторым
порядком.
Упражнение 6.
Постройте вариант метода прогонки для решения системы линейных
алгебраических уравнений:
0
0 0 0
01
,
N
y y y
a
− + − =
1
11
,
i
ii
i i i
y y y
a
−+
− + − =
i=1,2; N
1 (5.24)
10
N
N N N
NN
y y y
a
−
− + − =
которая возникает, например, при рассмотрении краевой задачи для уравнения (5.1) с периодическими краевыми условиями.
5. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
88
Решение. Будем использовать представление решения сеточной за-
дачи (5.24) в виде
,
ii
iN
yy
vw
=+
i=1,2; N1.
(5.25)
В силу этого для новых сеточных функций v и w получим условия
v
N
= 0, wN = 1
Далее подставляем представление (5.25) в (5.24). Из первого уравнения получим
01
0 0 0
0 1 0
00
,
.
vv
w w a
−=
−=
Для внутренних узлов получим
11
1
1 1 0
,
i i i i
ii
i i i i
ii
a v v v
a w w w a
−+
−+
− + − =
− + − =
i=1,2,…N1.
Тем самым для определения сеточных функций v и w мы имеем
стандартные задачи с трехдиагональной матрицей. Для их нахождения используется метод прогонки.
Для определения yN используется последнее из уравнений (5.24):
01
01
.
NN
NN
N
NN
NN
vw
y
ww
−
−
++
=
−−
После этого в соответствии с (5.25) рассчитываются другие значения
сеточной функции y.
Вопросы для самоконтроля
1. Дайте понятие разностной производной.
2. Какую сеточную область называют равномерной?
3. Сформулируйте достаточные условия аппроксимации второго порядка для краевой задачи, где используется разностный оператор на внутренних узлах сетки.
4. Какую функцию называют мажорантной?
5. Как согласуются начальные и граничные условия в разностных
моделях краевых задач?
Вопросы для самоконтроля
89
6. В чем состоит энергетическая эквивалентность для разностных
операторов?
7. Когда для сеточных функций применяется неравенство Фри-
дрихса, в чем сущность неравенсвта?
8. Сформулируйте условие устойчивости для двухслойных опера-
торно-разностных схем. Ответ обоснуйте.
9. Что такое ρ-устойчивость, каким образом выбирают константу ρ?
10. Сформулируйте условие устойчивости для трехслойных опера-
торно-разностных схем по начальным данным. Ответ обоснуйте.
11. Как осуществляется переход от краевой задачи для ОДУ n-го по-
рядка к разностной схеме?
12. Как найти порядок аппроксимации для симметричных разностных
производных?
13. Что называют сходимостью и порядком аппроксимации разност-
ной схемы?
14. Каким образом можно в разностной схеме улучшить порядок ап-
проксимации?
15. Сформулируйте достаточные условия для реализации метода про-
гонки при численном решении разностной задачи.
16. Как классифицируют дифференциальные уравнения в частных
производных?
17. Приведите пример граничных условий, которые могут быть ис-
пользованы при решении задачах с дифференциальными уравнениями в
частных производных.
18. В чем особенность получения численного решения для дифферен-
циальных уравнений в частных производных эллиптического, гиперболического, параболического типа?
19. Какие разновидности сеток могут быть использованы в методе конечных разностей? Каким образом в узлах сеток получают разностные аппроксимации и шаблоны, соответствующие им?
20. Назовите прямые и итерационные численные методы, которые
обычно используют для решения СЛАУ в задачах с дифференциальными
уравнениями в частных производных?
21. В чем сущность метода прогонки при решении задач с дифференциальными уравнениями в частных производных?
5. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
90
22. В чем особенность итерационных методов, которые используют
для решения СЛАУ в задачах с дифференциальными уравнениями в частных производных?
23. Приведите пример задания граничных условий и начальных при-
ближений при решении задач одним из итерационных методов.
24. Каким образом осуществляют выбор шага сетки в МКР?
25. Назовите основные источники погрешностей, возникающих при
численном решении задач с дифференциальными уравнениями в частных
производных. Как можно оценить погрешность?
26. Может ли возникнуть неустойчивость решения задачи? Если да, то
в каких случаях? Влияет ли выбор сетки на устойчивость получаемого решения?
27. Что такое сходимость решения? Ответ обоснуйте.
28. В чем состоит основное отличие между методом конечных разностей и методом конечных элементов?
29. Каким образом с помощью МКЭ строят дискретную модель? Как
происходит аппроксимация решения?
30. Приведите пример применения метода конечных элементов при
решении конкретной задачи.
31. Как в ЭВМ происходит кодирование числовой информации? Влияет ли способ представления числа на точность получаемого решения?
32. Каковы основные источники погрешностей, получаемых при решении задач с помощью ЭВМ, каким образом можно уменьшить возникающие погрешности?
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]