Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Применение численных методов для построения разностных моделей. Учебное пособие
.pdf
6.3. Задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
101
( )
1
,
1
1
i
dx
a
h k x
x
i
x
i
−
=
−
( )
( )
( )
( )
1
1
1
2
1
ii
i i i i
xx
ii
i
dx dx
f s ds f s ds
k x k x
aa
h
xx
x x x x
+
−
+
=+
для приближенного решения уравнения
с граничными условиями (5.2) является точной.
Задача 16. Пусть выполнены условия
0, 0, 0, 1,2,..., 1
i i i
i i i
iN
aa
= − − = −
Докажите, что в этих условиях для решения задачи
1
11
,
i
ii
i i i
y y y
a
−+
− + − =
i=1,2,…,N1
0
0, 0
N
y
y
==
справедлива оценка
y
.
Задача 17. Рассматривается задача
( ) ( ) ( )
2
2
,
u du
v x q x u f x
d dx
d
x
− + + =
0<x<1,
( ) ( )
12
0 , .u u l
==
Покажите, что разностная схема
1
,,
1
xx x x
cy x
r
y y y
vv
+−
− + + + =
+
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
,
1
0,
2
1
0,
2
1
2
v x x x
x v x v x
x v x v x
r x v x
vv
v
v
h
+−
+
−
=+
= +
= −
=
является безусловно монотонной и имеет второй порядок аппроксимации.
6. Задачи для самостоятельной работы
102
Задача 18. На основе формул прогонки получите априорную оценку
1
11
1
Ni
k
ik
i
h
y
a
−
==
+
для решения разностной задачи (5.10), (5.14).
Задача 19. Получите расчетные формулы пятидиагональной про-
гонки для решения системы уравнений
00
00
0 1 2
11
1 1 1
0 1 2 3
2 1 1 2
11
1 1 1
3 2 1
21
,
,
,
2,3,..., 2,
,
.
i i i
i i i
i i i i i
NN
N N N
N N N N
N
N N N
N N N
iN
y y y
y y y y
y y y y y
a
y y y y
a
y y y
a
− − + +
−−
− − −
− − −
−−
− + =
− + − + =
− + − + =
=−
− + − =
− + =
Задача 20. На множестве сеточных функций, обращающихся в нуль
в точках х = 0 и х = l, рассматриваются схемы
( )
( )
,,
,
x
x
cy x
cy x
a
y
a
y
x
x
− + =
− + =
с коэффициентами
.
Получите оценки разности через величины воз-
мущения коэффициентов и правой части (коэффициентная устойчивость).
Вопросы для самоконтроля
1. Какими общими свойствами обладают численные методы?
2. Что такое корень алгебраического уравнения?
3. Как вычисляют интеграл от сложной функции?
4. В чем особенность численного интегрирования ОДУ?
5. Запишите конечно-разностное представление для уравнения теп-
лопроводности. Как получить его численное решение с помощью метода
Монте-Карло?
Вопросы для самоконтроля
103
6. Перечислите основные типы ДУЧП второго порядка.
7. Как получить численное решение для уравнений эллиптического
типа?
8. Виды уравнений газовой динамики.
9. Как получить численное решение для уравнения Лапласа?
10. Запишите уравнение Пуассона для вторичных течений.
11. В чем отличие численного решения параболических и гиперболи-
ческих уравнений?
12. Получите уравнение Навье – Стокса.
13. Что такое дивергентная форма уравнений?
14. Приведите пример решения уравнения невязкого переноса.
15. Что такое схемная вязкость?
16. Какие существуют особенности при численном решении нелиней-
ных задач. Когда можно провести линеаризацию?
17. Приведите пример решения конкретной задачи с помощью метода
конечных разностей.
18. Сущность метода конечных разностей.
19. Что такое дискретизация и как ее проверяют?
20. Явные и неявные схемы решения. Метод прогонки и метод уста-
новления.
21. Какие существуют подходы для решения задач турбулентного дви-
жения жидкости?
22. Запишите уравнение движения вязкой жидкости.
23. Что такое турбулентное напряжение?
24. Какие существуют модели с турбулентной вязкостью?
25. Перечислите основные методы для решения уравнений турбулент-
ного движения жидкости.
26. В чем состоит основополагающая идея решения задач в механике
сплошных сред?
27. Приведите пример двухточечной краевой задачи.
28. Каковы особенности вариационной постановки задачи?
29. Приведите пример аппроксимации конечными разностями.
30. Что такое метод Ритца?
31. Какие возникают ошибки при аппроксимации линейными эле-
ментами?
6. Задачи для самостоятельной работы
104
32. Приведите пример применения метода конечных элементов в од-
номерном случае.
33. Какие задачи называют двумерными краевыми задачами?
34. Что называют треугольными и прямоугольными элементами в дву-
мерных краевых задачах?
35. Что такое матрицы элементов в двумерных краевых задачах?
36. Какие функции являются базисными функциями подпространств
Sh в МКЭ.
37. Что понимают под скоростью сходимости численного метода?
38. В чем сущность метода Галѐркина, метода коллокации и смешан-
ного метода?
39. Что такое задачи об оболочках?
40. Приведите пример поточечной аппроксимации.
41. Что называют среднеквадратичным приближением?
42. Что называют криволинейными элементами, изопараметриче-
скими преобразованиями и где их применяют?
43. Как проводят оценку ошибок, получаемых при численном реше-
нии двумерных краевых задач?
44. Когда может быть нарушен вариационный принцип, как это может
быть учтено и исправлено?
45. Когда могут быть нарушены законы Рэлея Ритца? Приведите
пример.
46. Что называют несогласованными элементами и кусочным тести-
рованием?
47. Что называют аппроксимацией области и краевых условий?
48. Что такое независимость базиса?
49. Что называют числом обусловленности и на что оно влияет?
50. Приведите пример вариационной формулировки и принципа ми-
нимакса.
51. Ошибки какого рода могут возникать при нахождении собствен-
ных значений и собственных функций?
52. Какие основные вычислительные методы вы знаете?
53. В чем состоит сущность метода Галѐркина – Кранка – Николсона
решения уравнения теплопроводности?
Проектное задание
105
54. Что понимают под устойчивостью и сходимостью численного ре-
шения параболических задач?
55. Приведите пример задачи, приводящей к гиперболическому урав-
нению.
Проектное задание
Для проведения исследований по разностному решению физических
моделей ниже предложены темы заданий для курсовых и дипломных работ:
Тема № 1: Явная разностная схема расчета плоских сверхзвуковых
течений газа.
Тема № 2: Метод последовательных приближений для расчета тече-
ний в сопле.
Тема № 3: Разностная схема Лакса .
Тема № 4: Метод «крупных частиц».
Тема № 5: Метод «потоков» для расчета стационарных течений не-
вязкого газа.
Тема № 6: Попеременно-треугольный метод для решения уравнений
Навье-Стокса.
Тема № 7: Разностная схема Яненко – Ковени.
Тема № 8: Монотонные разностные схемы.
Тема № 9: Консервативные разностные схемы.
Тема № 10: Неявная схема расчета плоских и осесимметричных тел.
6. Задачи для самостоятельной работы
106
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В учебном пособии рассмотрены две физические задачи – это задача
о соударениях гибких пластин и задача, описывающая электрическое состояние горизонтально-однородного турбулентного приземного слоя. Построены разностные модели этих физических задач. После каждой задачи
приведены вопросы для самоконтроля.
В последних разделах пособия изучаются различные свойства разностных моделей. Подбор задач для разностного решения уравнений математической физики позволяет более глубоко разобраться в основах численного моделирования.
Проектное задание
107
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абовский, Н. П. Численные методы в теории упругости и теории обо-
лочек. [Текст] / Н. П. Абовский, Н. П. Андреев, А. П. Деруга, В. И. Са-
вченков. – Красноярск: Изд-во. Краснояр. ун-та, 1984.
2. Бураго, Н. Г. Обзор контактных алгоритмов / Н. Г. Бураго, В. Н. Куку-
джанов // Известия РАН, сер. «Механика твердого тела». – №1. –
2005. – C. 45–87.
3. Морозов, В. Н. Математическое моделирование атмосферно-электри-
ческих процессов с учетом влияния аэрозольных частиц и радиоактивных веществ [Текст] / В. Н. Морозов. – Санкт-Петербург: Изд-во
РГГМУ, 2011. – 253 с.
4. Береснев, С. А. Физика атмосферных аэрозолей [Текст]: курс лекций /
С. А. Береснев, В. И. Грязин – Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2008.
5. Егоров, К. Л. Методические указания по дисциплине «Динамическая
метеорология» для высших учебных заведений [Текст] / К. Л. Егоров,
Н. С. Еремина. – Санкт-Петербург: Изд-во РГГМУ, 2017. – 44 с.
6. Самарский, А. А Разностные методы для эллиптических уравнений
[Текст] / А. А Самарский, В. Б. Андреев. – Москва: Наука, 2010. – 352 c.
7. Киреев, В. И. Численные методы в примерах и задачах [Текст]: учеб.
пособие / В. И. Киреев, А. В. Пантелеев. – 2-е изд-во, стер. – Москва:
Высшая школа, 2006. – 480 с.
8. Романко, В. К. Разностные уравнения [Текст]: учеб. пособие. / В. К. Ро-
манко. – Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014.
9. Самарский, А. А. Численные методы решения задач конвекции – диф-
фузии [Текст] / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич. – Москва: Едиториал УРСС, 1999.
10. Самарский, А. А. Задачи и упражнения по численным методам [Текст] /
А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич, Е. А. Самарская. – Москва: Едиториал УРСС, 2000. – 208 с.
6. Задачи для самостоятельной работы
108
ПРИЛОЖЕНИЯ
ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Образцы решения примеров
Выяснить, является ли четырехточечная схема
τ
с шаблоном . : . монотонной.
Монотонные разностные схемы (по Фридрихсу) – это схемы, кото-
рые при записи в виде
α
разрешенном относительно
значения
при значениях сеточной функции, во всех остальных точках
шаблона, имеют неотрицательные коэффициенты.
Решение
Для исследуемой схемы
имеем
Здесь коэффициенты
Первые два коэффициента положительные. Для положительности
последнего коэффициента должно выполнится условие τ
Схема условно монотонна.
Пример. Для той же дифференциальной задачи исследовать на мо-
нотонность схему с весами.
Решение
Приведем разностную схему к виду
α
∞
Опуская
громоздкие выкладки, получим:
1
0
0
21
22
01
22
22
1
( ),
4 ( 4 ) 4
1 , ( 4 ) ,
44
4 ( 4 ) , 2.
n n n
j j k j k j k
k
kk
u u u u
a h h a a
h h a
h a h a
a h h a k
+
−+
=
−
−
−
−
= + +
++
= − = + +
++
= + +
Варианты контрольных работ
109
Коэффициенты α
– неотрицательные.
Коэффициент α
τ
σ
σ
Кроме неявной схемы σ , все схемы являются монотонными при
условии τ
Контрольная работа Схема Мак–Кормака
Вариант №1
1. Получить необходимое условие устойчивости схемы
2. Построить компактную разностную аппроксимацию порядка точ-
ности τ для уравнения
ν
на шаблоне
3. Для трехмерного уравнения переноса
используется следующая схема Мак-Кормака:
1 2 3 1 2 3
3
1
1
1
123
, , , ,
( ),
1
( ( ),
2
( , , , ), ( ) , 1,2,3,
,,
1, ,
0,
m
m
m m m m m m
mm
nn
xm
ijk ijk ijk
m
n n n
xm
ijk ijk ijk ijk
m
n
mm
ijk
ijk ijk
i j k i j k
xx
ijk ijk
mm
l
m
u u F u
u u u F u
u u ih jh kh nt F u A u m
u u u u
uu
hh
lm
+
=
+−
=
+ + + − − −
+−
= −
= + −
= = =
−−
= =
=
=
.lm
Схема Мак–Кормака использует три разности вперед Δ
в уравне-
нии для
(предиктор) и три разности назад Δ
в уравнении для
Приложения
110
(корректор). Введем обозначения
Построить шаблон n-го слоя для
схемы
Вариант №2
1. Получить необходимое условие устойчивости схемы Кранка–Ни-
колсона для уравнения теплопроводности:
.
2. Построить компактную разностную аппроксимацию порядка точ-
ности τ для уравнения
на шаблоне
3. Для трехмерного уравнения переноса
используется следующая схема Мак–Кормака:
1 2 3 1 2 3
3
1
3
1
1
123
, , , ,
( ),
1
( ( ),
2
( , , , ), ( ) , 1,2,3,
,,
1, ,
0,
m
m
m m m m m m
mm
nn
xm
ijk ijk ijk
m
n n n
xm
ijk ijk ijk ijk
m
n
mm
ijk
ijk ijk
i j k i j k
xx
ijk ijk
mm
l
m
u u F u
u u u F u
u u ih jh kh nt F u A u m
u u u u
uu
hh
lm
+
=
+−
=
+ + + − − −
+−
= −
= + −
= = =
−−
= =
=
=
.lm
Схема Мак–Кормака использует три разности вперед Δ
в уравне-
нии для
(предиктор) и три разности назад Δ
в уравнении для
(корректор). Введем обозначения
Построить шаблон n-го слоя для
схемы
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]